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从高斯、黎曼到希尔伯特,看世界数学中心哥廷根学派200年兴衰史

2020-11-14  全性保真

提到数学的发展,哥廷根数学学派是无法忽略的,哥廷根数学学派在 200 年的时间里为数学界贡献了半壁江山。而哥廷根学派的兴衰除了标志着数学中心的转移,也标志着从工业革命开始兴盛,主宰世界 200 年的欧洲开始衰弱,不再是科学的中心,科学家心中的殿堂。

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1734 年,文艺复兴的思潮已经浸染整个欧洲大地,那时,汉诺威王朝统治德国汉诺威地区以及整个英国土地。身为英国国王及汉诺威大公的乔治二世决定委派其重臣冯·明希豪森在德国哥廷根创办一所大学,旨在弘扬欧洲启蒙时代学术自由的理念。

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哥廷根大学也因此一开欧洲大学学术自由之风气。大学创办之初,即设有神学、法学、哲学、医学四大经典学科,尤以自然科学和法学为重。

哥廷根大学成立 61 年后,在1795 年,一位 18 岁的少年来到了哥廷根大学求学,那个时候的哥廷根大学怎么样也不会想到,自己的命运居然会因为这个少年的到来而发生重大的改变。

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这个少年就是高斯,被誉为数学史最伟大的天才之一,仿佛是“数学之神”的阿基米德的转世一般,高斯自小就显示出强大的数学天赋,高斯三岁的时候,当时高斯的父亲在贵族的家里当工头,在核算工人们的周薪,高斯看了一眼账本,就已经能够帮父亲纠正账目的错误。

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在高斯11岁时,因为自己的聪慧,他的老师和他的母亲将高斯举荐给了布伦兹维克公爵卡尔·威廉·斐迪南——他人生中最重要的伯乐。

也正是因为有了公爵的帮助,高斯才得以进入哥廷根大学求学。 1807 年高斯成为哥廷根大学的教授,由此成为了哥廷根学派的开山祖师。

高斯虽然并不热爱教书,但是他还是为哥廷根学派培养了众多的数学人才,让哥廷根学派在短短几十年的时间里得到迅速的发展,为德国成为世界科学中心和数学中心创造了条件。自此之后,哥廷根在很长时间里一直都是学术的中心。

高斯是一位多产的数学家,他将哥廷根学派带上了一个高峰,高斯他对数论、代数、统计、分析、微分几何、大地测量学、地球物理学、力学、静电学、天文学、矩阵理论和光学皆有贡献。

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高斯的几大成就,你看得懂吗

以他名字“高斯”命名的成果达110个,属数学家中之最,比如说高斯分布(正态分布),高斯模糊,高斯积分,高斯整数,高斯消元,高斯曲率,高斯滤波器,高斯引力常数。可以说大物里有高斯、高数里也有高斯、几何里也有高斯、….你闭上眼睛,在理工科(技术类)书籍里随便挑一本书。里面一定能找到Gaussian这么个名字…你随便拆一个app看代码。,一定有不止一个公式(或者包里的公式)和高斯有关。

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高斯滤波器

这还是高斯并没有把自己所有研究成果全部发表出来的情况下,高斯是一个非常谨慎的人,他对自己的工作态度是精益求精,非常严格地要求自己的研究成果。他自己曾说:宁可发表少,但发表的东西是成熟的成果。许多当代的数学家要求他,不要太认真,把结果写出来发表,这对数学的发展是很有帮助的。

贝尔曾经这样评论高斯:在高斯死后,人们才知道他早就预见一些十九世纪的数学,而且在1800年之前已经期待它们的出现。如果他能把他所知道的一些东西泄漏,很可能比当今数学还要先进半个世纪或更多的时间。

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1855 年高斯去世,高斯的学生狄利克雷作为高斯的继任者来到了哥廷根大学任教,是解析数论的创始人。对函数论、位势论和三角级数论都有重要贡献,他经常参加以傅里叶为首的青年数学家小组的活动,深受傅里叶学术思想的影响,可以说紧密团结了一大批的欧洲数学家。

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然而仅仅 3 年之后,1858年夏他去瑞士蒙特勒开会,作纪念高斯的演讲,在那里突发心脏病。狄利克雷虽平安返回了格丁根,但在病中遭夫人中风身亡的打击,病情加重,于1859年春与世长辞,年仅 54 岁。

狄利克雷去世之后,高斯的另一位天才学生黎曼成为了哥廷根学派的领袖。

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黎曼是一名非常极具创新精神的数学家,他在十几岁的时候就曾只用6天的时间读完了厚达859页的勒让德数学名著《数论》,他擅长对概念的创造与想象,黎曼ζ函数,黎曼积分,黎曼引理,黎曼流形,黎曼空间,黎曼映照定理,黎曼-希尔伯特问题,柯西-黎曼方程,黎曼思路回环矩阵都是他的成果。

