万能解题模型(二)　整体代换，条件求值

模型1　“析0法”

模型解读

已知一个代数式的值为0，将所求代数式分离出含有0值的代数式即可。

1．已知x²－x－1＝0，求－x³＋2x²＋2 020的值．

解：因为x²－x－1＝0，

所以原式＝－(x³－x²－x)＋(x²－x－1)＋2 021

＝－x×0＋0＋2021

＝2 021.

模型2　“数字替换法”

模型解读

将所求式中的代数式用数(或较简单的代数式)代换，也可以用某个代数式代换所求式中的数，代换的原则是方便求值，方便化简。

2．若a－3b＝－1，则代数式a²－3ab＋3b的值为 1 ．

3．若a＋b－2＝0，则代数式a²－b²＋4b的值等于 4 ．

4．已知m²＝n＋2，n²＝m＋2(m≠n)，求m³－2mn＋n³的值．

解：∵m²＝n＋2，n²＝m＋2，

∴m²－n²＝n－m.∴(m＋n)(m－n)＝－(m－n)．

∵m≠n，∴m＋n＝－1.

∴原式＝m(n＋2)－2mn＋n(m＋2)

＝mn＋2m－2mn＋mn＋2n

＝2(m＋n)

＝－2.

 

5．已知实数x满足x²－2x－1＝0，求代数式2x³－7x²＋4x－2020的值．

解：∵x²－2x－1＝0，

∴x²－2x＝1.

∴原式＝2x³－4x²－3x²＋4x－2020

＝2x(x²－2x)－3x²＋4x－2020

＝6x－3x²－2 020

＝－3(x²－2x)－2020

＝－3－2 020

＝－2 023.

模型解读