6.如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离.解：过点P作MN⊥A
D于点M，交BC于点N.∵AD∥BC，∴MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间的距离.∵AP平分∠BAD,PM⊥A
D,PE⊥AB，∴PM=PE.同理，PN=PE.∴PM=PN=PE=3.∴MN=6.即AD与BC之间的
距离为6.课堂小结角平分线尺规作图属于基本作图，必须熟练掌握性质定理一个点：角平分线上的点；二距离：点到角两边的距离
；两相等：两条垂线段相等辅助线添加过角平分线上一点向两边作垂线段12.3角的平分线的性质第十二章全等三角形
导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时角平分线的性质八年级数学上（RJ）学习目标1.
通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理.（难点）2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题.（重点）问题1：在纸
上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？导入新课用量角器度量，也可用折纸的方法．问题2：如果把前面的纸
片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？问题3：如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC.将
点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?ABC(E)D
其依据是SSS，两全等三角形的对应角相等.问题：如果没有此仪器，我们用数学作图工具，能实现该仪器的功能吗？ABO尺规
作角平分线一做一做：请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明作图方法与仪器的关系.ABMNCO已知:∠AOB.
求作：∠AOB的平分线.仔细观察步骤作角平分线是最基本的尺规作图,大家一定要掌握噢!作法：（1）以点O为圆心，适当长
为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.（2）分别以点MN为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠A
OB的内部相交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.已知：平角∠AOB.求作：平角∠AOB的角平分线.结论：作
平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法.ABOC1.操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作P
D⊥OA，PE⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：2.观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关
系，写出结：__________PDPE第一次第二次第三次COBAPD=PEpDE实验：O
C是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.角平分线的
性质二验证猜想已知：如图，∠AOC=∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证：PD=P
E.PAOBCDE证明：∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO
中，∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，OP=OP，∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD=PE.角的平
分线上的点到角的两边的距离相等性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）
点在该平分线上；（3）垂直距离.定理的作用：证明线段相等.应用格式：∵OP是∠AOB的平分线，∴PD=PE推
理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.知识要点PD⊥OA,PE⊥OB，BADOPEC判一判：（1）∵
如下左图，AD平分∠BAC（已知），∴=，(
)在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等BDCD×BADC(
2)∵如上右图，DC⊥AC，DB⊥AB（已知）.∴=,(
)在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等BD
CD√BADC例1：已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC.垂足分别
为E,F.求证：EB=FC.ABCDEF证明：∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC，∴DE
=DF,∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△BDE和Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE≌
Rt△CDF(HL).∴EB=FC.典例精析例2:如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足
分别是D、E，PD=4cm，则PE=______cm.BACPMDE4典例精析ABCP变式：如 图，
在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4,AB=14.（1）则点P到AB的距离为_
______.D4ABCP变式：如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP平分∠BAC交BC于点P，若
PC＝4，AB=14.（2）求△APB的面积.D（3）求?PDB的周长.·AB·PD=28.由垂直平分线的性质，可知，
PD=PC=4，=当堂练习2.△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是
.ABCD3E1.如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F，DE=DF，∠EDB=
60°，则∠EBF=度，BE=.60BFEBDFACG3.用尺规
作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（）A.SSSB.A
SAC.AASD.角平分线上的点到角两边的距离相等ABMNCOA4.如图，AD是△ABC
的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是()A．6B．5C．4D．3DBCEADF方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法． |
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