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《九章算術》粟米法之稻飧糵問題詳解 (3)

2020-11-21  瀟湘館112

《九章算術》粟米法之稻飧糵問題詳解 (3)

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上傳書齋名:瀟湘館112  Xiāo Xiāng Guǎn 112

何世強 Ho Sai Keung

提要:《九章算術‧卷二》為〈粟米談及粟米稻、豉、飧、熟菽、糵作等值之轉換此卷之問皆屬初等之比例數。

關鍵詞:稻、豉、飧、熟菽、糵

《九章算術》九卷,共九章,乃最早之古代數學著作之一,其作者無考。分二百四十六題二百零二術,乃漢代之重要數學著作。此書應經歷代多家之增補及修訂,而成為今之傳世本。著名之注者為晉‧劉徽及唐‧李淳風。

筆者所採用者乃清‧四庫全書本。清‧乾隆三十八年﹝公元1773年﹞編纂四庫全書,《九章算術》亦為其一。其提要曰:

《九章算術》九卷,蓋《周禮》保氏之遺法,不知何人所傳。《永樂大典》引《古今事通》曰:王孝通言周公制禮,有《九章》之名,其理幽而微,其形秘而約,張蒼刪補殘缺,校其條目,頗與古術不同云云

舊本有注,題曰劉徽所作。考晉書稱魏‧景元四年,劉徽注《九章》,然注中所云晉武庫銅斛,則徽入晉之後,又有增損矣。

又有注釋,題曰李淳風所作。考唐書稱淳風等奉詔注《九章算術》,為《算經十書》之首。國子監置算學生三十人,習《九章》及《海島算經》,共限三歲,蓋即是時作也。

《九章算術‧卷二》為〈粟米此章主要談及粟米與其他穀物或飯食作等值之轉換

其意指若以粟米換其他穀物或飯食則可依本章所提出之率而為之。

今以粟米50 為標準他穀或飯食之轉換率如下:

粟率五十糲米三十稗米二十七糳米二十四御米二十一

十三半五十四糲飯七十五稗飯五十四糳飯四十八

御飯四十二菽、、麻、麥各四十五稻六十豉六十三

飧九十熟菽一百三半櫱一百七十五

今有術曰:以所有數乘所求率為實,以所有率為法,實如法而一。

其意指粟率五十,則可得糲米三十,或粺米二十七,或米二十四,其餘類推。

以下為《九章算術‧卷二》相關之問﹝以之算皆採所謂之“約簡率”或“整數率”,若無此二率,則用原法﹞:

筆者有文名為《九章算術》粟米法初等問題詳解〉 及《九章算術》粟米四穀法初等問題詳解2本文為其延續。以下各題均屬初等比例數學顯淺易明。

(15)

今有粟七斗五升七分升之四,欲為稻。問得幾何?

答曰:為稻九斗三十五分升之二十四。

術曰:以粟求稻,六之,五而一。

稻,又稱稻穀、稻米,常簡稱為米。根據已知條件,粟率五十,則可得﹝見前文﹞。以粟易稻,可列成以下之比例表:

變易

所有率

原法

50

60

約簡率

5

6

量及變易物量

a

x

5060 可以以 10 約簡為56,是為約簡率,以此率作計算。七斗五升七分升之四可化為 75 量為 a 單位,是為“所有數”﹝下同﹞,而所得之x 單位,依比例算法即可知:

x = ,若 a = 75 =

x = × = = 90﹝升﹞

以上之步驟即“以所有數乘所求率為實,以所有率為法,實如法而一

90= 9 升。

六之,五而一。指乘以 6 及除以 5

淳風等按曰:

淳風等按:稻率六十,亦約二率而乘除。

指以 10 約簡506056 方作乘除

答:為 9

(16)

今有粟七斗八升,欲為豉。問得幾何?

