第十一章三角形
11.1与三角形有关的线段
11.1.1三角形的边
学习目标：1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.
2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．
重点：利用轴对称解决简单的最短路径问题
难点：利用轴对称解决简单的最短路径问题
一、知识链接
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？
3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？
（1）三角形的三边关系：___________________________________；
(2)直角三角形中边的关系：______________________________.
4.如图，如何作点A关于直线l的对称点？
要点探究
探究点：
想一想：
1.现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
2.如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？
要点归纳：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．
则点C即为所求．如图所示.
你能用所学的知识证明你所作的点C使AC+BC最短吗？
证明：
要点归纳:在解决牧人饮马问题时，通常利用轴对称，把未知问题转化为已解决的问题，从而做出最短路径的选择.
典例精析
例1：如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的
中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（）
A．7.5B．5C．4D．不能确定
方法总结：此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解.
例2：如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和
（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一
条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（）
A．（0，3）B．（0，2）
C．（0，1）D．（0，0）
方法总结：求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固定点，而后作某一固定点关于动点所在直线的对称点，而后将其与另一固定点连线，连线与动点所在直线的交点即为三角形周长最小时动点的位置.
探究点2：造桥选址问题
实际问题：如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？
数学问题：如图，假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？
想一想：我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？
画一画：
（1）把A平移到岸边.（2）把B平移到岸边.
（3）把桥平移到和A相连.（4）把桥平移到和B相连.
比一比：（1）（2）（3）（4）中，哪种作法使得AM+MN+BN最短？
要点归纳：如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.
证明：另任作桥M1N1，连接AM1，BN1，A1N1.
针对训练
如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的
是（）
2.如图，一个旅游船从大桥AB?的P?处前往山脚下的Q?处接游客，然后将游客送往河岸BC?上，再返回P?处，请画出旅游船的最短路径．
如图小河边有两个村庄A要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．(1)若要使厂址到A两村的距离相等则应选择在哪建厂(要求：保留作图痕迹写出必要的文字说明)?(2)若要使厂址到A两村的水管最短应建在什么地方？
二、课堂小结
1.如图，直线m同侧有A、B两点，A、A′关于直线m对称，A、B关于直线n对称，直线m与A′B和n分别交于P、Q，下面的说法正确的是（）
A．P是m上到A、B距离之和最短的点，Q是m上到A、B距离相等的点
B．Q是m上到A、B距离之和最短的点，P是m上到A、B距离相等的点
C．P、Q都是m上到A、B距离之和最短的点
D．P、Q都是m上到A、B距离相等的点
第1题图第2题图第3题图
2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．若在OA、OB上分别有动点Q、R，则△PQR周长的最小值是（）
A．10B．15C．20D．30
3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是_____米.
4.如图，边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）．点P在x轴上，当PA+PB的值最小时，在图中画出点P．
5.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD′,EE′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD′E′EB的路程最短？
拓展提升
6.（1）如图1，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点．
（2）如图2，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点．
（3）如图3，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点．
教学备注
学生在课前完成自主学习部分
1.问题引入
（见幻灯片3）
自主学习
教学备注
配套PPT讲授
2.探究点1新知讲授
（见幻灯片5-15）
课堂探究
实际问题:如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
数学问题:如图，点A、B在直线l的同一侧，在直线l上求作一点C,使AC+BC最短.
教学备注
3.探究点2新知讲授
（见幻灯片16-24）
教学备注
配套PPT讲授
想一想：如何说明此时AM+MN+BN最短呢？
教学备注
配套PPT讲授
4.课堂小结
5.当堂检测
（见幻灯片25-32）
牧人饮马问题
轴对称+线段公理
最短路径问题
平移
造桥选址问题
当堂检测
教学备注
配套PPT讲授
5.课堂小结
6.当堂检测
（见幻灯片24-28）
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