【原】《測圓海鏡》勾股形日月南﹝14﹞五和五較說

《測圓海鏡》勾股形日月南﹝14﹞五和五較說

上傳書齋名：瀟湘館112  Xiāo Xiāng Guǎn 112

何世強 Ho Sai Keung

提要：《測圓海鏡》之“圓城圖式”含十四勾股形，連同原有之大勾股形共十五勾股形。此等勾股形三邊形成一系列之恆等式，本文主要談及第14勾股形日月南相關之等式。

關鍵詞：明弦、明股、明勾、日月南

《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰，書成於 1248 年，時為南宋淳祐八年。該書卷一“圓城圖式”主要討論與十五勾股形相關之等式，本文介紹其部分等式並作出証明。

《測圓海鏡》之〈五和五較〉篇涉及一系列之勾股恆等式，所有恆等式皆與十五勾股形有關。十五勾股形中最大者為天地乾，其三邊勾股弦分別以a₁、b₁、c₁ 表之，其餘十四勾股形三邊勾股弦則分別以 a_i、b_i、c_i 表之，其中 1 < i ≦ 15。但 a_i、b_i、c_i 均可以 a₁、b₁、c₁ 表之，此乃《測圓海鏡》之精髓。注意勾股定理成立，即  a_i² + b_i² = c_i²。

有關以 a₁、b₁、c₁ 表 a_i、b_i、c_i 之式可參閱筆者另文〈《測圓海鏡》“圓城圖式”之十二勾股弦算法〉。

《測圓海鏡》涉及一系列之勾股恆等式，所有恆等式皆與十五勾股形有關。十五勾股形中最大者為天地乾，其三邊勾股弦分別以a₁、b₁、c₁ 表之，其餘十四勾股形三邊勾股弦則分別以 a_i、b_i、c_i 表之，其中 1 < i ≦ 15。但 a_i、b_i、c_i 均可以 a₁、b₁、c₁ 表之，此乃《測圓海鏡》之精髓。注意勾股定理成立，即
 a_i² + b_i² = c_i²。

以下左為“圓城圖式”右為“圓城圖式十五句股形圖”。

本文談及之勾股形乃“日月南”﹝又稱為“明”，因日月為明之故也﹞，亦即以下兩圖帶棗紅色之二勾股形，日月南之斜邊“日月”是為明弦，其直角為 14，以 14 之位置為 “南”，其勾股與弦分別為  a₁₄﹝月南﹞、b₁₄﹝日南﹞ 與 c₁₄﹝日月﹞。注意 14 之點亦可表示“日月南”勾股形。

注意以下之“日月南”勾股形之位置：

注意圓徑為 a₁ + b₁ – c₁，見上圖左之東南西北圓。

以下為日月南勾股形之三事﹝三事，三邊之長也﹞：

南月勾﹝又稱明勾﹞：a₁₄ = (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

日南股﹝又稱明股﹞：b₁₄ = (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

日月為明弦﹝簡稱明弦﹞：c₁₄ = (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

日月南勾股形之三事和或較亦可以以 a₁、b₁、c₁ 表之。

若勾股形之弦 = c，勾 = a，股 = b，則以下為五和五較：

(1)      勾股和：a + b

(2)      勾股較：b – a

(3)      勾弦和：a + c

(4)      勾弦較：c – a

(5)      股弦和：b + c

(6)      股弦較：c – b

(7)      弦較和：c + (b – a) ﹝較指勾股較，和指弦與勾股較之和﹞

(8)      弦較較：c – (b – a) ﹝第一較字指勾股較，第二較字指弦與勾股較之較﹞

(9)      弦和和：(a + b) + c ﹝第一和字指勾股和，第二和字指弦與勾股和之和。又稱為三事和﹞

(10)      弦和較：(a + b) – c ﹝第一和字指勾股和，第二較字指弦與勾股和之較。又稱為三事較﹞

以下為與明弦﹝勾股形日月南 (14)﹞有關之等式：

明弦勾股和即大差股內減明弦。其較則明弦內減虛股也。勾弦併即髙股。其較則髙股內少二之明勾也。股弦和即邊股內減大差勾。又為邊勾邊弦差。其較則半個虛黃方也。弦較和即大差上勾弦較。其較則虛股也。三事和即股圓差。其較則太虛上勾弦較。又為虛股內減虛黃方也。

以下為各條目之証明：

明弦勾股和即大差股內減明弦。

明弦勾股和=b₁₄ + a₁₄ = (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) +(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

= (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[+]

=(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(a₁ + b₁) 。

已知大差股 =天坤股﹝又稱大差股﹞：

b₁₀ = b₁ – (a₁ + b₁ – c₁) = b₁ – a₁ – b₁ + c₁ = c₁ – a₁。

大差股內減明弦=b₁₀ – c₁₄

= (c₁ – a₁) – (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

= (c₁ – a₁)[1– (b₁ – c₁ + a₁)]