1854年,黎曼发表了《论关于作为几何学基础的假设》,黎曼几何由此诞生。黎曼几何不但导致了另一种非欧几何——椭圆几何学的诞生;而且,更出乎意料的是,它竟然在半个多世纪后引导爱因斯坦成功地创立了广义相对论。如今,黎曼几何已成为理论物理学必备的数学基础了。

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黎曼

1859年,黎曼被选为选为了柏林科学院的通信院士。作为对这一崇高荣誉的回报,他向柏林科学院提交了一篇题为《论小于已知数的质数个数》的论文。这篇只有短短八页的论文就是黎曼猜想的“诞生地”。

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然而,天妒英才,黎曼的学术生涯只有短短16年,1866 年,40岁时黎曼就不幸去世。

在狄利克雷和黎曼都过早陨落,缺乏继承人,哥廷根学派一时之间群龙无首,进入了短暂的沉寂。

19世纪70年代,普鲁士统一了德意志。德国为了赶英超法,德国政府在国内大力实行鼓励科学发展的政策,大量的人力与财力支援办好哥廷根大学,众多的科学人才都纷纷来到哥廷根,18 66 年,哥廷根大学郑重邀请克莱因来到哥廷根,成为哥廷根学派的领袖,由此开始了哥廷根学派的中兴之路。

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当时克莱因已经是蜚声欧洲的大数学家,他擅长把物理概念用在函数理论上,他提出的将各种几何用它们的基础变换群来分类的爱尔兰根纲领曾一度影响数学界的发展,大家最熟悉克莱因的应该就是克莱因瓶了。

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为了实现哥廷根学派的中兴,克莱因认为不破不立,哥廷根的数学必须有新的领军人物,才能找回自己昔日的荣耀。克莱因的原则是聘请年轻的新星,而不是那些已经成名的数学家。

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两者的区别在于年轻的数学家更富有创造性的思维、更加具有激情投注于数学事业至上。克莱因的选才标准日后也成为哥廷根的数学传统,在哥廷根这些老一辈数学教授退休或去世后,他们的继任者都是清一色的数学新星。

克莱因的眼光可谓毒辣,他一眼就发现了被誉为”数学之王“的希尔伯特,1895 年,克莱因提议并说服了德意志教育文化部和哥廷根教授会聘请希尔伯特来继任著名物理学家、高斯最要好的伙伴韦伯的职位,当时希尔伯特只有 33 岁。

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而在克莱因的手里,哥廷根学派发展出来了三大派别,以普朗克、索末菲为首的哥廷根物理学派,特别是在索末菲的带领下,索末菲一生获得 81 个诺奖提名,却终生未得诺奖,他直接教导的学生就有 9 位获得诺奖。由此19世纪末-20世纪初,这一时期,哥廷根大学在全欧乃至世界上的学术地位达到了顶峰。在这半个世纪从这里走出的诺贝尔奖得主人数位居世界大学第八位,创造了“哥廷根诺贝尔奇迹”,成为了世界物理的研究中心,爱因斯坦这些大牛都曾来到哥廷根进行交流研究。

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然后就是普朗特为首的哥廷根流体力学学派,哥廷根流体力学学派由冯·卡门在美国发扬光大,高晓松的外婆、中国第一个空气动力学专业奠基者陆士嘉;两弹一星元勋钱学森、郭永怀;中国力学之父钱伟长;中国近代力学奠基人周培源都是出自哥廷根流体力学学派。

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普朗特、冯·卡门、钱学森一门三代

然后就是哥廷根数学学派,哥廷根数学学派在希尔伯特的手里甚至超越了高斯时期,达到了前所未有的巅峰,希尔伯特在哥廷根任教授期间,他先后在几何学公理化、变分法、积分方程和数学基础方面做出了巨大的贡献,引领着数学的发展。

除此之外,希尔伯特与爱因斯坦之间就广义相对论曾展开了激烈的思想碰撞,1912年,爱因斯坦探寻广义相对论时候遭遇了困难,爱因斯坦研究广义相对论的目的是要找到描述两个相互交织过程的数学方程式——引力场如何作用于物质,使之以某种方式进行运动; 物质又如何在时空中产生引力场,使之以某种形式发生弯曲。然而爱因斯坦一直没有找到完美描述其物理原则的数学表达式。

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所以爱因斯坦求助了希尔伯特,两个人在 3 年的时间里进行了激烈的讨论、碰撞,1915 年 11 月 15 日,爱因斯坦终于取得重大突破想到了描写广义相对论的精确方程,与此同时,希尔伯特也独立地完成了这项成果,得知爱因斯坦已经找到答案,希尔伯特大方地让出了优先权。

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希尔伯特最伟大的成就是提出了“希尔伯特问题”,1900年,这是19世纪的结束也是一个新的世纪的到来。在这次巴黎国际数学家代表大会上,希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演,表示他将领导新世纪的数学新潮流。

