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甬上煌言 做最好的数学教育公众号——从小学到研究生。 来都来了，敬请关注“甬上煌言”，或者直接搜doubimather，逗逼数学人。 更加欢迎置顶。 上周说起奥数，就实在是忍不住恨哪。。。写多了，继续回来把因式分解写完。 待定系数法最经典的应用就在于齐次轮换对称式的应用上。   贼老师 这种多项式因式分解的特点有：次数高，项数多，分解难度大，可谓是因式分解的终极杀手。 但是待定系数法简直就是这一类的克星！专治齐次轮换式的不服！  在开始我们的例子之前，我们必须明确这样一个事实： 这个可是很重要的一个基本原理哦！ 对于一次的对称式，很显然是x+y+z； 二次的对称式有两种：  当然，xyz和(x+y)(y+z)(z+x)是我们考虑的三次的对象——从式子的特点可以看出，如果我们某个齐次轮换式含有x或者x+y的话，那么必定含有其他的两个分量。 我们来看一些具体的例子，来说明待定系数法的威力！ 贼老师 例1 因式分解：    等等！这个不是公式吗？ 没错啊，是公式，但是公式也是可以推导的啊？！  贼老师 怎么上手？ 注意哈，贼老师要变了！那位家长！你当学生的时候就不听讲，现在还不听吗？对，说你那！题目本身不重要，但是怎么想的很重要！！！ 贼老师 因为这是个三次多项式，所以分解完了肯定要有一次式，而一次的对称式只能是x+y+z，所以把x+y+z作为除式，直接用带余除法一除，如果能除尽，那就完事了，事实上当然可以除尽： 那么用待定系数法怎么做呢？ 首先我们要判断x+y+z是不是上式的因式。如何判断？ 大家是否还记得我们如何判断多项式是否含有x-1的因子的？ 没错，就是令x=1代入到多项式中去，如果多项式等于0，那么必定含有x-1！ 道理很简单，因为当x=1时，x-1=0，如果多项式含有x-1的因子，那就应该分解成(x-1)(……)的形式，那么当x=1时，多项式自然为0. 这点很重要！！！ 贼老师 事实上，这就是打通多项式和方程之间联系的桥梁！我们学数学，观点很重要。很多时候数学提不高，是因为眼界太低，只注重本章节的一亩三分地，而忽略了知识点之间的联系！ 所以家长一定要帮助孩子打通不同章节之间的联系，要学会用不同的观点来看知识点。多项式和方程其实是有着天然紧密的联系的，但是很多时候被忽视了。 接下来我们继续从方程的观点看，如果 含有x+y+z的因子，那么也就是说x+y+z=0的时候， 也要等于0. 我们令x=-y-z，代入到上式中去，经过计算， 确实等于0，也就是说原式含有因式x+y+z。 那么其余部分该如何确定呢？ 贼老师 很显然，上式不等于x+y+z的三次方，那么剩下的必然是对称的二次项。而二次的对称式只有两种可能： 具体哪种？ 不知道。 于是我们可以进行待定系数了！ 贼老师 设 然后令x=y=1,z=0,x=y=z=1分别代入到上式，把a,b解出来即可！ 是不是觉得很方便？！ 贼老师 我们再来看一个： 例2 如果你考虑把前面这部分展开，这是不现实的。。。理论上前面的式子展开有243项，就是合并同类项完了还有好几十项。。。 所以很多人直接拿到题目就quit了。 我们用待定系数法来看看！ 很显然，x+y+z=0时原式不一定等于0，于是又。。。做不下去了。 因为二次项根本无法确定啊！ 好，这时候该如何转弯呢？ 你应该指导孩子：一次二次都完蛋了，我们还有三次啊！ 贼老师 没错，这时候我们可以看看xyz和(x+y)(y+z)(z+x)是不是原式的因子！ 而由于这两种三次式也都是对称式，所以只要考虑x=0或者x+y=0是不是因子就可以了。 我们令x=0代入原式，发现原式并不一定为0，pass； 而令x=-y时，我们发现：原式等于0了！ 所以一定含有(x+y)(y+z)(z+x)！剩下的二次就很好待定了。 我们可以设原式分解为： 具体的步骤为： 今天的内容信息量比较大，好好消化哟！ 贼老师 敲黑板划重点 一是待定系数法如何灵活运用； 二是如何从方程的角度看多项式因式分解。 下课！ 关注贼老师 好好学习 天天向上 |
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