=(c₁ – a₁)[2a₁b₁ – c₁b₁ + c₁² – c₁a₁]

=(c₁ – a₁)[2a₁b₁ – c₁b₁ + a₁² + b₁² – c₁a₁]

=(c₁ – a₁)[(a₁ + b₁)² – c₁(b₁ + a₁)]

=(c₁ – a₁)(a₁ + b₁)(a₁ + b₁ – c₁)。

所以明弦勾股和 = 大差股內減明弦。“內減”即以前者為被減數，後者為減數。

其較則明弦內減虛股也。

“其較”指明弦勾股較。

明弦勾股較=b₁₄ – a₁₄= (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) –(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

= (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[–]

=(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(b₁ – a₁) 。

已知太虛股：b₁₃ =(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

明弦內減虛股 = c₁₄ – b₁₃ = (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) –(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

= (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) –(b₁ – c₁ + a₁)²

= (b₁ – c₁ + a₁)[(c₁ – a₁) – (b₁ – c₁ + a₁)]

=(b₁ – c₁ + a₁)(c₁² – c₁a₁ – b₁² + b₁c₁ – b₁a₁)

=(b₁ – c₁ + a₁)(a₁² – c₁a₁+ b₁c₁ – b₁a₁)

=(b₁ – c₁ + a₁)[– a₁(c₁ – a₁) + b₁(c₁ – a₁)]

=(b₁ – c₁ + a₁)(c₁ – a₁)(b₁ – a₁) 。

所以明弦勾股較 = 明弦內減虛股。

勾弦併即髙股。

明弦勾弦併 = c₁₄ + a₁₄

=(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) +(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[+ 1]

=(b₁ – c₁ + a₁)(c₁ – a₁)(c₁ + a₁)

=(b₁ – c₁ + a₁)(c₁² – a₁²)

=(b₁ – c₁ + a₁)b₁²

=(a₁ + b₁ – c₁) 。

已知天旦股﹝又稱上髙股﹞= b₆ = = (a₁ + b₁ – c₁) 。

所以明弦勾弦併 = 髙股。

其較則髙股內少二之明勾也。

“其較”指明弦勾弦較。

明弦勾弦較 = c₁₄ – a₁₄

=(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) –(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[– 1]

=(b₁ – c₁ + a₁)(c₁ – a₁)(c₁ – a₁)

=(b₁ – c₁ + a₁) (c₁ – a₁)²。

髙股內少二之﹝即乘以2﹞明勾 = b₆ – 2 × a₁₄。

b₆ – 2 × a₁₄ = (a₁ + b₁ – c₁) – 2 ×(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)[–(c₁ – a₁)]

=(a₁ + b₁ – c₁)[b₁² – 2a₁c₁ + 2a₁²]

=(a₁ + b₁ – c₁)[c₁² – 2a₁c₁ + a₁²]

=(a₁ + b₁ – c₁)(c₁ – a₁)²。

所以明弦勾弦較 = 髙股內少二之明勾。

股弦和即邊股內減大差勾。

明弦股弦和=c₁₄ + b₁₄

= (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) + (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

= (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[+ 1]

=(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(c₁ + b₁)

=(c₁ – a₁)[a₁ – (c₁ – b₁)](c₁ + b₁)

=(c₁ – a₁)(a₁c₁ + a₁b₁ – c₁²+ b₁²)

=(c₁ – a₁)(a₁c₁ + a₁b₁ – a₁²)

=(c₁ – a₁)(c₁ + b₁ – a₁)。

已知天西邊股﹝簡稱邊股﹞= b₂= b₁ – (a₁ + b₁ – c₁) = (c₁ + b₁ – a₁) 。

坤月勾﹝又稱大差勾﹞= a₁₀= = (c₁ – a₁) 。

邊股內減大差勾=b₂ – a₁₀ = (c₁ + b₁ – a₁) –(c₁ – a₁)

= (b₁c₁ + b₁² –b₁a₁ – 2a₁c₁ + 2a₁²)

= (b₁c₁ + c₁² –b₁a₁ – 2a₁c₁ + a₁²)

= [c₁(c₁ +b₁ – a₁) – a₁(c₁ + b₁ – a₁)]

=(c₁ – a₁)(c₁ + b₁ – a₁)。

所以明弦股弦和 = 邊股內減大差勾。

又為邊勾邊弦差。

已知邊勾﹝川西﹞：a₂ = (c₁ + b₁ – a₁) 。

邊股﹝天西﹞：b₂ = (c₁ + b₁ – a₁) 。

邊弦﹝天川﹞：c₂ = (c₁ + b₁ – a₁) 。

邊弦上勾弦較 = c₂ – a₂ = (c₁ + b₁ – a₁) – (c₁ + b₁ – a₁)

