【原】《九章算術》粟米問題之反求法詳解﹝4﹞

《九章算術》粟米問題之反求法詳解﹝4﹞

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上傳書齋名：瀟湘館112  Xiāo Xiāng Guǎn 112

何世強 Ho Sai Keung

提要：《九章算術‧卷二》為〈粟米〉，談及粟與其他穀物作等值之轉換，本文則著重其“反求”法。此卷之問皆屬初等之比例數。

關鍵詞：都術、所有數、所求率、所有率

《九章算術》九卷，共九章，乃最早之古代數學著作之一，其作者無考。其書分二百四十六題二百零二術，乃漢代之重要數學著作。此書應經歷代多家之增補及修訂，而成為今之傳世本。著名之注者為晉‧劉徽及唐‧李淳風。

筆者所採用者乃清‧四庫全書本。清‧乾隆三十八年﹝公元1773年﹞編纂四庫全書，《九章算術》亦為其一。其提要曰：

《九章算術》九卷，蓋《周禮》保氏之遺法，不知何人所傳。《永樂大典》引《古今事通》曰：王孝通言周公制禮，有《九章》之名，其理幽而微，其形秘而約，張蒼刪補殘缺，校其條目，頗與古術不同云云。

舊本有注，題曰劉徽所作。考《晉書》稱魏‧景元四年，劉徽注《九章》，然注中所云“晉武庫銅斛”，則徽入晉之後，又有增損矣。

又有注釋，題曰李淳風所作。考《唐書》稱淳風等奉詔注《九章算術》，為《算經十書》之首。國子監置算學生三十人，習《九章》及《海島算經》，共限三歲，蓋即是時作也。

《九章算術‧卷二》為〈粟米〉，此章主要談及粟米與其他穀物作等值之轉換或交易。

其意指若以粟米換其他穀物，即以某穀易他穀，則可依本章所提出之率而為之。“御”，有統率治理之意；“交質變易”，有交易轉換之意。

今以粟米為 50 為標準，他穀之轉換率如下：

粟率五十，糲米三十，稗米二十七，糳米二十四，御米二十一，

小䵂十三半，大䵂五十四，糲飯七十五，稗飯五十四，糳飯四十八，

御飯四十二，菽、荅、麻、麥各四十五，稻六十，豉六十三，

飧九十，熟菽一百三半，櫱一百七十五。

“今有”術曰：以所有數乘所求率為實，以所有率為法，實如法而一。

其意指粟率五十，則可得糲米三十，或粺米二十七，或糳米二十四，其餘類推。注意以“粟率五十”為準則，以上之轉換準則劉徽注文稱之為“都術”，而所涉及之數是為“今有”，即“今有”之率，亦即《九章算術》所云之轉換率。

宜注意《九章算術》中之所謂“所有數”、“所求率”及“所有率”。“所有率”即上文所云之粟穀轉換率之主體，“所有數”即已知之穀物數量，“所求率”即粟穀轉換率所轉換之穀物之率；例如以下第 (1) 題，以糲米轉換為粟，糲米率為 30，30 是為“所有率”，粟率為 50，50 是為“所求率”，已知之糲米量為“所有數”，其餘類推。

筆者有文名為〈《九章算術》之粟米法初等問題詳解〉、《九章算術》之粟米四穀法初等問題詳解﹝2﹞及《九章算術》粟米法之稻飧糵問題詳解 (3)，本文為其延續。以上三文皆以粟率及粟數為“所有率”及“所有數”，已知他穀物率為“所求率”，求他穀物之轉換數量，今則相反，以他穀物率及數為“所有率”及“所有數”，已知粟率為“所求率”，求粟之轉換數量

以下各題均屬初等比例數學，顯淺易明。

以下為《九章算術‧卷二》相關之問﹝以下之算法皆採用筆者所謂之“約簡率”或“整數率”，若無此二率，則用原法。注意一斗合十升﹞：

(1)

今有糲米十五斗五升五分升之二，欲為粟。問：得幾何？

答曰：為粟二十五斗九升。

術曰：以糲米求粟，五之，三而一。

解：

根據已知條件，粟率五十，則可得糲米三十﹝見前﹞。今已知糲米量，求所換得之粟，可列成以下之比例表：

糲米之變易	粟	糲米
率	所求率	所有率
原法	50	30
約簡率	5	3
粟量及糲米量	x	a

50：30 可約簡為5：3，是為約簡率，以此率作計算。若糲米量為 a 單位，而所得之粟為 x 單位，依比例算法即可知：

x = ，若 a = 155= ﹝升﹞，

即 x =  × = = 259﹝升﹞。259 升 = 25 斗 9 升。

“五之，三而一。”指乘以 5 及除以 3。

李淳風等按曰：

淳風等按：上術以粟求米，故粟為所有數，三為所求率，五為所有率。今此以米求粟，故米為所有數，五為所求率，三為所有率。準“都術”求之，各合其數。以下所有反求多同，皆準此。

“上術”指以前之題目，以前之題目“以粟求米”，此題則“以米求粟”，是為“反求”，以下之問皆如此﹝皆以此題為準則﹞。

答：為粟 25 斗 9 升。

(2)

