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《九章算術》粟米問題之反求法詳解﹝4﹞

2020-11-24  瀟湘館112

《九章算術》粟米問題之反求法詳解4

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上傳書齋名:瀟湘館112  Xiāo Xiāng Guǎn 112

何世強 Ho Sai Keung

提要:《九章算術‧卷二》為〈粟米談及與其他穀物作等值之轉換本文則著重其“反求”法。此卷之問皆屬初等之比例數。

關鍵詞:都術、所有數、所求率、所有率

《九章算術》九卷,共九章,乃最早之古代數學著作之一,其作者無考。其書分二百四十六題二百零二術,乃漢代之重要數學著作。此書應經歷代多家之增補及修訂,而成為今之傳世本。著名之注者為晉‧劉徽及唐‧李淳風。

筆者所採用者乃清‧四庫全書本。清‧乾隆三十八年﹝公元1773年﹞編纂四庫全書,《九章算術》亦為其一。其提要曰:

《九章算術》九卷,蓋《周禮》保氏之遺法,不知何人所傳。《永樂大典》引《古今事通》曰:王孝通言周公制禮,有《九章》之名,其理幽而微,其形秘而約,張蒼刪補殘缺,校其條目,頗與古術不同云云

舊本有注,題曰劉徽所作。考晉書稱魏‧景元四年,劉徽注《九章》,然注中所云晉武庫銅斛,則徽入晉之後,又有增損矣。

又有注釋,題曰李淳風所作。考唐書稱淳風等奉詔注《九章算術》,為《算經十書》之首。國子監置算學生三十人,習《九章》及《海島算經》,共限三歲,蓋即是時作也。

《九章算術‧卷二》為〈粟米此章主要談及粟米與其他穀物作等值之轉換或交易

其意指若以粟米換其他穀物即以某穀易他穀則可依本章所提出之率而為之。“有統率治理之意;“交質變易有交易轉換之意。

今以粟米50 為標準他穀之轉換率如下:

粟率五十糲米三十稗米二十七糳米二十四御米二十一

十三半五十四糲飯七十五稗飯五十四糳飯四十八

御飯四十二菽、、麻、麥各四十五稻六十豉六十三

飧九十熟菽一百三半櫱一百七十五

今有術曰:以所有數乘所求率為實,以所有率為法,實如法而一。

其意指粟率五十,則可得糲米三十,或粺米二十七,或米二十四,其餘類推。注意以“粟率五十”為準則以上之轉換準則劉徽注文稱之為“都術”而所涉及之數是為“今有”,即“今有”之率,亦即《九章算術》所云之轉換率。

宜注意《九章算術》中之所謂“所有數”、所求率”及所有率”。所有率”即上文所云之粟穀轉換率之主體,所有數”即已知之穀物數量所求率”即粟穀轉換率所轉換之穀物之率;例以下第 (1) ,以糲米轉換為糲米率為 3030 是為所有率,粟率為 5050 是為所求率,已知之糲米量為所有數”,其

筆者有文名為《九章算術》粟米法初等問題詳解《九章算術》粟米四穀法初等問題詳解2﹞及《九章算術》粟米法之稻飧糵問題詳解 (3)本文為其延續。以上三文皆以粟率及粟數為所有率”及所有數”,已知他穀物率為所求率”,求他穀物之轉換數量,今則相反,以他穀物率及數為所有率”及所有數”,已知粟率為所求率”,求粟之轉換數量

以下各題均屬初等比例數學顯淺易明。

以下為《九章算術‧卷二》相關之問﹝以之算皆採所謂之“約簡率”或“整數率”,若無此二率,則用原法。注意一斗合十升﹞:

(1)

今有糲米十五斗五升五分升之二,欲為粟。問得幾何?

答曰:為粟二十五斗九升。

術曰:以糲米求粟,五之,三而一。

根據已知條件,粟率五十,則可得糲米三十﹝見前﹞。今已知糲米量,求所換得之粟,可列成以下之比例表:

糲米變易

糲米

所有率

原法

50

30

約簡率

5

3

粟量及糲米

x

a

5030 可約簡為53,是為約簡率,以此率作計算。糲米量為 a 單位,而所得之x 單位,依比例算法即可知:

x = ,若 a = 155= ﹝升﹞

x =  × = = 259﹝升﹞259 = 25 9

五之,三而一。指乘以 5 及除以 3

淳風等按曰:

淳風等按:上術以粟求米,故粟為所有數,三為所求率,五為所有率。今此以米求粟,故米為所有數,五為所求率,三為所有率。準“都術求之,各合其數。以下所有反求多同,皆此。

上術”指以前之題目,以前之題目“以粟求米此題則“以米求粟”,是為“反求”,以之問皆如﹝皆以此題為準則﹞。

答:為粟 25 9

(2)

今有粺米二斗,欲為粟。問得幾何?

