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《九章算術》之環田及其面積公式說

2020-11-14  瀟湘館112

九章算術》之環田及其面積公式

上傳書齋名:瀟湘館112  Xiāo Xiāng Guǎn 112

何世強 Ho Sai Keung

提要:古已有環田術,即求環田之公式,載於《九章算術‧卷一‧方田》中之環田術,公式為“中、外周而半之,以徑乘之,為積步”,此環田面積公式二。

關鍵詞:環田徽術、淳風、密率

《九章算術‧卷一‧方田》中有環田術,即求其面積。所謂“環田”,即如環狀之田環田,在一下,兩圓同心。環田之問,屬初等數學。

“環田”之名源自古代環形之玉製飾物。《九章算術》李籍音義曰

戶關切。環田者,有肉有好,如環之形。爾雅:“肉好若一,謂之環。或作鐶。

“環”之讀音為“戶關,近今之粵音,陽平聲《爾雅釋器》曰

肉好若一,謂之環。

故古之,玉之屬也,類珪、璋、璧、瑄等玉製之物。“”之義見後文。

環田以C2 為內圓周,《九章算術》稱之為“中周C1 為外圓周,《九章算術》稱之為“,求環田之面積。

《九章算術》之所謂“”乃指環之闊,亦即爾雅所云之,“中周”之孔亦即爾雅所云之﹝見下圖﹞。

d1 為大圓直d2 為小圓直,則d1π = C1d2π = C2

可得d1 =d2 =

大圓面積 = π= π =

小圓面積 = π= π =

以下為環田圖:

從圖可知環田面積= 大圓面積 小圓面積= =

以上為環田面積公式一。

顯然“= (d1d2) = () =

《九章算術‧卷一‧方田》有以下一問:

今有環田,中周九十二步,外一百二十二步,徑五步。問為田幾何?

答曰:二畝五十五步。

解:

從上文可知 C1 = 122C2 = 92

若依古率 π = 3,則環田面積 =  

=

=

=

= 535﹝方步﹞。

240 方步為 1 畝,此為畝法,535 方步合 2 55 方步,合所問。

=  = =  = 5﹝步﹞。

以上即注文所謂:

此欲令與三徑一之率相應,故言徑五步也。

徑五步”之條其實可以算出而不必提供

所謂“徽術言之,所謂徽術,乃指 π = ,即:

=  = =  = 4﹝步﹞。

以上即注文所謂:

據中、外周,以徽術言之, 當徑四步一百五十七分步之一百二十二也。

所謂“密率,乃指 π = ,即:

=  = =  = 4﹝步﹞。

以上即李淳風按語

淳風等按:依密率,合徑四步二十二分步之十七。

若依徽術 π = ,則環田面積 =  

=

=

=

=

= 511﹝方步﹞。

511方步合 2 31方步。

以上即注文所謂:

於徽術,當為田二畝三十一步一百五十七分步之二十三。

依密率 π = ,則環田面積 =  

=

=

=

= 510﹝方步﹞。

510方步合 2 30方步。

以上即李淳風按語

淳風等按:依密率,為田二畝三十步二十二分步之十五。

《九章算術》曰:

 術曰:中、外周而半之,以徑乘之,為積步。

積步”指環田面積。以上之說即

  ×

=  ×  ﹝見前文﹞

=

= 環田面積。

以上之環田面積公式乃《九章算術》之一項成就。以上為環田面積公式二。

以上即注文所謂:

此田截而中之周則為長,而半之,知亦以盈補虛也。此可令中、外周各自為圓田,以中圓減外圓,餘則環實也。

清校官案曰首句有脫誤,當云:

之周,周則為長。

以文字說明費力兼抽象,參閱上式則簡單。至於此可令中、外周各自為圓田,以中圓減外圓,餘則環實也”即指下式:

環田面積 = 大圓面積小圓面積 = =

《九章算術‧卷一‧方田》環田有以下一例:

又有環田,中六十二步四分步之三,外一百一十三步二分步之一,徑十 二步三分步之二。問為田幾何?

答曰:四畝一百五十六步四分步之一。

解:

C1 = 113 =C2 = 62 = ,先設 π = 3,先求徑:

C1C2 = =

 =  = =  = 8﹝步﹞。

π = ,則:

=  = =  = 8﹝步﹞。

以上即李淳風按語

淳風等按:依三徑一考之,合徑八步二十四分步之一十一。依密率,合徑八步一百七十六分步之一十三。

若依徽率 π = ,則

=  = =  =  = 8﹝步﹞。

原答案 12此數過大。注文曰:

此田環而不通匝,故徑十二步三分步之二。若據上周求徑者,此徑失之於多,過三徑一之率,蓋為疏矣。

於徽術,當徑八步六百二十八分步之五十一。

三率皆不能得 12 之數。

清‧李潢《九章算術細草圖說》不通匝”指環田有缺口環田有缺口則欠條件以算出其徑及面積。

以下為《九章算術細草圖說》不通匝”之環田圖:

至於面積,可以以  × 之式算出,今先算出:

C1 + C2 =  +  = =

可知  =

先設π = 3,於是環田面積

  = 8 × =  × =  = 745﹝方步﹞。

745方步 3 25 方步。

以上即注文所謂:

依周三徑一,為田三畝二十五步六十四分步之二十五。

π = ,則環田面積 =× =  = 712﹝方步﹞。

712方步 2 232方步。

以上即注文所謂:

於徽術,當為田二畝二百三十二步五千二十四分步之七百八十七也。

π = ,則環田面積 = × =  = 711﹝方步﹞。

711方步 2 231方步。

以上即李淳風按語

淳風等按:密率,為田二畝二百三十一步一千四百八分步之七百一十七也。

以上所得之環田面積不合原答案 4 156方步。

注文曰:

術曰:置中、外周步數,分母子各居其下。母互乘子,通全步,內分子(1)。以中周減外周,餘半之(2)。徑亦通分內子,以乘周為實。分母相乘為法。除之為積步。積步之分(3)。以畝法除之,即畝數也。

以上之術其實指環田面積 =  × ,而=

清校官案曰

(1)   案此句上皆有脫文,當云:分母相乘通全步,內分子并而半之。

(2)   有脫文,當云:又可以中周減外周,餘半之,以益中周。

(3)   此句皆有脫文,當云:積步之分等數約之

(1) 指兩分數先通分母,通分母後分子可乘以某數,相加後除以 2

(2) ,分子相減亦須通分母。

(3) 面積如有分數,分數之分母及分子有公因數,則約簡之。

附錄:

《爾雅釋器》原文:

中央有孔圓形玉器曰環。《爾雅釋器》曰

肉好若一,謂之環。

,邊也;“,孔也;故邊與孔適等若一曰環

以下為環圖:

《爾雅釋器》曰

好,謂之

以下為圖:

《爾雅釋器》曰

肉,謂之

以下為圖:

《爾雅釋器》所云之”與”之比例乃粗略,出土實物並非如此。

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