扬州树人学校秋学期八上数学期中压轴题压轴一问的解法探讨

题目：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，点 D 是△ABC 外角平分线上一点，DE⊥AC 交 CA 延长线与点 E，F 是 AC 上一点，且 DF=DB，请直接写出 AC,AE,AF 之间的数量关系。

分析：此题中有一个含30度的直角⊿ABC，其三边长度的比为AC：BC：AB=1：√3:2。由AD平分∠EAB，可得∠EAD=∠DAB=∠BAC=60度。再由DF=DB，我们可以猜想⊿DFB是等边三角形。再由AD平分∠EAB，DE⊥AE，可以考虑过D作DG⊥AB于G。

简解1：过D作DG⊥AB于G，显然⊿DAE≌⊿DAG，于是AE=AG,DE=DG。再由DF=DB，∠DEF=∠DGB=90度，可得⊿DEF≌⊿DGB。这样可证得∠EDF=∠GDB，从而∠FDB=∠EDG=60度。由DF=DB与∠FDB=60度，可得⊿DFB是等边三角形。因为AG+GB=AB，而AG=AE，GB=EF=AE+AF，AB=2AC，故可得AE+AE+AF=2AC。化简可得2AC=AF+2AE,变形后即为AF=2（AC-AE）。

简解2：易证⊿DFB是等边三角形（同解法1）。这时候我们观察四边形DAFB，因为∠DAF+∠DBF=120度+60度=180度，BD=BF，故这是一个对补邻等四边形，因此必然有AB=AF+AD，下面我们通过构造手拉手模型来证明这个结论。

具体证法如下：在AB上截取AH=AF，连接FH。显然⊿FAH是等边三角形，而⊿FDB也是等边三角形，他们符合手拉手模型的三要素：共顶点，等顶角，双等腰，于是必有⊿FAD≌⊿FHB，则AD=BH。于是AH+HB=AF+AD，即AB=AF+AD。而AB=2AC，AD=2AE，代入后可得2AC=AF+2AE,变形后即为AF=2（AC-AE）。

简解3：易证⊿DFB是等边三角形（同解法1）。这时候我们观察四边形DAFB，因为∠DAF+∠DBF=120度+60度=180度，BD=BF，故这是一个对补邻等四边形，因此必然有AB=AF+AD，下面我们通过构造手拉手模型来证明这个结论。

具体证法如下：在DA的延长线上截取AH=AF，连接FH。显然⊿FHA是等边三角形，而⊿FDB也是等边三角形，他们符合手拉手模型的三要素：共顶点，等顶角，双等腰，于是必有⊿FHD≌⊿FAB，则HD=AB。由AH+AD=AB，再由AH=AF可得AB=AF+AD。下同简解2。

简解4：易证⊿DFB是等边三角形（同解法1）。这时候我们观察四边形DAFB，因为∠DAF+∠DBF=120度+60度=180度，BD=BF，故这是一个对补邻等四边形，因此必然有AB=AF+AD，下面我们通过构造手拉手模型来证明这个结论。

具体证法如下：在AB上截取AH=AD，连接DH。显然⊿DHA是等边三角形，而⊿DBF也是等边三角形，他们符合手拉手模型的三要素：共顶点，等顶角，双等腰，于是必有⊿DAF≌⊿DHB，则AF=HB。由AH+HB=AB，再由AH=AD可得AB=AF+AD。下同简解2。

简解5：易证⊿DFB是等边三角形（同解法1）。这时候我们观察四边形DAFB，因为∠DAF+∠DBF=120度+60度=180度，BD=BF，故这是一个对补邻等四边形，因此必然有AB=AF+AD，下面我们通过构造手拉手模型来证明这个结论。

具体证法如下：在AE的延长线上截取AH=AD，连接DH。显然⊿DHA是等边三角形，而⊿DFB也是等边三角形，他们符合手拉手模型的三要素：共顶点，等顶角，双等腰，于是必有⊿DHF≌⊿DAB，则HF=AB。由AH+AF=HF，再由AH=AD可得AB=AF+AD。下同简解2。

简解6：易证⊿DFB是等边三角形（同解法1）。这时候我们观察四边形DAFB，因为∠DAF+∠DBF=120度+60度=180度，BD=BF，故这是一个对补邻等四边形，因此必然有AB=AF+AD，下面我们通过构造手拉手模型来证明这个结论。

具体证法如下：在AC的延长线上截取AH=AB，连接BH。显然⊿BHA是等边三角形，而⊿BFD也是等边三角形，他们符合手拉手模型的三要素：共顶点，等顶角，双等腰，于是必有⊿BAD≌⊿BHF，则HF=AD。由AF+HF=AH，再由AH=AB可得AB=AF+AD。下同简解2。

简解7：易证⊿DFB是等边三角形（同解法1）。这时候我们观察四边形DAFB，因为∠DAF+∠DBF=120度+60度=180度，BD=BF，故这是一个对补邻等四边形，因此必然有AB=AF+AD，下面我们通过构造手拉手模型来证明这个结论。

具体证法如下：在AD的延长线上截取AH=AB，连接BH。显然⊿BHA是等边三角形，而⊿BDF也是等边三角形，他们符合手拉手模型的三要素：共顶点，等顶角，双等腰，于是必有⊿BHD≌⊿BAF，则DH=AF。由DH+DA=AH，再由AH=AB可得AB=AF+AD。下同简解2。

归纳总结：本题有如下四个关键点。一是能看出⊿DFB是等边三角形；二是能看出四边形DAFB是一个对补邻等四边形，并知道此模型一定有AB=AF+AD这一结论；三是熟悉30度的直角边一定等于斜边的一半这个重要定理；四是手拉手模型的熟练运用。有人说简解1辅助线最少，后面的六种解法繁了。个人认为如果你对对补邻等四边形模型和手拉手模型熟练掌握的话，此题结论可以直接秒杀！而简解1里各线段的关系你还得摸索！能不能找到还得另说！你赞同吗？欢迎留言讨论。