他根据19世纪数学研究的成果与发展趋势而提出了23个问题,这23个问题统称希尔伯特23问。希尔伯特问题可以说成为了20世纪数学发展的一盏明灯,为数学的未来探索指引了一条方向。

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直至今日,希尔伯特问题依然是成为许多数学家力图攻克的难关,对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响,并起了积极的推动作用。

如今希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决,有些至今仍未得到解决。他在讲演中所阐发的相信每个数学问题都可以得到解决的信念,对数学工作者是一种巨大的鼓舞,也激励着数学家们前赴后继去探索数学未知的领域。

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而希尔伯特在领导哥廷根数学学派上,凭借着自己无与伦比的魅力吸引着世界各地的年轻人像朝圣般地奔向哥廷根,光他指导的博士就有七八十人。大批青年学者涌向哥廷根,不仅从德国、欧洲,而且来自亚洲,特别是美国。据统计,1862—1934年间获外国学位的美国数学家114人,其中34人是在哥廷根获博士学位的,那个时候很多有影响的论文都是用德语写的。廷根学派成为了世界数学家的摇篮和圣地,是国际数学中心。

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当时全世界学数学的学生中,最响亮的口号就是“打起你的背包,到哥廷根去”。

那个时候的数学界富有盛名的数学家近一半都是出自哥廷根数学学派,哥闵可夫斯基为狭义相对论提供了数学框架——闵可夫斯基四维几何;外尔最早提出规范场理论,并为广义相对论提供理论依据;冯·诺依曼对刚刚降生的量子力学提供了严格的数学基础,发展了泛函分析;“现代数学之母”诺特以一般理想论奠定了抽象代数的基础,并在此基础上刺激了代数拓扑学的发展;柯朗是应用数学大家,他在偏微分方程求解方面的工作为空气动力学等一系列实际课题扫清了道路。

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这个时候的哥廷根群星璀璨,熠熠生辉,大家都自由徜徉在数学的殿堂之中,任凭思想的火花碰撞。

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然而到了 1933 年,突然的浩劫降临,毁灭了哥廷根数学学派,那一年,希特勒上台了,颁布了一系列针对犹太人的法令。由于不少哥廷根大学的教授都是犹太人,导致不少犹太裔的教授出走。绝大多数哥廷根派的教授逃亡美国。如诺特、柯朗、冯·诺依曼等。

哥廷根数学学派遭受了重大的打击,仅剩希尔伯特苦苦支撑,1943年希尔伯特在孤独中逝世。

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希尔伯特之墓

哥廷根学派彻底凋零,诺特的得意门生范德瓦尔登竖起了哥廷根数学学派的大旗,也算是培育了一批数学家,然而已然无法挽回哥廷根数学家的命运,1996 年,范德瓦尔登去世,哥廷根学派彻底消寂。

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而诺特、柯朗、冯·诺依曼等人远走美国,之前在哥廷根留学的众多美国学子也因为二战纷纷返回美国,再加上菲尔兹的努力, 1924年在多伦多召开的国际数学家大会促进了北美的数学发展和数学家之间的国际交流,再加上希特勒的暴政,北美的数学得到了快速的发展。

后来,外尔和冯·诺依曼在美国的普林斯顿高等研究所任教授,柯朗在纽约大学任教,共同创办了举世闻名的应用数学研究所。普林斯顿取代哥廷根成为世界数学的中心,美国由此彻底取代了欧洲的学术中心地位,成为了国际数学中心,一直至今。

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冯·诺依曼等人后来更是带领人类进入了核武器以及计算机时代,掌握了大批人才的美国拥有着众多的专利技术,由此掌握了全球经济、军事的话语权。

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哥廷根学派的辉煌得益于重视学术交流,拥有自由、平等的讨论和相互紧密合作的学术气氛,而大胆启用众多普遍年轻,思想活跃,富有创造性的数学新星是哥廷根学派充满活力的一个重要原因。

在这 200 年的时间里,著名数学家阿廷、应用数学家费里德里希、希尔伯特第3问题解决者德恩、随机过程论创始人之一费勒、数理逻辑学家哥德尔、完善实数理论的戴德金、著名数学家雅可比都出自哥廷根,此外还有波利亚、舍荀(Szeg)、海林格(Hellinger)、爱华德(Ewald)、诺尔德海姆(Nordheim)、德拜(Debye)、威格纳(Wigner)等一大批杰出的数学人才涌现。(上面列举过的名字这里不再列举)

哥廷根数学的衰弱也可以看出欧洲已不再是世界的中心,人才纷纷外流到更加强大、经济更有活力的美国。所以,如果想要学术发展,唯有大力发展经济,增强综合国力,这样人才自然会被吸引而来。

哥廷根数学学派 200 年的兴衰史也是欧洲 200 年来的兴衰史。

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