数学漫步第二章：活在二维空间“文明”怎样观察三维世界？

在这一章中，我们作为错觉艺术大师埃舍尔画中那些生活在平面国中的二维生物一起想像三维物体。视频请见数学漫步第二章。

1. 三位杰出人物

莫里茨·科内利斯·埃舍尔(1898-1972)是一个荷兰杰出的版画艺术家，他的作品引起了许多数学家的兴趣。他的版画给我们展示了自相矛盾的世界与有着惊人对称性的瓷砖和无限的透视：正是令数学家们着迷的东西！你能在埃舍尔官网上找到他的传记与他的版画的复制品。

埃舍尔、巴赫和哥德尔

约翰·塞巴斯蒂安·巴赫(1685-1750)，巴洛克时期的作曲家及管风琴、小提琴、大键琴演奏家，是另一位吸引了数学家目光的艺术家。他同样在作品中给我们展示了惊人的对称。

库尔特·哥德尔(1906-1978)是一位引发了逻辑学革命的数学家，他同样探讨整体与部分间的对称性。

一本杰出的书《Gôdel, Escher, Bach》（中译本：《哥德尔、埃舍尔、巴赫：集异璧之大成》）探讨了这三位杰出人物作品之间所蕴含的深刻关系。

埃舍尔最有名的版画之一叫做《爬行动物》。由于它在影片中一闪而过，让我们在这花点时间欣赏它。在写生簿的一页上我们看到扁平的蜥蜴瓷砖完美地拼接在一起。

埃舍尔的《爬行动物》

这是平面世界的景象：生活在纸质平面上的蜥蜴们只知道书页，而对周围的立体空间一无所知。我们看得见它们，并且知道它们所生活的平面世界不过是存在于我们三维空间中的笔记本的某一页，但是那些平面内的蜥蜴们不知道这点。

其中一条蜥蜴发现了逃离平面，并且进入我们这个世界的办法：我们在画面底部看到他逐渐变厚实立体，攀爬上一本书，利用一把三角板工具爬向一个正十二面体的顶部平面，最后重新回到平面世界中他的位置。但其过程中，它就像发现了新大陆的探险家，获得了不可多得的经历。

这副版画引起了人们的哲学思考：如果这些蜥蜴并不了解它们周围的外部世界，我们是否也会有同样的情况？ 难道在我们的 '外部 '就没有一个更 '外部 '空间世界，而我们的感官又无法感知进入这个世界吗？

实际上，版画中有许多哲学暗示。我们看到柏拉图认为组成世界的四种元素：杯子中的水，蜥蜴鼻孔呼出的空气，盆中的土与火柴盒所暗示的火，我们甚至看见正十二面体，那是柏拉图所指的第五元素，经典的十二面体……也许“job”牌香烟纸会不会是一个圣经中的典故？

这一章的目的是为了让我们为第四维做准备。为了感知到四维空间，让我们先来想像如何向纸平面蜥蜴解释第三个维度。假设我们由上帝（哲学家？数学家？）选出来的蜥蜴，并且有离开纸面爬上十二面体的特权。我们在三维空间中，看见一个罐子，一本书，一个正十二面体，而我们的任务是向那些还困在平面而看不到这些物体的蜥蜴“展示”这些东西。

二. 《平面国》

艾勃特与第一版《平面国》封面

这一章也讲到埃德温·艾勃特，一位十九世纪的英国牧师，他写了一本书叫 《平面国》的讽刺中篇小说。这本书讲述一个平面社会，其中的人物是三角形，正方形，圆和线段。在这个社会中生活的规则十分复杂，而这本书的引人之处在于作者用他们讽刺作者所生活的十九世纪维多利亚时代环境，这个社会充满了自己的复杂性。

本书中的主人公，一个六边形，与视频中逃离的蜥蜴类似，通过不断对其他维数的一点一点了解，而离开了自己的平面。这本书的副标题是“一个多维的浪漫传奇”。这本小书是真正的瑰宝，它也是最早的科普作品之一。

三.柏拉图体

我们应该给平面蜥蜴展示哪些物体? 可以是花盆或一本书，但是取而代之，我们仍将以哲学的方式展示给他们五个柏拉图体。

其中一些物我们很熟悉，比如立方体，我们有时遇到其它的比如正四面体。其它的则不常见，你必须注意观察才能发现它们。

例如正二十面体，如上图所示切掉它的十二个顶点。我们得到一个由 20 个六边形和 12 个五边形组成的物体。五边形是来自被切掉的 12 个顶点，其形状与正十二面体的面相同。你也许发现最终的物体很像一个足球……。

这些物体称作 Polyhedra（多面体），源于古希腊语 πολύεδρον，由poly-（词根 πολύς，多）和 -hedron（έδρα，基底、座、面）构成，即意为“多面体”。视频中并不打算讨论多面体的复杂理论，仅从中挑选出五个美的物体把它们展示给蜥蜴，或者实际上告诉一条蜥蜴一个“足球”是什么模样。

