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《九章算術》之粟米四穀法初等問題詳解﹝2﹞

2020-11-19  瀟湘館112

《九章算術》粟米四穀法初等問題詳解2

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上傳書齋名:瀟湘館112  Xiāo Xiāng Guǎn 112

何世強 Ho Sai Keung

提要:《九章算術‧卷二》為〈粟米此章主要談及粟米與其他穀物作等值之轉換此卷之問皆屬初等之比例數。“四穀”之菽、荅、麻有相同之率。

關鍵詞:糲飯、稗飯、糳飯菽、荅

《九章算術》九卷,共九章,乃最早之古代數學著作之一,其作者無考。分二百四十六題二百零二術,乃漢代之重要數學著作。此書應經歷代多家之增補及修訂,而成為今之傳世本。著名之注者為晉‧劉徽及唐‧李淳風。

筆者所採用者乃清‧四庫全書本。清‧乾隆三十八年﹝公元1773年﹞編纂四庫全書,《九章算術》亦為其一。其提要曰:

《九章算術》九卷,蓋《周禮》保氏之遺法,不知何人所傳。《永樂大典》引《古今事通》曰:王孝通言周公制禮,有《九章》之名,其理幽而微,其形秘而約,張蒼刪補殘缺,校其條目,頗與古術不同云云

舊本有注,題曰劉徽所作。考晉書稱魏‧景元四年,劉徽注《九章》,然注中所云晉武庫銅斛,則徽入晉之後,又有增損矣。

又有注釋,題曰李淳風所作。考唐書稱淳風等奉詔注《九章算術》,為《算經十書》之首。國子監置算學生三十人,習《九章》及《海島算經》,共限三歲,蓋即是時作也。

《九章算術‧卷二》為〈粟米此章主要談及粟米與其他穀物作等值之轉換

其意指若以粟米換其他穀物即以某穀易他穀則可依本章所提出之率而為之。“有統率治理之意;“交質變易有交易轉換之意。

今以粟米50 為標準他穀之轉換率如下:

粟率五十糲米三十稗米二十七糳米二十四御米二十一

十三半五十四糲飯七十五稗飯五十四糳飯四十八

御飯四十二菽、、麻、麥各四十五稻六十豉六十三

飧九十熟菽一百三半櫱一百七十五

今有術曰:以所有數乘所求率為實,以所有率為法,實如法而一。

其意指粟率五十,則可得糲米三十,或粺米二十七,或米二十四,其餘類推。

以下為《九章算術‧卷二》相關之問﹝以之算皆採所謂之“約簡率”或“整數率”,若無此二率,則用原法﹞。

筆者有文名為《九章算術》粟米法初等問題詳解本文為其延續。以下各題均屬初等比例數學顯淺易明。

(7)   

今有粟二斗三升,欲為糲飯。問:得幾何?

答曰:為糲飯三斗四升半。

術曰:以粟求糲飯,三之,二而一。

1 10 升。指以米煮成之。《尸子》卷上曰:

珍羞百種而堯糲飯菜粥。

根據已知條件,粟率五十,則可得糲五﹝見前﹞。可列成以下之比例表:

變易

糲飯

所有率

原法

50

75

約簡率

2

3

量及變易物量

a

x

5075 可以以 25 約簡為23,是為約簡率,以此率作計算。量為 a 單位,而所得之糲飯x 單位,依比例算法即可知:

x = ,若 a = 23,即 x = × 23 = = 34﹝升﹞

34= 3 4升。

三之,而一。指乘以 3 及除以 2

淳風等按曰:

淳風等按:糲飯之率七十有五,粟求糲飯,合以此數乘之。今以等數二十有五約其二率,所求之率得三,所有之率得二,故以三乘二除。

其意指 5075 可以以 25 約簡而為23

答:為糲 3 4

(8)

今有粟三斗六升,欲為稗飯。問:得幾何?

答曰:為稗飯三斗八升二十五分升之二十二。

術曰:以粟求稗飯,二十七之,二十五而一。

稗飯指以米煮成之一種粗米飯。宋‧陸游《對食戲作六首‧其二》曰:

白鹽赤米了朝餔,拗項何妨煮瓠壺。一種是貧吾尚可,鄰家稗飯亦常無。

又陸游之《村舍七首‧其七》曰:

氣全自可忘憂患,心動安能敵死生。若論老人真受用,已多稗飯與藜羹。

根據已知條件,粟率五十,則可得稗飯四﹝見前﹞。可列成以下之比例表:

變易

稗飯

所有率

原法

50

54

約簡率

25

27

量及變易物量

a

x

5054 可約簡為2527,是為約簡率,以此率作計算。三斗六升可化為 36 升,依比例算法即可知:

x = ,若 a = 36﹝升﹞,即 x =  = = 38﹝升﹞

38= 3 8 

二十七之,二十五而一。指乘以27 及除以 25

淳風等按曰:

淳風等按:此術與大多同。

之率亦為 5054 ,同可約簡為2527,故云。

答:為稗飯 3 8 

(9)   

今有粟八斗六升,欲為糳飯。問:得幾何?

