【原】《九章算術》之環田及其面積公式說

《九章算術》之環田及其面積公式說

上傳書齋名：瀟湘館112  Xiāo Xiāng Guǎn 112

何世強 Ho Sai Keung

提要：古已有環田術，即求環田面積之公式，載於《九章算術‧卷一‧方田》中之環田術，公式為“并中、外周而半之，以徑乘之，為積步”，此為環田面積公式二。

關鍵詞：環田、徽術、李淳風、密率

《九章算術‧卷一‧方田》中有環田術，即求其面積。所謂“環田”，即如環狀之田曰環田，在一般情況下，兩圓同心。環田之問，屬初等數學。

“環田”之名源自古代環形之玉製飾物。《九章算術》李籍音義曰：

戶關切。環田者，有肉有好，如環之形。《爾雅》曰：“肉好若一，謂之環。”或作鐶。

“環”之讀音為“戶關”切，近今之粵音，陽平聲。《爾雅‧釋器》曰：

肉好若一，謂之環。

故古之環者，玉之屬也，類珪、璋、璧、瑄等玉製之物。“肉”與“好”之義見後文。

一環田以C₂ 為內圓周，《九章算術》稱之為“中周”，C₁ 為外圓周，《九章算術》稱之為“外周”，求環田之面積。

《九章算術》之所謂“徑”乃指環之闊，亦即《爾雅》所云之“肉”，“中周”之孔亦即《爾雅》所云之“好”﹝見下圖﹞。

若d₁ 為大圓直徑，d₂ 為小圓直徑，則d₁π = C₁，d₂π = C₂。

可得d₁ =，d₂ =。

大圓面積 = π= π =。

小圓面積 = π= π =。

以下為環田圖：

從圖可知環田面積= 大圓面積 – 小圓面積= –= 。

以上為環田面積公式一。

顯然“徑”= (d₁ – d₂) = (–) = 。

《九章算術‧卷一‧方田》有以下一問：

今有環田，中周九十二步，外周一百二十二步，徑五步。問：為田幾何？

答曰：二畝五十五步。

解：

從上文可知 C₁ = 122，C₂ = 92。

若依古率 π = 3，則環田面積 =  

=

=

=

= 535﹝方步﹞。

因 240 方步為 1 畝，此為畝法，535 方步合 2 畝 55 方步，合所問。

“徑”=  = =  = 5﹝步﹞。

以上即注文所謂：

此欲令與周三徑一之率相應，故言徑五步也。

“徑五步”之條件其實可以算出而不必提供。

以所謂“徽術”言之，所謂徽術，乃指 π = ，即：

“徑”=  = =  = 4﹝步﹞。

以上即注文所謂：

據中、外周，以徽術言之， 當徑四步一百五十七分步之一百二十二也。

所謂“密率”，乃指 π = ，即：

“徑”=  = =  = 4﹝步﹞。

以上即李淳風按語：

淳風等按：依密率，合徑四步二十二分步之十七。

若依徽術 π = ，則環田面積 =  

=

=

=

=

= 511﹝方步﹞。

511方步合 2 畝 31方步。

以上即注文所謂：

於徽術，當為田二畝三十一步一百五十七分步之二十三。

若依密率 π = ，則環田面積 =  

=

=

=

= 510﹝方步﹞。

510方步合 2 畝 30方步。

以上即李淳風按語：

淳風等按：依密率，為田二畝三十步二十二分步之十五。

《九章算術》曰：

 術曰：并中、外周而半之，以徑乘之，為積步。

“積步”指環田面積。以上之說即指

  × 徑

=  ×  ﹝見前文﹞

=

= 環田面積。

以上之環田面積公式乃《九章算術》之一項成就。以上為環田面積公式二。

以上即注文所謂：

此田截而中之周則為長，并而半之，知亦以盈補虛也。此可令中、外周各自為圓田，以中圓減外圓，餘則環實也。

