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命运如常

 汕头能率 2020-11-22

作者:老喻在加

来源:孤独大脑(ID:lonelybrain)

1

让我们来做一个好玩儿的游戏:

如上图,有蓝色、紫色、橙色三个球,分别处在一个斜坡的不同位置。

游戏规则:三个球从各自所在的位置出发,从斜坡上滚下来,最先滚到右侧的获胜。

请问:你选择哪一个?

直觉上,橙色的球在最下方,离目的地最近,当然应该选它了。

正确答案是:三个球滚下来的时间是一样的。

这其中,似乎有个隐喻:

先跑的人未必早到,早起的鸟未必先吃到虫。

2

本文开头的那个斜坡,是一条等时曲线。

如上图,三颗球受重力影响从不同位置出发,沿着等时曲线下滑时,滑落到曲线底部所耗费的时间是一样的。

荷兰数学家、天文学家暨物理学家惠更斯,最早在1673年发现了这个秘密。

但这时,他还不知道,等时曲线,同时也是最速降线。

“最速降线”这一问题的最早提出,来自伽利略。

他想,当一个球从同一个高度的斜坡滚下来,什么样的坡滚得最快呢?

如上图,看似上面的直线距离最近,但却不是最快路线。

伽利略自己猜测,最快路线应该是个圆弧。其实并非如此。

伯努利家族的约翰.伯努利解决了这个问题,他还广发英雄帖,召集天下聪明人论剑“最速降线”,其中尤其点名了牛顿。

包括牛顿在内的几位大侠解出了难题。

有趣的是,人们发现,原来,“最速降线”就是“等时曲线”。

3

正如当年惠更斯所研究的,这类曲线其实是一种摆线,如下图:

当一个圆沿着一条直线滚动时,圆周上某一定点所形成的轨迹。

想象一下,圆上的黑点是只小蚂蚁,摆线就是小蚂蚁在圆滚动时所经历的曲线。

同样是伽利略,在没有微积分的情况下,徒手算出了摆线下方一个拱形的面积:

如何徒手?伽利略剪出了一个完整的摆线拱形,称了它的重量,然后与生成它的圆的面积作比较。

他由此得出结论:摆线的面积大约是生成它的圆面积的3倍。

这一方法的灵感,来自浴缸里的阿基米德:把体积(或面积)与重量联系起来。

后来数学家罗贝瓦尔算出,摆线拱形的面积,正是3个圆形的面积。

那么,一个摆线拱形的弧长是多少呢?

数学家及建筑师雷恩发现,是8r,也就是拱形高度2r的4倍。

雷恩参与了圣保罗大教堂重建设计,死后葬于斯地。墓碑上刻有这样的拉丁语:Si monumentum requiris,circumspice。意思是:

欲寻纪念碑,请看你周围。

4

说回“最速降线”。

当我们把上面的摆线倒过来,就得到了下图:

看上图的左半截,从O到到最低点K,就是一个“最速降线”。

这类曲线有两个特点:

  • 1、球从O滚到K的时间最短,正是伽利略要找的;
  • 2、球从O点、或M点和N点滚到最低点K的时间都是一样的。

那么,时间是多少呢?如下:


这里面r是摆线拱高的一半,也就是形成摆线的那个滚动圆形的半径。

  • g是牛顿老师的重力加速度,即地表自由落体运动的加速度,为9.8 m/s²。
  • π 是著名的圆周率。

π,是人类理解宇宙最重要的常数之一。

这意味着,球从初始位置 M 下降到摆线槽最低点 K 所用的时间是一个常值,与初始位置无关。

仔细想想看,我们各自的命运,似乎也是个常数。

人生无常,命运如常。

5

一个人的命运是天生注定的吗?

貌似如此。

不然为什么文艺作品里,总是把“改命”作为长久的主题。

不管是童话,还是武侠片,还是迪斯尼或皮克斯的动画,或是宫廷戏,网络爽文,关键词都是:

改命。

这说明了一件事儿:改变命运很难。

缺什么就吆喝什么,对个人而言如此,商家更是如此。

商家吆喝的东西全都是现实中很难实现的。

说起来,最让人感慨“命运如常”的公式,可能还是“大数定律”。

又是伯努利家族。雅各布·伯努利,于1713年完成了大数定律的证明。

人们对概率的理解如此“晚熟”,令人意外,说明我们对不确定性的理解和研究都非常稚嫩。

《数学之书》写道:骰子原本是用有蹄动物的踝骨所制,是古代产生随机数的方法之一。

许多古文明都相信骰子掷出后的结果是由天神掌控,因此,就把骰子当成重大事件的决定工具,不论是挑选统治者或者是继承遗产的分配方式。

直到今天,相信骰子、占卦的人还是为数众多。

大数定律“说明”了一些随机事件的均值的长期稳定性。

  • 人们发现,在重复试验中,随着试验次数的增加,事件发生的频率趋于一个稳定值;
  • 人们同时也发现,在对物理量的测量实践中,测定值的算术平均也具有稳定性。

比如,我们向上抛一枚硬币,硬币落下后哪一面朝上是偶然的,但当我们上抛硬币的次数足够多后,达到上万次甚至几十万几百万次以后,我们就会发现,硬币每一面向上的次数约占总次数的二分之一,亦即偶然之中包含着必然。

有趣的是,雅各布·伯努利对“大数定律”的批注:

“只要能持续不断地观察所有事件,直到地老天荒(最终的概率也因此倾向成为完美的固定常数),则世界上所有事物都会以固定的比发生,……

就算发生让人最感到意外的事件,我们也会把这起事件认定为是一种……既定的宿命。”

