原文链接:http:///?p=5231为了方便起见,这些模型通常简称为TAR模型。这些模型捕获了线性时间序列模型无法捕获的行为,例如周期,幅度相关的频率和跳跃现象。Tong和Lim(1980)使用阈值模型表明,该模型能够发现黑子数据出现的不对称周期性行为。 一阶TAR模型的示例: σ是噪声标准偏差,Yt-1是阈值变量,r是阈值参数, {et}是具有零均值和单位方差的iid随机变量序列。 每个线性子模型都称为一个机制。上面是两个机制的模型。 考虑以下简单的一阶TAR模型:
#低机制参数
i1 = 0.3 p1 = 0.5 s1 = 1
#高机制参数
i2 = -0.2 p2 = -1.8 s2 = 1
thresh = -1 delay = 1
#模拟数据 y=sim(n=100,Phi1=c(i1,p1),Phi2=c(i2,p2),p=1,d=delay,sigma1=s1,thd=thresh,sigma2=s2)$y
#绘制数据
plot(y=y,x=1:length(y),type='o',xlab='t',ylab=expression(Y[t]) abline(thresh,0,col="red") TAR模型框架是原始TAR模型的修改版本。它是通过抑制噪声项和截距并将阈值设置为0来获得的: 框架的稳定性以及某些规律性条件意味着TAR的平稳性。稳定性可以理解为,对于任何初始值Y1,框架都是有界过程。 在[164]中:
#使用不同的起点检查稳定性 startvals = c(-2, -1.1,-0.5, 0.8, 1.2, 3.4)
count = 1 for (s in startvals) { ysk[1 } else { ysk[i] = -1.8*ysk[i-1] }
count = count + 1 }
#绘制不同实现 matplot(t(x),type="l" abline(0,0) Chan和Tong(1985)证明,如果满足以下条件,则一阶TAR模型是平稳的 一般的两机制模型写为: 在这种情况下,稳定性更加复杂。然而,Chan and Tong(1985)证明,如果 模型估计一种方法以及此处讨论的方法是条件最小二乘(CLS)方法。 为简单起见,除了假设p1 = p2 = p,1≤d≤p,还假设σ1=σ2=σ。然后可以将TAR模型方便地写为 如果Yt-d> r,则I(Yt-d> r)= 1,否则为0。CLS最小化条件残差平方和: 在这种情况下,可以根据是否Yt-d≤r将数据分为两部分,然后执行OLS估计每个线性子模型的参数。 如果r未知。 在r值范围内进行搜索,该值必须在时间序列的最小值和最大值之间,以确保该序列实际上超过阈值。然后从搜索中排除最高和最低10%的值
#找到分位数 lq = quantile(y,0.10) uq = quantile(y,0.90)
#绘制数据 plot(y=y,x=1:length(y),type='o',xlab='t'abline(lq,0,col="blue") abline(uq,0,col="blue")
#模型估计数
sum( (lq <= y ) & (y <= uq) )
80 如果d未知。 令d取值为1,2,3,...,p。为每个d的潜在值估算TAR模型,然后选择残差平方和最小的模型。 Chan(1993)已证明,CLS方法是一致的。 最小AIC(MAIC)方法 由于在实践中这两种情况的AR阶数是未知的,因此需要一种允许对它们进行估计的方法。对于TAR模型,对于固定的r和d,AIC变为 然后,通过最小化AIC对象来估计参数,以便在某个时间间隔内搜索阈值参数,以使任何方案都有足够的数据进行估计。
#估算模型 #如果知道阈值
#如果阈值尚不清楚
#MAIC 方法
for (d in 1:3) { if (model.tar.s$AIC < AIC.best) { AIC.best = model.tar.s$AIC model.best$d = d model.best$p1 = model.tar.s ar.s$AIC, signif(model.tar.s$thd,4)
AICM
非线性测试1.使用滞后回归图进行目测。 绘制Yt与其滞后。拟合的回归曲线不是很直,可能表明存在非线性关系。 在[168]中: lagplot(y) 2.Keenan检验: 考虑以下由二阶Volterra展开引起的模型: 其中{ϵt} 的iid正态分布为零均值和有限方差。如果η=0,则该模型成为AR(mm)模型。 可以证明,Keenan检验等同于回归模型中检验η=0: 其中Yt ^ 是从Yt-1,...,Yt-m上的Yt回归得到的拟合值。 3. Tsay检验: Keenan测试的一种更通用的替代方法。用更复杂的表达式替换为Keenan检验给出的上述模型中的项η(∑mj = 1ϕjYt-j)2。最后对所有非线性项是否均为零的二次回归模型执行F检验。 在[169]中:
#检查非线性: Keenan, Tsay #Null is an AR model of order 1 Keenan.test(y,1) $test.stat
90.2589565661567
$p.value
1.76111433596097e-15
$order
1 在[170]中:
Tsay.test(y,1)
$test.stat
71.34
