【原】《九章算術》之粟米四穀法初等問題詳解﹝2﹞

《九章算術》之粟米四穀法初等問題詳解﹝2﹞

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上傳書齋名：瀟湘館112  Xiāo Xiāng Guǎn 112

何世強 Ho Sai Keung

提要：《九章算術‧卷二》為〈粟米〉，此章主要談及粟米與其他穀物作等值之轉換，此卷之問皆屬初等之比例數。“四穀”之菽、荅、麻、麥有相同之率。

關鍵詞：糲飯、稗飯、糳飯、菽、荅

《九章算術》九卷，共九章，乃最早之古代數學著作之一，其作者無考。分二百四十六題二百零二術，乃漢代之重要數學著作。此書應經歷代多家之增補及修訂，而成為今之傳世本。著名之注者為晉‧劉徽及唐‧李淳風。

筆者所採用者乃清‧四庫全書本。清‧乾隆三十八年﹝公元1773年﹞編纂四庫全書，《九章算術》亦為其一。其提要曰：

《九章算術》九卷，蓋《周禮》保氏之遺法，不知何人所傳。《永樂大典》引《古今事通》曰：王孝通言周公制禮，有《九章》之名，其理幽而微，其形秘而約，張蒼刪補殘缺，校其條目，頗與古術不同云云。

舊本有注，題曰劉徽所作。考《晉書》稱魏‧景元四年，劉徽注《九章》，然注中所云“晉武庫銅斛”，則徽入晉之後，又有增損矣。

又有注釋，題曰李淳風所作。考《唐書》稱淳風等奉詔注《九章算術》，為《算經十書》之首。國子監置算學生三十人，習《九章》及《海島算經》，共限三歲，蓋即是時作也。

《九章算術‧卷二》為〈粟米〉，此章主要談及粟米與其他穀物作等值之轉換。

其意指若以粟米換其他穀物，即以某穀易他穀，則可依本章所提出之率而為之。“御”，有統率治理之意；“交質變易”，有交易轉換之意。

今以粟米為 50 為標準，他穀之轉換率如下：

粟率五十，糲米三十，稗米二十七，糳米二十四，御米二十一，

小䵂十三半，大䵂五十四，糲飯七十五，稗飯五十四，糳飯四十八，

御飯四十二，菽、荅、麻、麥各四十五，稻六十，豉六十三，

飧九十，熟菽一百三半，櫱一百七十五。

“今有”術曰：以所有數乘所求率為實，以所有率為法，實如法而一。

其意指粟率五十，則可得糲米三十，或粺米二十七，或糳米二十四，其餘類推。

以下為《九章算術‧卷二》相關之問﹝以下之算法皆採用筆者所謂之“約簡率”或“整數率”，若無此二率，則用原法﹞。

筆者有文名為〈《九章算術》之粟米法初等問題詳解〉，本文為其延續。以下各題均屬初等比例數學，顯淺易明。

(7)   

今有粟二斗三升，欲為糲飯。問：得幾何？

答曰：為糲飯三斗四升半。

術曰：以粟求糲飯，三之，二而一。

解：

1 斗 10 升。糲飯指以糲米煮成之飯。《尸子》卷上曰：

珍羞百種而堯糲飯菜粥。

根據已知條件，粟率五十，則可得糲飯七十五﹝見前﹞。可列成以下之比例表：

粟之變易	粟	糲飯
率	所有率	所求率
原法	50	75
約簡率	2	3
粟量及變易物量	a	x

50：75 可以以 25 約簡為2：3，是為約簡率，以此率作計算。若粟量為 a 單位，而所得之糲飯為 x 單位，依比例算法即可知：

x = ，若 a = 23﹝升﹞，即 x = × 23 = = 34﹝升﹞。

34升 = 3 斗 4升。

“三之，二而一。”指乘以 3 及除以 2。

李淳風等按曰：

淳風等按：糲飯之率七十有五，粟求糲飯，合以此數乘之。今以等數二十有五約其二率，所求之率得三，所有之率得二，故以三乘二除。

其意指 50：75 可以以 25 約簡而為2：3。

答：為糲飯 3 斗 4升。

(8)

今有粟三斗六升，欲為稗飯。問：得幾何？

答曰：為稗飯三斗八升二十五分升之二十二。

術曰：以粟求稗飯，二十七之，二十五而一。

解：

稗飯指以稗米煮成之飯，一種粗米飯。宋‧陸游《對食戲作六首‧其二》曰：

白鹽赤米了朝餔，拗項何妨煮瓠壺。一種是貧吾尚可，鄰家稗飯亦常無。

又陸游之《村舍七首‧其七》曰：

氣全自可忘憂患，心動安能敵死生。若論老人真受用，已多稗飯與藜羹。

根據已知條件，粟率五十，則可得稗飯五十四﹝見前﹞。可列成以下之比例表：

粟之變易	粟	稗飯
率	所有率	所求率
原法	50	54
約簡率	25	27
粟量及變易物量	a	x

50：54 可約簡為25：27，是為約簡率，以此率作計算。三斗六升可化為 36 升，依比例算法即可知：

x = ，若 a = 36﹝升﹞，即 x =  = = 38﹝升﹞。

38升 = 3 斗 8 升。

“二十七之，二十五而一。”指乘以27 及除以 25。

李淳風等按曰：

淳風等按：此術與大䵂多同。

大䵂之率亦為 50：54 ，同可約簡為25：27，故云。

答：為稗飯 3 斗 8 升。

(9)   