比如说,假如你是一个骰子,假如你扔出一个1就中奖,你的一生就是不停扔骰子,那么你中奖的概率就是1/6,时间越长越接近这个数字,和你是否努力、手势是否高明、动作是否优雅,都毫无关系。

每一次扔骰子的结果很难预测,这是人生无常;

基于统计的得出某个数字的可能性,则符合大数定律,这是命运如常。

6

数学公式里既有“人生如常”的宿命论隐喻,也给出了“改命”的变量。

先看“等速曲线”的时间计算公式:


虽然上面的g和π是常数,但还是有一个与主体有关的变量“r”。

我们假设有两个r值不一样的“等速曲线”斜坡,一个是r1,一个是r2。图中r值为曲线高度一半。

每个斜坡上都有高、中、低三个高低不同的出发点。


根据“等速曲线”的时间计算公式,我们知道,圆球下降的时间变化仅取决于r,与球的初始位置无关。

所以,假如我们想让圆球下降更快,应该选r较小的斜坡。

而一旦选对了最速降线,到达目的地的时间其实和出发地(不包括直接在终点的)无关。

这是多么精确而生动的鸡汤式隐喻:

赛道比赛马重要,选择比努力重要。

假如选择了正确的“最速降线”斜坡,后发者也可能先至。

而有些时候,我们的各种折腾各种努力,其实对改变命运而言是无济于事的。

当然,也只是“有时候”。

7

2010年,任正非在国外出差,他突然想给母亲打个电话,又怕母亲担心,就想着回去再打。

结果接到电话,母亲出门买菜,被车撞至重伤,不久便辞世了。

任正非说这是他一生中最大的憾事,从此以后,他都要在一个无法自拔的假设中煎熬着:

“如果8日上午我真给母亲打了电话,拖延她一两分钟出门,也许她就躲过了这场灾难……”

这是一个心碎的故事。

也许每个遭遇了如此飞来横祸的家庭,都有类似的“反事实假设”:

要是他晚出门一分钟,要是她和邻居少聊几乎,会不会避开那场发生在一秒内的致命车祸?

2017年美国车祸死亡人数是37133人,2016年这个数字是37461。为什么这两个数字如此接近,好像死神也有KPI一样。

大数定律冷酷地依照系统,像扔骰子一样,得出一个稳定的数字。

这个数字,并不因为遇难者家属“如果......就好了”的伤感而改变。

一片森林出现火灾的次数,一个国家新生婴儿数量,一个地区晴朗的天数等等,这些重复出现的事件出现的次数,都会在一个稳定的区间内波动。

对个体而言,发生车祸是随机事件,但一个城市每年车祸数量则呈现相对稳定的结果。

大数定律像死神之手。也有时候,像天使之手。

8

幸而,对于个体而言,也有与大数定律共舞的自身变量。就“最速降线”里的r。

我们的思考模式和行为方式,其实就是我们每个人的人生概率。

打个比方吧,你自己就像一个骰子,扔出数字1你就中奖。根据概率,你的中奖机会是六分之一。

要改变中奖率,你没有办法改变大数定律,就只能改变自身的结构。

比如说,假如你变成了一个金字塔形状的骰子,就只有五个面,所以你扔出数字1的中奖概率,就提高到了1/5。

你如果把自己变成了硬币,其中一面是数字1,那么你获胜的概率就变成了二分之一。

9

说起改变自己的人生概率,和你分享一个特别触动我的传奇:

关于高尔夫球手“老虎伍兹”改变自己挥杆姿势的故事。

一个顶尖球手,早就形成了自己的挥杆姿势,有些人一辈子都不会变。但是伍兹不这么想,在他赢得多次大满贯冠军之后,仍然主动改变挥杆姿势。

作出这个选择可谓相当艰难,为什么?因为球手在这个过程中,必须和原来的旧习惯抗衡,还要冒着成绩下滑的风险。

在人们质疑他的改变时,他说自己是:“先退后进,然后大踏步前进。”

假如你永远按照老的挥杆姿势,就像持续扔一个结构没有变化的骰子,很难有大的突破。

而老虎伍兹,在已经非常成功的基础上,依然勇敢改变自身概率,调整挥杆姿势,从底层重新构建自己的击球优势。

如果他不作改变,因为伤痛和年龄的限制,伍兹就很难再次回到巅峰。

就像我们刚才说的,从系统层面上,把自己变成了一个中奖概率更高的骰子。这种改变往往是痛苦的,但更是脱胎换骨的。

正因为伍兹面对人生有这样的勇气,所以他在经历了多次手术,遭遇了一系列人生低谷后,还能在43岁神奇般拿下美国大师赛,被称为“历史上最伟大的回归”。

最后

英国作家白哲特说,生活是概率的大学校。

在这个学校里,我们每个人不应该甘心当一个被扔来扔去的骰子,被大数定律支配命运,而是要去努力探寻人生的概率。

人生无常,但我们仍然能够从中发现某些模式;

命运如常,但对个体而言最大的“常数”就是你自己。

当然,对于绝大多数人而言,改变自己,比改变常数π还难。

也许是因为,有些时候,我们并没有必要那么慌里慌张地为难自己。

前提是你选对了“最速降线”。

如此一来,起跑线远点儿、近点儿无所谓。

也没必要总和身边最富的比钱多,和最傻的比快乐,和最勤奋的比拼命。

我喜欢梁冬老师院子里的一幅字:

何事惊慌?

这句话的英文版,已经飞往火星。

在那辆埃隆·马斯克送向太空的的特斯拉跑车上,屏幕醒目显示着:

“Don’t Panic”(不要惊慌)

我想起2006年去德国,在慕尼黑街头看见一个跑得很慢的小车,车屁股后面有一行字:

想超车你就超吧,反正我们还会在下一个红绿灯再见。

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