答曰:為糳飯八斗二升二十五分升之一十四。

術曰:以粟求糳飯,二十四之,二十五而一。

糳飯指以米煮成之米可參閱筆者前文。根據已知條件,粟率五十,則可得糳飯八﹝見前﹞。可列成以下之比例表:

變易

糳飯

所有率

原法

50

48

約簡率

25

24

量及變易物量

a

x

5048 可約簡為 2524,是為約簡率,以此率作計算。依比例算法即可知:

x = ,若 a = 86 ,即 x =  =  = 82﹝升﹞

82 = 8 2 升。

二十四之,二十五而一。指乘以24 及除以 25

淳風等按曰:

淳風等按:糳飯率四十八。此亦半二率而乘除

半二率而乘除”見約簡率,即原法除以 2

答:為糳飯 8 2 

(10)

今有粟九斗八升,欲為御飯。問:得幾何?

答曰:為御飯八斗二升二十五分升之八。

術曰:以粟求御飯,二十一之,二十五而一。

御飯指以米煮成之。根據已知條件,粟率五十,則可得御飯二﹝見前﹞。可列成以下之比例表:

變易

御飯

所有率

原法

50

42

約簡率

25

21

量及變易物量

a

x

5042 可約簡為 2521,是為約簡率,以此率作計算。依比例算法即可知:

x = ,若 a = 98 ﹝升﹞,即 x =  =  = 82﹝升﹞

82 = 8 2 升。

二十一之,二十五而一。指乘以21 及除以 25

淳風等按曰:

淳風等按:此術半率,亦與糳飯多同

糳飯約簡率為 2524,,即原法除以 2。雖亦“半二率而乘除”,但御飯之約簡率為2521,與糳飯之率稍異。

答:為御飯 8 2 

(11)

今有粟三斗少半升,欲為菽。問:得幾何?

答曰:為菽二斗七升一十分升之三。

《九章算術》李籍音義曰

﹞音叔大豆也

古有“粟菽”一詞泛指穀與豆類之農作物。菽、荅、麻、麥是為《九章算術》之“四穀”。

少半”即 。根據已知條件,粟率五十,則可得五﹝見前﹞。可列成以下之比例表:

變易

所有率

原法

50

45

約簡率

10

9

量及變易物量

a

x

5045 可以以 5 約簡為 109,是為約簡率,以此率作計算。依比例算法即可知:

x = ,若 a = 41 = ﹝升﹞

x = × =  = 27﹝升﹞27 = 2 7 升。

答:為2 7 

(12)

今有粟四斗一升太半升,欲為荅。問:得幾何?

答曰:為荅三斗七升半。

《九章算術》李籍音義曰

﹞都合切小豆也

之讀音為“都合”切,近今之粵音“搭”,入聲。

“太”即 。根據已知條件,粟率五十,則可得五﹝見前﹞。可列成以下之比例表:

變易

所有率

原法

50

45

約簡率

10

9

量及變易物量

a

x

5045 可約簡為 109,是為約簡率,以此率作計算。依比例算法即可知:

x = ,若 a = 41 = ﹝升﹞

x = × =  = 37﹝升﹞37 = 3 7 升。

答:為3 7 

(13)

今有粟五斗太半升,欲為麻。問:得幾何?

答曰:為麻四斗五升五分升之三。

金文字始見於西周晚期。此處之應指可食之而非其可績為布之皮。《詩‧豳風‧七月》曰:

九月築場圃,十月納禾稼。黍稷重穋,禾麻菽麥。

《禮月令》曰:

春食麥與羊,夏食菽與雞,秋食麻與犬,冬食黍與彘者,以四時之食各有所宜也。

《康熙字典》引《黃帝‧素問》曰:

、稷、黍、豆為五穀。

“太”即 。根據已知條件,粟率五十,則可得五﹝見前﹞。可列成以下之比例表:

變易

所有率

原法

50

45

約簡率

10

9

量及變易物量

a

x

5045 可約簡為 109,是為約簡率,以此率作計算。依比例算法即可知:

x = ,若 a = 50 = ﹝升﹞

x = × =  = 45﹝升﹞45 = 4 5 升。

答:為4 5 

(14)

今有粟一十斗八升五分升之二,欲為麥。問:得幾何?

答曰:為麥九斗七升二十五分升之一十四。

術曰:以粟求菽、荅、麻、麥,皆九之,十而一。

根據已知條件,粟率五十,則可得五﹝見前﹞。可列成以下之比例表:

變易

所有率

原法

50

45

約簡率

10

9

量及變易物量

a

x

5045 可約簡為 109,是為約簡率,以此率作計算。依比例算法即可知:

x = ,若 a = 108 = ﹝升﹞

x = × =  = 97﹝升﹞

97 = 9 7 升。

 九之,十而一。指乘以 9 及除以 10

淳風等按

淳風等按:四術率並四十五,皆是為粟所求,俱合以此率乘其本粟。術欲從省,先以等數五約之,所求之率得九,所有之率得十,故九乘十除,義由於此。

5045 可以以 5 約簡為 109,是為約簡率。“從省即用較小之數字運算。

答:為9 7 

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