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微积分与π

 生命中的真实 2020-12-17

原标题:微积分与π

数学教学研究由邵勇本人独创。每周推送两到三篇内容上有分量的数学文章,但在行文上力争做到深入浅出。几分钟便可读完,轻松学数学。

我们知道,π叫圆周率,它的定义很简单,就是:圆的周长与圆的直径的比值。这是一个无理数,它甚至比根号2这样的无理数“还无理”,这是因为根号2是代数式x^2-2的根,而π根本不是任何代数式的根,所以我们说π是一个超越数。几千年来,人们对π的研究从未间断过,人们对π的精确度的追求如醉如痴,不光数学家,连许许多多以数学为业及大量的业余数学爱好者也加入了这个行列。比如就有一位名叫香克斯的人宣称精确度算到了小数点后第707位,但后来被发现第528位是错的,这是由后来的计算机花了70个小时的运算时间才发现的,而这位数学爱好者更是花了15年时间进行研究。可想而知,π有多么迷人! 中国数学家祖冲之用两个正整数的比值对π的近似是最简洁的:355/113 ≈ 3.14159292,这是一项很了不起的成就。印度数学家拉马努金也在π的计算上给出过很多有趣但也很古怪的计算式,不知他是怎么想出来的,比如

这些近似值的精确度都能达到很高,但它们的精确度终归是确定的。

后来,人们发现用无穷级数或无穷乘积可以很好地表示这个神秘的π。并且,理论上说,精确度可以任意高。比如小数点后100位,10000位,100万位,当然要求你的计算机运算速度足够快,还有就是无穷级数的收敛速度要快。这是与那些固定的公式只能给出π的固定精确度的近似值有着本质的不同。

今天来说一说一个著名的无穷级数,看一看这个级数是怎样与π产生神秘联系的。我们需要先做些铺垫。

(1)正整数级数,它是发散的,即n趋于无穷时,它也趋于无穷。

(2)调和级数,它也是发散的,证明不复杂,很多书上都有介绍,或者以后我有机会给大家再介绍(以前推送过调和级数的内容,比如《小虫能爬到头吗?》《无穷阶梯》等等,正好可以把无穷级数发散的证明补充上成系列)。

(3)下面就到了今天要说的著名无穷级数。这个级数很有规律,即把正整数的平方的倒数加起来,也就是把上面的调和级数的每一项换成它的平方。从形式上看很有规律,人们长期以来就知道它,也知道它是收敛的,但一直不知道它收敛到什么值。数学家J. 伯努利也没能求出这个无穷级数的值。在他去世10年后,伟大的数学家欧拉在28岁时终于给出了解答。结果让人惊讶——这些简单得不能再简单的正整数,经过除法、加法、乘法和开平方这几种运算,竟然能够与这个无理数甚至是超越数的π产生联系。这真是很神奇! 这个用无穷级数表示π的著名公式就是:

下面就给出它的详细的推导过程。将会用到微积分和高等代数的一些知识,我们应该都在大学数学课程中学习过这些知识,可能您有些忘记了,我正好在这里,借助π这个神奇的数,帮助您重捡当年所学数学知识。这些知识有:

(1)正弦函数sinx的幂级数展开式:

(2)正弦函数可以像多顶式函数那样被分解因式(这也是伟大的欧拉的成就)。具体来说,一个n次多项式:

如果它有n个零点,则它可以分解因式为:

上式可以改写为:

好的,有了上面这些准备工作,我们就可以对正弦函数进行类似的操作。显然,0,±π,±2π,±3π,… 都是正弦函数sinx的零点。于是,我们可以把sinx表示为:

应用平方差公式,上式可化简为:

下面我们来比较上面所得到的sinx的无穷乘积表达式(下面用表示)与前面所得的sinx的幂级数展开式(下面用表示)

①式:

式:

两者都是由x的奇数次幂这样的项构成,它们的同类项的系数相等。

先分析①式。需要研究一下它的展开式中各项的系数是怎样构成的。每个括号中都有一个x平方项。所有这些括号表示的因子乘积被展开成多项式后,x平方项的系数一定是每个括号中x平方项系数的和。即:

式:

又因为式的右侧还有一个x因子,所以,上式(式)就是式右侧展开成多项式后x三次方项的系数。

式中x三次方项的系数就应该与上式相等,所以我们得到:

上式两边同时乘以

结果就得到:

这个公式就是历史上吸引众多数学家投身其中而最终由欧拉给出解答的著名无穷级数。(数学中以欧拉命名的公式或定理实在是很多。)

几天前那期《微积分第一题》中曾给出过一个用无穷级数表示π的公式,即莱布尼茨公式:

到目前为止,我的公众号中给出了两个著名的无穷级数表示π的公式。以后还会陆续给出其他表示π的公式及它们的推导过程和相关历史。如有不到之处,敬请批评指正。谢谢您的阅读!

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