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回溯法 在最优解，排列组合和解空间搜索中存在典型应用。 我们知道动态规划和贪婪算法都要求无后效性，即子问题的解是当前的最优解，不能回退。当这种要求得不到满足时，一种的通常做法是采用回溯的方法进行求解。 回溯算法实际上一个类似枚举的搜索尝试过程，主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就“回溯”返回，尝试别的路径。 回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。 许多复杂的，规模较大的问题都可以使用回溯法，有“通用解题方法”的美称。 基本思想在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略，从根结点出发深度探索解空间树。当探索到某一结点时，要先判断该结点是否包含问题的解，如果包含，就从该结点出发继续探索下去，如果该结点不包含问题的解，则逐层向其祖先结点回溯。 若用回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束。 一般步骤定义一个解空间（子集树、排列树二选一） 理解 重要 利用适于搜索的方法组织解空间。 利用深度优先法搜索解空间。 利用剪枝函数避免移动到不可能产生解的子空间。
检测检测是判断是否剪枝的依据。 约束函数-是否满足显约束（存在） 限界函数-是否满足隐约束（最优）
子集树模板
遍历子集树(完全二叉树)，时间复杂度 O(2^n)，可以分为两类题型：
如果解的长度是不固定的，那么解和元素顺序无关，即可以从中选择0个或多个。例如：子集，迷宫，… 如果解的长度是固定的，那么解和元素顺序有关，即每个元素有一个对应的状态。例如：子集，8皇后，…
解空间的个数指数级别的，为2^n，可以用子集树来表示所有的解 适用于：幂集、子集、0-1背包、装载、8皇后、迷宫、… 子集树模板递归版'''求集合{1, 2, 3, 4}的所有子集'''
class SubSetTree:
def __init__(self, a):
self.a = a # 数据列表
self.n = len(a) # 数据长度
self.x = [] # 一个解
self.X = [] # 一组解
def conflict(self, k): # 冲突检测：无
return False
# # 例子，冲突检测：奇偶性相同，且和小于8的子集
# def conflict(self, k):
# # 根据部分解，构造部分集
# if len(self.x)==0:
# return False
# if 0 < sum(map(lambda y:y%2, self.x)) < len(self.x) or sum(self.x) >= 8: # 只比较 x[k] 与 x[k-1] 奇偶是否相间
# return True
# return False # 无冲突
# 子集树递归模板
def backtrack(self, k): # 到达第k个元素
if k >= self.n: # 超出最尾的元素
self.X.append(self.x[:]) # 保存（一个解）
else:
for i in [1, 0]: # 遍历元素 a[k] 的两种选择状态:1-选择，0-不选
if i==1:
self.x.append(self.a[k])
if not self.conflict(k): # 剪枝
self.backtrack(k+1)
if i==1:
self.x.pop() # 回溯
def SovleSubSet(self):
self.backtrack(0)
return self.X
if __name__ == '__main__':
test = SubSetTree([1, 2, 3, 4])
res = test.SovleSubSet()
print(res) # [[1, 2, 3, 4], [1, 2, 3], [1, 2, 4], [1, 2], [1, 3, 4], [1, 3], [1, 4], [1], [2, 3, 4], [2, 3], [2, 4], [2], [3, 4], [3], [4], []] 子集树模板迭代版排列树模板遍历排列树，时间复杂度O(n!) 解空间是由 n 个元素的排列形成，也就是说 n 个元素的每一个排列都是解空间中的一个元素，那么，最后解空间的组织形式是排列树。
适用于：n个元素全排列、旅行商、… 排列树模板递归版
'''求[1,2,3,4]的全排列'''
class PermTree:
def __init__(self, data):
self.n = len(data)
self.x = data # 一个解
self.X = [] # # 一组解
# # 冲突检测：无
# def conflict(self, k):
# return False # 无冲突
# 例子，冲突检测：元素奇偶相间的排列
def conflict(self, k):
if k==0: # 第一个元素，肯定无冲突
return False
if self.x[k-1] % 2 == self.x[k] % 2: # 只比较 x[k] 与 x[k-1] 奇偶是否相同
return True
return False # 无冲突
# 排列树递归模板
def backtrack(self, k): # 到达第k个位置
if k >= self.n: # 超出最尾的位置
self.X.append(self.x[:]) # 注意x[:]
else:
for i in range(k, self.n): # 遍历后面第 k~n-1 的位置
self.x[k], self.x[i] = self.x[i], self.x[k]
if not self.conflict(k): # 剪枝
self.backtrack(k+1)
self.x[i], self.x[k] = self.x[k], self.x[i] # 回溯
def SovlePerm(self):
self.backtrack(0)
return self.X
# 测试
if __name__ == '__main__':
test = PermTree([1,2,3,4])
res = test.SovlePerm()
print(res) # [[1, 2, 3, 4], [1, 4, 3, 2], [2, 1, 4, 3], [2, 3, 4, 1], [3, 2, 1, 4], [3, 4, 1, 2], [4, 3, 2, 1], [4, 1, 2, 3]]
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