答曰:為粟三斗七升二十七分升之一。

術曰:以粺米求粟,五十之,二十七而一。

本題根據已知條件,粟率五十,則可得七﹝見前﹞。今已知量,求所換得之粟,可列成以下之比例表:

稗米變易

稗米

所有率

原法

50

27

約簡率

50

27

量及稗米

x

a

5027 不可約簡,故無約簡率。若稗量為 a 單位,而所得之x 單位,依比例算法:

x = ,若 a = 20﹝升﹞,即 x = × 20 =  = 37﹝升﹞

37升 即 37升。

五十之,二十七而一。指乘以 50 及除以 27

答:為粟37升。

(3)

今有糳米三斗少半升,欲為粟。問得幾何?

答曰:為粟六斗三升三十六分升之七。

術曰:以糳米求粟,二十五之,十二而一。

少半,根據已知條件,粟率五十,則可得四﹝見前﹞。今已知量,求所換得之粟,可列成以下之比例表:

糳米變易

糳米

所有率

原法

50

24

約簡率

25

12

量及糳米

x

a

5024 可以以 2 約簡為2512,是為約簡率。糳米量為 a 單位,而所得之x 單位,依比例算法:

x = ,若 a = 30= ﹝升﹞

x =  ×= = 63﹝升﹞63升 即 63升。

二十五之,十二而一。指乘以 25 及除以 12

答:為粟63升。

(4)

今有米十四斗,欲為粟。問:得幾何?

答曰:為粟三十三斗三升少半升。

術曰:以米求粟,五十之,二十一而一。

根據已知條件,粟率五十,則可得一﹝見前﹞。今已知量,求所換得之粟,可列成以下之比例表:

御米變易

御米

所有率

原法

50

21

約簡率

50

21

量及御米

x

a

本題無約簡率。14可化為 140 升,量為 a 單位,而所得之x 單位,依比例算法:

x = ,若 a = 140﹝升﹞,即 x =  = = 333﹝升﹞

333升 即 333升。少半即

五十之,二十一而一。指乘以 50 及除以 21

答:為333 升。

(5)

今有稻一十二斗六升一十五分升之一十四,欲為粟。問:得幾何?

答曰:為粟一十斗五升九分升之七。

術曰:以稻求粟,五之,六而一。

稻,又稱稻穀、稻米,常簡稱為米。根據已知條件,粟率五十,則可得﹝見前文﹞。今已知量,求所換得之粟,可列成以下之比例表:

變易

所有率

原法

50

60

約簡率

5

6

量及

x

a

5060 可以以 10 約簡為56,是為約簡率,以此率作計算。一十二斗六升一十五分升之一十四可化為 126 量為 a 單位,而所得之x 單位,依比例算法即可知:

x = ,若 a = 126 =

x = × = = 105﹝升﹞105= 10 5升。

五之,六而一。指乘以 5 及除以 6

答:為10 5

(6)

今有糲米一十九斗二升七分升之一,欲為粺米。問:得幾何?

答曰:為粺米一十七斗二升一十四分升之一十三。

術曰:以糲米求粺米,九之,十而一。

本題根據已知條件,粟率五十,則可得七或糲米三十﹝見前﹞。今已知糲米量,求所換得之稗米可列成以下之比例表:

糲米變易

稗米

糲米

所有率

原法

27

30

約簡率

9

10

稗米量及糲米

x

a

2730可以以 3 約簡為910,是為約簡率,以此率作計算。糲米量為 a 單位,而所得之稗米x 單位,依比例算法:

x = ,若 a = 192= ﹝升﹞

x = × = = 172﹝升﹞

172 升 即 17 2 升。

九之,十而一。指乘以 9 及除以 10

淳風等按曰:

淳風等按:粺米率二十七,合以此數乘糲米。術欲從省,先以等數三約 之,所求之率得九,所有之率得十,故九乘而十除。

其意指 2730可以以 3 約簡為 910,見上表。“從省”即以較簡之數字運算。

答:為稗米172升。

(7)

今有糲米六斗四升五分升之三,欲為糲飯。問:得幾何?

答曰:為糲飯一十六斗一升半。

術曰:以糲米求糲飯,五之,二而一。

本題根據已知條件,粟率五十,則可得糲飯五或糲米三十﹝見前﹞。今已知糲米量,求所換得之稗米可列成以下之比例表:

糲米變易

糲飯

糲米

所有率

原法

75

30

約簡率

5

2

糲飯量及糲米

x

a

7530可以以 15 約簡為 52,是為約簡率,以此率作計算。糲米量為 a 單位,而所得之糲飯x 單位,依比例算法:

x = ,若 a = 64= ﹝升﹞

x = × = = 161﹝升﹞161升 即 161升。

五之,二而一。指乘以 5 及除以 2

淳風等按曰:

淳風等按:糲飯之率七十有五,宜以本糲米乘此率數。術欲從省,先以等數十五約之,所求之率得五,所有之率得二,故五乘二除,義由於此。

其意指 7530可以以 15 約簡為 52,見上表。

答:為糲飯161升。

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