= (c₁ + b₁ – a₁)(c₁ – a₁)。

所以明弦股弦和 = 邊弦上勾弦較﹝即邊勾邊弦差﹞。

其較則半個虛黃方也。

“其較”指明弦股弦較。

明弦股弦較 = c₁₄ – b₁₄

= (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) – (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

= (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[– 1]

=(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(c₁ – b₁) 。

已知虛黃方 = b₁₃ + a₁₃ – c₁₃

= – (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) +(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) + (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

=(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(– c₁ + b₁ + a₁)

=(a₁ + b₁ – c₁)²(– c₁ + b₁ + a₁)

=(a₁ + b₁ – c₁)²(a₁ + b₁ – c₁)

=(c₁ – a₁)(c₁ – b₁)(a₁ + b₁ – c₁) 。

注意等式 (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) = (a₁ + b₁ – c₁)²。“黃方”定義可參閱筆者另文。

半個虛黃方=(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(c₁ – b₁)。

所以明弦股弦較 = 半個虛黃方。

弦較和即大差上勾弦較。

明弦弦較和 = c₁₄ + (b₁₄ – a₁₄) = c₁₄ + b₁₄ – a₁₄。

c₁₄ + b₁₄ – a₁₄

= (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) + (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)
 –(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[ + –]

=(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(c₁ + b₁ – a₁)

=(c₁ – a₁)[b₁ – (c₁ – a₁)][b₁ + (c₁ – a₁)]

=(c₁ – a₁)[b₁² – (c₁ – a₁)²]

=(c₁ – a₁)[b₁² –c₁² – a₁²+ 2c₁a₁]

=(c₁ – a₁)[ – 2a₁² + 2c₁a₁]

=(c₁ – a₁)[ – a₁ + c₁]

=(c₁ – a₁)²。

大差上弦勾差= c₁₀ – a₁₀ = (c₁ – a₁) – (c₁ – a₁)

= (c₁ – a₁)(c₁ – a₁)

=(c₁ – a₁)²。

所以明弦弦較和=大差上弦勾差。

其較則虛股也。

“其較”指弦較較。

明弦弦較較 = c₁₄ – (b₁₄– a₁₄) = c₁₄ – b₁₄ + a₁₄。

c₁₄ – b₁₄+ a₁₄

= (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) – (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) +(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[– +]

=(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(c₁ – b₁ + a₁)

=(c₁ – a₁)[a₁ – (c₁ – b₁)][a₁ + (c₁ – b₁)]

=(c₁ – a₁)[a₁² – (c₁ – b₁)²]

=(c₁ – a₁)[a₁² –c₁² – b₁²+ 2c₁b₁]

=(c₁ – a₁)[ – 2b₁² + 2c₁b₁]

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

已舍太虛股：b₁₃ =(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

所以明弦弦較較 = 虛股。

三事和即股圓差。

明弦三事和即弦和和 = c₁₄ +b₁₄ + a₁₄。

c₁₄ + b₁₄ + a₁₄

= (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) + (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)
 +(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[++]

=(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(c₁ + b₁ + a₁)

=(c₁ – a₁)[a₁ – (c₁ – b₁)][a₁ + (c₁ + b₁)]

=(c₁ – a₁)[a₁² +a₁c₁ + a₁b₁ – a₁c₁ + a₁b₁ – c₁² + b₁²]

=(c₁ – a₁) × 2a₁b₁

= c₁ – a₁。

已知股圓差 =b₁ – (b₁ – c₁ + a₁) = b₁ – b₁ + c₁ – a₁ = c₁ – a₁。

所以明弦三事和= 股圓差。

其較則太虛上勾弦較。

“其較”指明弦三事較，又即弦和較。

明弦三事較 = 弦和較 =b₁₄ + a₁₄ – c₁₄。

b₁₄ + a₁₄ – c₁₄

= –(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) + (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) +(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[ –++]

=(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)( – c₁ + b₁ + a₁)

=(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)²

= (c₁ – a₁)(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)²。

注意等式 (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) = (a₁ + b₁ – c₁)²。

太虛勾弦較=c₁₃ – a₁₃= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) –(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

=(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)[– 1]

=(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(c₁ – a₁)

=(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)²。

所以明弦三事較 = 太虛上勾弦較。

又為虛股內減虛黃方也。

虛股內減個小黃方= b₁₃ – (a₁₃ + b₁₃– c₁₃)

= c₁₃ – a₁₃

= 太虛勾弦較。

所以明弦三事較 = 虛股內減虛黃方也。

以下為《測圓海鏡》原文：