$p.value
3.201e-13
$order
1 4.检验阈值非线性 这是基于似然比的测试。 零假设是AR(pp)模型;另一种假设是具有恒定噪声方差的p阶的两区域TAR模型,即σ1=σ2=σ。使用这些假设,可以将通用模型重写为 零假设表明ϕ2,0 = ϕ2,1 = ... = ϕ2,p = 0。 似然比检验统计量可以证明等于 其中n-p是有效样本大小,σ^ 2(H0)是线性AR(p)拟合的噪声方差的MLE,而σ^ 2(H1)来自TAR的噪声方差与在某个有限间隔内搜索到的阈值的MLE。 H0下似然比检验的采样分布具有非标准采样分布;参见Chan(1991)和Tong(1990)。 在[171]中:
res = tlrt(y, p=1, d=1, a=0.15, b=0.85) res $percentiles
14.1
85.9 $test.statistic
: 142.291963130459
$p.value
: 0 模型诊断 使用残差分析完成模型诊断。TAR模型的残差定义为 标准化残差是通过适当的标准偏差标准化的原始残差: 如果TAR模型是真正的数据机制,则标准化残差图应看起来是随机的。可以通过检查标准化残差的样本ACF来检查标准化误差的独立性假设。
#模型诊断
diag(model.tar.best, gof.lag=20) 预测 预测分布通常是非正态的。通常,采用模拟方法进行预测。考虑模型 然后给定Yt = yt,Yt-1 = yt-1,... 因此,可以通过从误差分布中绘制et + 1并计算h(yt,et + 1),来获得单步预测分布的Yt + 1的实现。。 通过独立重复此过程 B 次,您可以 从向前一步预测分布中随机获得B值样本 。 可以通过这些B 值的样本平均值来估计提前一步的预测平均值 。 通过迭代,可以轻松地将仿真方法扩展为找到任何l步提前预测分布: 其中Yt = yt和et + 1,et + 2,...,et + l是从误差分布得出的ll值的随机样本。 在[173]中:
#预测 model.tar.pred r.best, n.ahead = 10, n.sim=1000) y.pred = ts(c lines(ts(model.tar.pred$pred.interval[2,], start=end(y) + c(0,1), freq=1), lty=2) lines(ts(model 样例这里模拟的时间序列是1700年至1988年太阳黑子的年数量。 在[174]中:
#数据集 #太阳黑子序列,每年
plot.ts(sunsp
#通过滞后回归图检查非线性 lagplot(sunspo)
#使用假设检验检查线性 Keenan.test(sunspot.year) Tsay.test(sunspot.year) $test.stat
18.2840758932705
$p.value
2.64565849317573e-05
$order
9
$test.stat
3.904
$p.value
6.689e-12
$order
9 在[177]中:
#使用MAIC方法 AIC{ sunspot.tar.s = tar(sunspot.year, p1 = 9, p2 = 9, d = d, a=0.15, b=0.85)
AICM
在[178]中:
#测试阈值非线性 tl(sunspot.year, p=9, d=9, a=0.15, b=0.85)
$percentiles
15
85 $test.statistic
: 52.2571950943405
$p.value
: 6.8337179274236e-06 #模型诊断 tsdiag(sunspot.tar.best)
#预测 sunspot.tar.pred <- predict(sunspot.tar.best, n.ahead = 10, n.sim=1000)
lines(ts(sunspot.tar.pred$pretart=e
#拟合线性AR模型 #pacf(sunspot.year) #尝试AR阶数9 ord = 9 ar.mod <- arima(sunspot.year, order=c(ord,0,0), method="CSS-ML")
plot.ts(sunspot.year[10:289] 模拟TAR模型上的AR性能 示例1. 将AR(4)拟合到TAR模型 set.seed(12349) #低机制参数 i1 = 0.3 p1 = 0.5 s1 = 1
#高机制参数 i2 = -0.2 p2 = -1.8 s2 = 1
thresh = -1 delay = 1
nobs = 200 #模拟200个样本 y=sim(n=nobs,Phi1=c(i1,p1),Phi$y
#使用Tsay的检验确定最佳AR阶数 ord <- Tsay.test(y)$order #线性AR模型 #pacf(sunspot.year) #try AR order 4 例子2. 将AR(4)拟合到TAR模型 例子3. 将AR(3)拟合到TAR模型 例子3. 将AR(7)拟合到TAR模型 参考文献恩德斯(W. Enders),2010年。应用计量经济学时间序列 最受欢迎的见解 |
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