今有粺米二斗，欲為粟。問：得幾何？

答曰：為粟三斗七升二十七分升之一。

術曰：以粺米求粟，五十之，二十七而一。

解：

本題根據已知條件，粟率五十，則可得稗米二十七﹝見前﹞。今已知稗米量，求所換得之粟，可列成以下之比例表：

稗米之變易	粟	稗米
率	所求率	所有率
原法	50	27
約簡率	50	27
粟量及稗米量	x	a

50：27 不可約簡，故無約簡率。若稗米量為 a 單位，而所得之粟為 x 單位，依比例算法：

x = ，若 a = 20﹝升﹞，即 x = × 20 =  = 37﹝升﹞。

37升 即 3斗7升。

“五十之，二十七而一。”指乘以 50 及除以 27。

答：為粟3斗7升。

(3)

今有糳米三斗少半升，欲為粟。問：得幾何？

答曰：為粟六斗三升三十六分升之七。

術曰：以糳米求粟，二十五之，十二而一。

解：

少半即 ，根據已知條件，粟率五十，則可得糳米二十四﹝見前﹞。今已知糳米量，求所換得之粟，可列成以下之比例表：

糳米之變易	粟	糳米
率	所求率	所有率
原法	50	24
約簡率	25	12
粟量及糳米量	x	a

50：24 可以以 2 約簡為25：12，是為約簡率。若糳米量為 a 單位，而所得之粟為 x 單位，依比例算法：

x = ，若 a = 30= ﹝升﹞，

即 x =  ×= = 63﹝升﹞。63升 即 6斗3升。

“二十五之，十二而一。”指乘以 25 及除以 12。

答：為粟6斗3升。

(4)

今有御米十四斗，欲為粟。問：得幾何？

答曰：為粟三十三斗三升少半升。

術曰：以御米求粟，五十之，二十一而一。

解：

根據已知條件，粟率五十，則可得御米二十一﹝見前﹞。今已知御米量，求所換得之粟，可列成以下之比例表：

御米之變易	粟	御米
率	所求率	所有率
原法	50	21
約簡率	50	21
粟量及御米量	x	a

本題無約簡率。14斗可化為 140 升，若御米量為 a 單位，而所得之粟為 x 單位，依比例算法：

x = ，若 a = 140﹝升﹞，即 x =  = = 333﹝升﹞。

333升 即 33斗3升。少半即 。

“五十之，二十一而一。”指乘以 50 及除以 21。

答：為粟33斗3 升。

(5)

今有稻一十二斗六升一十五分升之一十四，欲為粟。問：得幾何？

答曰：為粟一十斗五升九分升之七。

術曰：以稻求粟，五之，六而一。

解：

稻，又稱稻穀、稻米，常簡稱為米。根據已知條件，粟率五十，則可得稻六十﹝見前文﹞。今已知稻米量，求所換得之粟，可列成以下之比例表：

稻之變易	粟	稻
率	所求率	所有率
原法	50	60
約簡率	5	6
粟量及稻量	x	a

50：60 可以以 10 約簡為5：6，是為約簡率，以此率作計算。一十二斗六升一十五分升之一十四可化為 126 升，若稻量為 a 單位，而所得之粟為 x 單位，依比例算法即可知：

x = ，若 a = 126 = ﹝升﹞，

即 x = × = = 105﹝升﹞。105升 = 10 斗 5升。

“五之，六而一。”指乘以 5 及除以 6。

答：為粟10 斗 5升。

(6)

今有糲米一十九斗二升七分升之一，欲為粺米。問：得幾何？

答曰：為粺米一十七斗二升一十四分升之一十三。

術曰：以糲米求粺米，九之，十而一。

解：

本題根據已知條件，粟率五十，則可得稗米二十七或糲米三十﹝見前﹞。今已知糲米量，求所換得之稗米，可列成以下之比例表：

糲米之變易	稗米	糲米
率	所求率	所有率
原法	27	30
約簡率	9	10
稗米量及糲米量	x	a

27：30可以以 3 約簡為9：10，是為約簡率，以此率作計算。若糲米量為 a 單位，而所得之稗米為 x 單位，依比例算法：

x = ，若 a = 192= ﹝升﹞，

即 x = × = = 172﹝升﹞。

172 升 即 17斗 2 升。

“九之，十而一。”指乘以 9 及除以 10。

李淳風等按曰：

淳風等按：粺米率二十七，合以此數乘糲米。術欲從省，先以等數三約 之，所求之率得九，所有之率得十，故九乘而十除。

其意指 27：30可以以 3 約簡為 9：10，見上表。“從省”即以較簡之數字運算。

答：為稗米17斗2升。

(7)

今有糲米六斗四升五分升之三，欲為糲飯。問：得幾何？

答曰：為糲飯一十六斗一升半。

術曰：以糲米求糲飯，五之，二而一。

解：

本題根據已知條件，粟率五十，則可得糲飯七十五或糲米三十﹝見前﹞。今已知糲米量，求所換得之稗米，可列成以下之比例表：

糲米之變易	糲飯	糲米
率	所求率	所有率
原法	75	30
約簡率	5	2
糲飯量及糲米量	x	a

75：30可以以 15 約簡為 5：2，是為約簡率，以此率作計算。若糲米量為 a 單位，而所得之糲飯為 x 單位，依比例算法：

x = ，若 a = 64= ﹝升﹞，

即 x = × = = 161﹝升﹞。161升 即 16斗1升。

“五之，二而一。”指乘以 5 及除以 2。

李淳風等按曰：

淳風等按：糲飯之率七十有五，宜以本糲米乘此率數。術欲從省，先以等數十五約之，所求之率得五，所有之率得二，故五乘二除，義由於此。

其意指 75：30可以以 15 約簡為 5：2，見上表。

答：為糲飯16斗1升。