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《九章算術》之粟米法初等問題詳解

2020-11-17  瀟湘館112

《九章算術》粟米法初等問題詳解

上傳書齋名:瀟湘館112  Xiāo Xiāng Guǎn 112

何世強 Ho Sai Keung

提要:《九章算術‧卷二》為〈粟米此章主要談及粟米與其他穀物作等值之轉換此卷之問皆屬初等之比例數。

關鍵詞:糲米、粺米、米、粟米

《九章算術》九卷,共九章,乃最早之古代數學著作之一,其作者無考。分二百四十六題二百零二術,乃漢代之重要數學著作。此書應經歷代多家之增補及修訂,而成為今之傳世本。著名之注者為晉‧劉徽及唐‧李淳風。

筆者所採用者乃清‧四庫全書本。清‧乾隆三十八年﹝公元1773年﹞編纂四庫全書,《九章算術》亦為其一。其提要曰:

《九章算術》九卷,蓋《周禮》保氏之遺法,不知何人所傳。《永樂大典》引《古今事通》曰:王孝通言周公制禮,有《九章》之名,其理幽而微,其形秘而約,張蒼刪補殘缺,校其條目,頗與古術不同云云

舊本有注,題曰劉徽所作。考晉書稱魏‧景元四年,劉徽注《九章》,然注中所云晉武庫銅斛,則徽入晉之後,又有增損矣。

又有注釋,題曰李淳風所作。考唐書稱淳風等奉詔注《九章算術》,為《算經十書》之首。國子監置算學生三十人,習《九章》及《海島算經》,共限三歲,蓋即是時作也。…

景元四年合公元 263 年。其後清‧李潢譔《九章算術細草圖說》對研究《九章》者必有所啟發者也。

《九章算術‧卷二》為〈粟米此章主要談及粟米與其他穀物作等值之轉換所有之問皆屬初等之比例數非常容易明白。《九章算術‧卷二》〈粟米〉章曰:

粟米以御交質變易

交質古人互相以物品作抵押若以農作物為質其值須等故有《九章》“粟之率。

《九章算術》李籍音義曰

禾之未舂;穀實之無殼

其意指若以粟米換其他穀物即以未舂之穀易他穀則可依本章所提出之“率”而為之。“有統率治理之意;“交質變易有交換抵押交易轉換之意。

《九章算術》李籍音義粟米有另一定義:

之率也諸米不等以粟為率故曰“粟”。

今以粟米50 為標準之“率”他穀之轉換率如下:

粟率五十糲米三十稗米二十七糳米二十四御米二十一

十三半五十四糲飯七十五稗飯五十四糳飯四十八

御飯四十二菽、、麻、麥各四十五稻六十豉六十三

飧九十熟菽一百三半櫱一百七十五

今有術曰:以所有數乘所求率為實,以所有率為法,實如法而一。

其意指粟率五十,則可得糲米三十,或粺米二十七,或米二十四,其餘類推。注意以“粟率五十”為準則以上之轉換準則劉徽注文稱之為“都術”而所涉及之數是為“今有”,即“今有”之率,相信亦即《九章算術》所云之轉換率。清校官案曰:

“今有”,即下文稱“所有率”是也。

筆者認為應包括“”。“所有率”與”見以下各題。

至於以上轉換率始於何年代,注釋諸家皆未提及,可能始於春秋戰國,但漢以後未必如此。

以下為《九章算術‧卷二》相關之問﹝以之算皆採所謂之“約簡率”或“整數率”,若無此二率,則用原率或原法﹞:

(1) 

今有粟一斗,欲為糲米。問:得幾何?