答曰:為豉九斗八升二十五分升之七。

術曰:以粟求豉,六十三之,五十而一。

《九章算術》李籍音義曰

豉,是義切。鹽豉也。

鹽豉即豆豉,用煮熟之黃豆發酵而成豆豉通常以黃豆為主要原料,利用毛黴、麯黴分解蛋白質至某程度時,加鹽、酒及以乾燥等法,抑制酶力,令其發酵延遲而製成。鹽豉乃古老之食品,漢‧應璩百一詩其十五》曰:

太官有餘廚,大小無不賣。豈徒脯與糗,醯醢及鹽豉

根據已知條件,粟率五十,則可得三﹝見前文﹞。可列成以下之比例表:

變易

所有率

原法

50

63

約簡率

50

63

量及變易物量

a

x

本題無約簡率量為 a 單位,而所得之豉為 x 單位,依比例算法即可知:

x = ,若 a = 78

x = × 78 = = 98﹝升﹞98= 9 8升。

六十三之,五十而一。指乘以63 及除以 50

答:為 9 8

(17)

今有粟五斗五升,欲為飧。問得幾何?

答曰:為飧九斗九升。

術曰:以粟求飧,九之,五而一。

《九章算術》李籍音義曰

飧,音孫。說文曰:餔也。

現代之粵語讀音亦為“孫”陰平聲。“餔”晚飯也。故亦可指晚飯但亦泛指飯食。《玉篇》:“水和飯也。”

根據已知條件,粟率五十,則可得﹝見前﹞。可列成以下之比例表:

變易

所有率

原法

50

90

約簡率

5

9

量及變易物量

a

x

5090 可以以 10 約簡為59,是為約簡率,以此率作計算。量為 a 單位,而所得之x 單位,依比例算法即可知:

x = ,若 a = 55

x = × 55 = 99﹝升﹞99= 9 9升。

淳風等按曰:

淳風等按:飧率九十,退位,與求稻多同。

5090 可以以 10 約簡為59,是為“退位求稻之比為 5060 可以以 10 約簡為56,亦為“退位”,故曰“與求稻多同

九之,五而一。指乘以 9 及除以 5

答:為 9 9

(18)

今有粟四斗,欲為熟菽。問得幾何?

答曰:為熟菽八斗二升五分升之四。

術曰:以粟求熟菽,二百七之,百而一。

《九章算術》李籍音義曰

音叔。大豆也。

熟菽,之大豆也

根據已知條件,粟率五十,則可得熟菽三﹝見前﹞。可列成以下之比例表:

變易

熟菽

所有率

原法

50

103

整數率

100

207

量及變易物量

a

x

50103 可以以 2 乘之而為 100207,是為整數率,以此率作計算比小數方便。量為 a 單位,而所得之熟菽x 單位,依比例算法即可知:

x = ,若 a = 40,則:

x = × 40 = = 82升﹞82= 8 2 升。

淳風等按曰:

淳風等按:熟菽之率一百三半。半者,其母二,故以母二通之。所求之率既被二乘,所有之率隨而俱長,故以二百七之,百而一。

50103 可以以 2 乘之而為 100207,是為“以母二通之

 二百七之,百而一。指乘以 207 及除以 100

答:為熟菽8 2 

(19)

今有粟二斗,欲為糵。問得幾何?

答曰:為糵七斗。

術曰:以粟求糵,七之,二而一。

《九章算術》李籍音義曰

魚列切。麯也。《說文》曰:米牙。

《廣韻》亦作“魚列切”音“臬”。酒麴釀酒用發酵劑米牙者,生芽。糵與“孽”同

根據已知條件,粟率五十,則可得一百七五﹝見前﹞。可列成以下之比例表:

變易

所有率

原法

50

175

約簡率

2

7

量及變易物量

a

x

50175 可以以 25 約簡為27,是為約簡率,以此率作計算。量為 a 單位,而所得之x 單位,依比例算法即可知:

x = ,若 a = 20

x = × 20 = 70升﹞70= 7

淳風等按曰:

淳風等按:糵率一百七十有五,合以此數乘其本粟。術欲從省,先以等數二十五約之,所求之率得七,所有之率得二,故七乘二除。

意指 50175 可以以 25 約簡為27是為“從省

七之,二而一。指乘以 7 及除以 2

答: 7

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