今有粟八斗六升，欲為糳飯。問：得幾何？

答曰：為糳飯八斗二升二十五分升之一十四。

術曰：以粟求糳飯，二十四之，二十五而一。

解：

糳飯指以糳米煮成之飯。糳米可參閱筆者前文。根據已知條件，粟率五十，則可得糳飯四十八﹝見前﹞。可列成以下之比例表：

粟之變易	粟	糳飯
率	所有率	所求率
原法	50	48
約簡率	25	24
粟量及變易物量	a	x

50：48 可約簡為 25：24，是為約簡率，以此率作計算。依比例算法即可知：

x = ，若 a = 86 升，即 x =  =  = 82﹝升﹞。

82 升 = 8 斗 2 升。

“二十四之，二十五而一。”指乘以24 及除以 25。

李淳風等按曰：

淳風等按：糳飯率四十八。此亦半二率而乘除。

“半二率而乘除”見約簡率，即原法除以 2。

答：為糳飯 8 斗 2 升。

(10)

今有粟九斗八升，欲為御飯。問：得幾何？

答曰：為御飯八斗二升二十五分升之八。

術曰：以粟求御飯，二十一之，二十五而一。

解：

御飯指以御米煮成之飯。根據已知條件，粟率五十，則可得御飯四十二﹝見前﹞。可列成以下之比例表：

粟之變易	粟	御飯
率	所有率	所求率
原法	50	42
約簡率	25	21
粟量及變易物量	a	x

50：42 可約簡為 25：21，是為約簡率，以此率作計算。依比例算法即可知：

x = ，若 a = 98 ﹝升﹞，即 x =  =  = 82﹝升﹞。

82 升 = 8 斗 2 升。

“二十一之，二十五而一。”指乘以21 及除以 25。

李淳風等按曰：

淳風等按：此術半率，亦與糳飯多同。

糳飯之約簡率為 25：24，，即原法除以 2。雖亦“半二率而乘除”，但御飯之約簡率為25：21，與糳飯之率稍異。

答：為御飯 8 斗 2 升。

(11)

今有粟三斗少半升，欲為菽。問：得幾何？

答曰：為菽二斗七升一十分升之三。

解：

《九章算術》李籍音義曰：

﹝菽﹞音叔，大豆也。

古有“粟菽”一詞，泛指穀與豆類之農作物。菽、荅、麻、麥是為《九章算術》之“四穀”。

“少半”即 。根據已知條件，粟率五十，則可得菽四十五﹝見前﹞。可列成以下之比例表：

粟之變易	粟	菽
率	所有率	所求率
原法	50	45
約簡率	10	9
粟量及變易物量	a	x

50：45 可以以 5 約簡為 10：9，是為約簡率，以此率作計算。依比例算法即可知：

x = ，若 a = 41 = ﹝升﹞，

即 x = × =  = 27﹝升﹞。27 升 = 2 斗 7 升。

答：為菽 2 斗 7 升。

(12)

今有粟四斗一升太半升，欲為荅。問：得幾何？

答曰：為荅三斗七升半。

解：

《九章算術》李籍音義曰：

﹝荅﹞都合切，小豆也。

荅之讀音為“都合”切，近今之粵音“搭”，入聲。

“太半”即 。根據已知條件，粟率五十，則可得荅四十五﹝見前﹞。可列成以下之比例表：

粟之變易	粟	荅
率	所有率	所求率
原法	50	45
約簡率	10	9
粟量及變易物量	a	x

50：45 可約簡為 10：9，是為約簡率，以此率作計算。依比例算法即可知：

x = ，若 a = 41 = ﹝升﹞，

即 x = × =  = 37﹝升﹞。37 升 = 3 斗 7 升。

答：為荅 3 斗 7 升。

(13)

今有粟五斗太半升，欲為麻。問：得幾何？

答曰：為麻四斗五升五分升之三。

解：

金文麻字始見於西周晚期。此處之麻應指可食之麻子，而非其可績為布之麻皮。《詩‧豳風‧七月》曰：

九月築場圃，十月納禾稼。黍稷重穋，禾麻菽麥。

《禮月令》曰：

春食麥與羊，夏食菽與雞，秋食麻與犬，冬食黍與彘者，以四時之食各有所宜也。

《康熙字典》引《黃帝‧素問》曰：

麻、麥、稷、黍、豆為五穀。

“太半”即 。根據已知條件，粟率五十，則可得麻四十五﹝見前﹞。可列成以下之比例表：

粟之變易	粟	麻
率	所有率	所求率
原法	50	45
約簡率	10	9
粟量及變易物量	a	x

50：45 可約簡為 10：9，是為約簡率，以此率作計算。依比例算法即可知：

x = ，若 a = 50 = ﹝升﹞，

即 x = × =  = 45﹝升﹞。45 升 = 4 斗 5 升。

答：為麻 4 斗 5 升。

(14)

今有粟一十斗八升五分升之二，欲為麥。問：得幾何？

答曰：為麥九斗七升二十五分升之一十四。

術曰：以粟求菽、荅、麻、麥，皆九之，十而一。

解：

根據已知條件，粟率五十，則可得麥四十五﹝見前﹞。可列成以下之比例表：

粟之變易	粟	麥
率	所有率	所求率
原法	50	45
約簡率	10	9
粟量及變易物量	a	x

50：45 可約簡為 10：9，是為約簡率，以此率作計算。依比例算法即可知：

x = ，若 a = 108 = ﹝升﹞，

即 x = × =  = 97﹝升﹞。

97 升 = 9 斗 7 升。

 “九之，十而一。”指乘以 9 及除以 10。

李淳風等按曰：

淳風等按：四術率並四十五，皆是為粟所求，俱合以此率乘其本粟。術欲從省，先以等數五約之，所求之率得九，所有之率得十，故九乘十除，義由於此。

50：45 可以以 5 約簡為 10：9，是為約簡率。“從省”，即用較小之數字運算。

答：為麥 9 斗 7 升。