答曰:為糲米六升。

術曰:以粟求糲米,三之,五而一。

一年生草本植物,實為圓形或橢圓形顆粒。北方通稱“穀”,去殼後稱“小米”《說文》粟,嘉穀實也《九章算術》之粟可釋作未經脫殼之穀﹝見前﹞。

糲米粗糙,又指脫殼後碾不精米。《韓詩外傳》卷二

曾子褐衣緼緒,未嘗完也;糲米之食,未嘗飽也。

故可知糲米者,窮苦人家之粗食也。

《說文》

:粟重一,為十六太半,舂為米一斛曰。從米萬聲。

,同,粵音“例”,陽去聲。同石音擔重量單位,即一百二十斤。

《九章算術》李籍音義曰

﹞,盧達切麤也。凡粟五斗糲米三斗。故粟率五十率三十。

麤,同粗。故糲米者,粗米之屬也。

題意指今有粟一斗,一斗即十升,欲為糲米,問可得糲米多少。

本題可以比例法解之,比例法乃今名,清代稱之為“四率法”。

根據已知條件,粟率五十,則可得糲米三十﹝見前﹞。可列成以下之比例表:

變易

糲米

所有率

原法

50

30

約簡率

5

3

量及變易物量

a

x

5030 可約簡為53,是為約簡率,以此率作計算。量為 a 單位,而所得之糲米x 單位,依比例算法即可知:

x = ,若 a = 10﹝十升即一斗﹞,即 x =  = 6﹝升﹞

三之,五而一。指乘以 3 及除以 5

淳風等按曰:

淳風等按:都術以所求率乘所有數,以所有率為法。此術以粟求米,故粟為所有數。三是米率,故三為所求率。五為粟率,故五為所有率。粟率五十,米率三十,退位求之,故惟三、五也。

已知數而求糲米數乃“都術”之一種。50 所有率30 糲米率,此二率必須為已知,而以所有率為”,“”即除數。5030 可約簡為53,是為“退位”。

答:為糲米 6 升。

(2)

今有粟二斗一升,欲為稗米。問:得幾何?

答曰:為稗米一斗一升五十分升之十七。

術曰:以粟求稗米,二十七之,五十而一。

,細米也。《說文》

稗:毇也。從米卑聲

毇與粲有關,《說文》又曰

粲:稻重一粟二十斗,米十斗,曰毇;米六斗太半斗,曰粲。從米𣦼聲。

《九章算術‧卷二》無提及毇米。《九章算術》李籍音義曰

﹞,精於凡粟五斗稗米二斗七升粟率五十率二七。《》曰:“彼疏斯。”康成注云:米之率,糲十稗九糳八、御

《詩經·大雅·召旻》

維昔之富,不如時,維今之疚,不如茲。彼疏斯稗,胡不自替,職兄﹝同怳﹞斯引。

本題根據已知條件,粟率五十,則可得七﹝見前﹞。可列成以下之比例表:

變易

稗米

所有率

原法

50

27

約簡率

50

27

量及變易物量

a

x

5027 不可約簡,故無約簡率,仍用原法。化粟二斗一升21 升,依比例算法:

x = ,若 a = 21﹝升﹞,即 x =  = = 11﹝升﹞

11升 即 11升。

二十七之,五十而一。指乘以 27 及除以 50

答:為稗米11升。

(3)   

今有粟四斗五升,欲為糳米。問:得幾何?

答曰:為糳米二斗一升五分升之三。

術曰:以粟求糳米,十二之,二十五而一。

糳米細米也《廣韻作》。《說文解字毇部》糳:䊪米一斛舂為九曰糳。

之讀音,《集韻》作“卽各切,音作,入聲,與今之粵音相近。又作“租毒切,音傶。

清校官案曰:

今考”、“古多通用

《九章算術》李籍音義曰

音作精於粺也。凡粟五斗糳米二斗四升。故粟率五十糳率四。《春秋左氏》傳曰:粢食不糳,俗作“”。

《左傳·桓公二年》

大羹不致,粢食不鑿,昭其儉也。

孔穎達疏:粢食不鑿,謂以黍、稷為飯,不使細也。

不食精磨之糳米只食粢食粢食,古代祭祀時用黍、稷所作飯食粢食。粢食糳米較粗,以顯示其節儉之德也。“”同“

根據已知條件,粟率五十,則可得四﹝見前﹞。可列成以下之比例表:

變易

糳米

所有率

原法

50

24

約簡率

25

12

量及變易物量

a

x

5024 可約簡為2512,是為約簡率。依比例算法:

x = ,若 a = 45﹝升﹞,即 x =  = = 21﹝升﹞

21升 即 21升。

十二之,二十五而一。指乘以 12 及除以 25

答:為糳米21升。

(4)

今有粟七斗九升,欲為御米。問:得幾何?

