习题2.9
1.证明：方程在开区间内至少有一个实根。
证明：设，则在闭区间上连续，且
，，
于是由零点定理知，方程在开区间内至少有一个实根，即方程在开区间内至少有一个实根。
2.估计方程的根的位置。
解：设，则在任何闭区间上连续，且
，，，，，
。
由于三次方程只有三个根，所以根据零点定理知，方程在开区间，，内各有一个根。
3.设函数在闭区间上连续，且，，证明：至少存在一点，使。
证明：设，由函数在闭区间上连续知，在闭区间上连续。又，，从而
，，
于是由零点定理知，至少存在一点，使得，即至少存在一点，使。
4.设函数在闭区间上连续，且无零点，证明：函数在闭区间上不变号。
证明：反证法假设函数在闭区间上变号，即存在，且，使得。由函数在闭区间上连续知，函数在闭区间上连续。又，从而由零点定理知，至少存在一点，使得，即函数在闭区间上有零点，与已知矛盾，故假设不成立。因此函数在闭区间上不变号。
5.证明不动点定理：若函数在闭区间上连续，且对任意，恒有，则至少存在一点，使得，通常称为的不动点。解释其几何意义。
证明：，则使得。
(2)若，则使得。
(3)若，且，则设；由函数和在闭区间上连续知，在闭区间上连续。又对任意，恒有，从而，，所以，，由零点定理知，在开区间内至少存在一点，使得，即。
综上所述，至少存在一点，使得。
不动点定理的几何意义是：若在闭区间上的连续曲线位于直线和直线之间，则连续曲线与至少有一个交点。
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