清校官案曰首句有脫誤，當云：

截齊中外之周，周則為長。

以文字說明費力兼抽象，參閱上式則簡單。至於“此可令中、外周各自為圓田，以中圓減外圓，餘則環實也”即指下式：

環田面積 = 大圓面積–小圓面積 = –= 。

《九章算術‧卷一‧方田》環田又有以下一例：

又有環田，中周六十二步四分步之三，外周一百一十三步二分步之一，徑十 二步三分步之二。問：為田幾何？

答曰：四畝一百五十六步四分步之一。

解：

即 C₁ = 113 =，C₂ = 62 = ，先設 π = 3，先求徑：

C₁ – C₂ = = ，

 “徑”=  = =  = 8﹝步﹞。

若 π = ，則：

“徑”=  = =  = 8﹝步﹞。

以上即李淳風按語：

淳風等按：依周三徑一考之，合徑八步二十四分步之一十一。依密率，合徑八步一百七十六分步之一十三。

若依徽率 π = ，則：

“徑”=  = =  =  = 8﹝步﹞。

原答案徑為 12步，此數過大。注文曰：

此田環而不通匝，故徑十二步三分步之二。若據上周求徑者，此徑失之於多，過周三徑一之率，蓋為疏矣。

於徽術，當徑八步六百二十八分步之五十一。

三率皆不能得 12 之數。

清‧李潢《九章算術細草圖說》“不通匝”指環田有缺口，若環田有缺口，則欠條件以算出其徑及面積。

以下為《九章算術細草圖說》“不通匝”之環田圖：

至於面積，可以以  × 徑 之式算出，今先算出：

C₁ + C₂ =  +  = = ，

可知  = 。

先設π = 3，於是環田面積

  = 8 × =  × =  = 745﹝方步﹞。

745方步 合 3 畝 25 方步。

以上即注文所謂：

依周三徑一，為田三畝二十五步六十四分步之二十五。

若 π = ，則環田面積 =× =  = 712﹝方步﹞。

712方步 合 2 畝 232方步。

以上即注文所謂：

於徽術，當為田二畝二百三十二步五千二十四分步之七百八十七也。

若 π = ，則環田面積 = × =  = 711﹝方步﹞。

711方步 合 2 畝 231方步。

以上即李淳風按語：

淳風等按：密率，為田二畝二百三十一步一千四百八分步之七百一十七也。

以上所得之環田面積不合原答案 4 畝 156方步。

注文曰：

術曰：置中、外周步數，分母子各居其下。母互乘子，通全步，內分子(1)。以中周減外周，餘半之(2)。徑亦通分內子，以乘周為實。分母相乘為法。除之為積步。餘積步之分(3)。以畝法除之，即畝數也。

以上之術其實指環田面積 =  × 徑，而“徑”= 。

清校官案曰：

(1)   案此句上下皆有脫文，當云：分母相乘，通全步，內分子，并而半之。

(2)   亦有脫文，當云：又可以中周減外周，餘半之，以益中周。

(3)   此句下皆有脫文，當云：餘積步之分，等數約之。

案 (1) 指兩分數先通分母，通分母後分子可能須要乘以某數，相加後除以 2。

案 (2) 指 ，分子相減亦須通分母。

案 (3) 指面積如有分數，分數之分母及分子有公因數，則約簡之。

附錄：

《爾雅‧釋器》原文：

中央有孔之圓形玉器曰環。《爾雅‧釋器》曰：

肉好若一，謂之環。

“肉”，邊也；“好”，孔也；故邊與孔適等若一曰環。

以下為環圖：

《爾雅‧釋器》曰：

肉倍好，謂之璧。

以下為璧圖：

《爾雅‧釋器》曰：

好倍肉，謂之瑗。

以下為瑗圖：

《爾雅‧釋器》所云之“肉”與“好”之比例乃粗略，出土實物並非如此。