答曰:為御米三斗三升五十分升之九。

術曰:以粟求御米,二十一之,五十而一。

御米,簡稱為“”,供宮廷食用米,品質較佳西漢時已有官員負責舂御米,供宮廷食用漢書百官志三》

導官令一人,六百石。注曰:主舂御米,及作乾糒

西漢導官令,官職名,一人,下有丞一人。掌舂御米東漢亦置。導,擇也擇米令精也。附帶一提,“乾糒”,乾糧也。注意“音擔。

北魏酈道元 《水經注江水一》

縣北有稻田,出御米也。

故可知古時已有專為宮廷提供食用稻田

又清校官案曰:

大雅鄭箋云:米之率,糲十稗九糳八、御云:《九章粟米之法,粟率五十,糲米三十,稗二十七,鑿二十四,二十一言粟五升為糲米三升,已下則米漸細,故數益少

”,“米”也。玄注以為十,若化為、御則分別只得之九、八及七。細磨之米其數越少,至,因其為宮廷食用,故於諸米率中,其數最少。

《九章算術》李籍音義曰

﹝御﹞精於也,供王膳之米也。

根據已知條件,粟率五十,則可得一﹝見前﹞。可列成以下之比例表:

變易

御米

所有率

原法

50

21

約簡率

50

21

量及變易物量

a

x

本題無約簡率,仍用原法。七斗九升可化為 79 升,依比例算法:

x = ,若 a = 79﹝升﹞,即 x =  = = 33﹝升﹞

33升 即 33升。

二十一之,五十而一。指乘以 21 及除以 50

答:為御米33升。

(5)

今有粟一斗,欲為小。問得幾何?

答曰:為小二升一十分升之七。

術曰:以粟求小,二十七之,百而一。

《說文》為“十斤为三斗。覈”即核”。

《廣雅》曰:䵂,糏也。至於讀音,《廣韻》作“徒曆《集韻》作“亭曆

《九章算術》李籍音義曰

音“敵”,麥屑也。細曰小,麤曰大

有人認為《九章之小䵂、《說文》所謂也。九章之大䵂、《說文》所謂也。麪,麥末也;從麥丏聲。見《說文》《說文》又曰:

麩:小麥皮也。從麥夫聲。:小麥之核。從麥𧴪聲。

根據已知條件,粟率五十,則可得七﹝見前﹞。可列成以下之比例表:

變易

所有率

原法

50

13

整數率

100

27

量及變易物量

a

x

為避免小數,將原法數乘以 2,故本題之整數率為 10027依比例算法:

x = ,若 a = 10﹝升﹞,即 x =  = = 2﹝升﹞

 二十七之,五十而一。指乘以 27 及除以 50

答:為小2升。

(6)

今有粟九斗八升,欲為大。問得幾何?

答曰:為大一十斗五升二十五分升之二十一。

術曰:以粟求大,二十七之,二十五而一。

有關,可參閱前題。

根據已知條件,粟率五十,則可得四﹝見前﹞。可列成以下之比例表:

變易

所有率

原法

50

54

約簡率

25

27

量及變易物量

a

x

5054 可約簡為2527,是為約簡率。又九斗八升可化為 98 升。依比例算法:

x = ,若 a = 98﹝升﹞,即 x =  = = 105﹝升﹞

105升 即 10 5

 二十七之,二十五而一。指乘以 27 及除以 25

答:為小2升。

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