存在许多多面体（实际上是无数多个）但是只有五个是凸正多面体，又称柏拉图立体。再次说明，我们不想追究这个词的定义的细节，仅从观察上来说这五个正多面体的中的每一个的每个面都是一样的(比如正十二面体的每个面都是正五边形，所有的边都有相同的边长)，所有的顶点也都相同(比如立方体的每个顶点都引出三条棱)。这些特性足够（几乎）描述这五个我们将展示给蜥蜴的物体。

这些多面体是算是最被数学家宠爱的物体中的一些，因为它们象征着对称，然而这一点在影片中却并未被提及。

四. 三维物体到二维空间的切面

关于向蜥蜴解释什么是正四面体的第一个想法是把正四面体做切片。这个想法非常老了，埃德温·艾勃特 经常在他的《平面国》里使用这种方法。这正是 X 射线断层照相术使用的方法，一种医学成像技术：一片一片地检查人的身体然后用连续的截面图像重建三维图像。

当一个多面体在空间中运动，遇到蜥蜴的平铺纸面时，多面体与平面的截面是个多边形。当多面体运动，多边形变形，当多面体穿过平面时它最终消失(假设多面体能穿过平面，就像法国二十世纪小说家马塞尔·埃梅的“穿墙术”！)。

蜥蜴只看见动态变化的多边形：关注他们如何变形。通过一点经验他们（也许）能最终对多面体有个直觉的感受，即使他们不能在空间中看到多面体。

这一切引发出许多问题。比如，平面上的蜥蜴如何看到一个多边形？确实困难！令人难以回答他们。但是如果再想想，你会发现我们在三维空间面临同样的问题。我们如何看见三维物体？要知道它们在我们视网膜上的投影只是二维的。存在许多种可能的回答。首先，我们的两只眼睛看同一物体得到的影像并不是严格一模一样的，我们的大脑利用这些二维图像重建三维图像。此外，阴影、光线等的效果给了我们物体距离的额外讯息。

最后，或许也是最重要的，我们对周围的世界有生活经验：当我们看见一颗足球的照片，我们能认出它是足球，即使图像是二维的，因为我们看过触摸过其他足球。所以我们大可假设我们的蜥蜴有两只眼睛，对他们世界的经验也十分丰富。如果一个六边形出现在他们面前，他们完全有能力辨认出。在艾勃特的书里，这些问题都被处理得很有趣。

在影片中我们看到正多面体穿过平面，截面/多边形随之变化。由于截面的形状取决于多面体穿越平面的方式，这导致这种形变不容易被预测。例如，比如一个立方体以一面平行于平面的方式穿越平面，我们很自然地看到截面是正方形。但是如果我们以一个穿过其中心垂直于一条对角线的平面去截立方体，我们得到的截面是一个正六边形…这个就不那么显而易见了！

在观看完所有这些多面体穿越平面之后，埃舍尔为你准备了一些练习。他给你展示一系列多面体平面截面，你必须指出这是什么多面体，就如同你是一只生活在平面里的蜥蜴。祝你完成这些测试，要知道它们并不简单(正如你将看到的)。截面方法有它的局限，我们要寻找其他方法……。

五、球极平面投影

这是另一个主意，正如下面叙述的，也许看起来很奇怪但十分有用(当轮到我们成“扁平的”时，我们被限制制在三维空间而有人努力给我们展示他所在的四维空间的物体……)。我们学习了如何把一个球体投影到平面上，而且我们发现甚至即使投影改变了长度，它仍然显示了一个相当准确的地球地理的图像，尤其当观察地球在平面上滚动时。

我们能试着同样在平面上滚动五个多面体，球极平面投影他们。问题是我们不可能滚动一个立方体，因为它不是圆的！所以我们膨胀立方体使它们像球体这样我们就能滚动它们的。比如，我们以球内接立方体开始。

立方体的表面由六块正方形组成。我们把六块面从圆心径向地投影到球面上。你也可以说我们是膨胀了一个立方体直到它变成一个球。球体现在由六个区域覆盖，而不再有正方形，当然，它们的边是弧形。这样我们得到的这个圆滚滚的“立方体”有个优点，我们能像滚动球一样滚动它。

现在我们想像有个包含六块大陆的“地球”，每一板块都是膨胀的立方体的一面。我们对膨胀的立方体和地球可以做同样的操作：把它立体地投影到平面上并且旋转它。六块大陆的旋转变换也就是正方体的六个面的旋转变换！当然，由于膨胀了的立方体的面是圆弧形的，且球极平面投影把圆投影成平面上的圆或直线，所以膨胀立方体在平面上的投影呈现出有弧边与线段的“方形”面。对于平面蜥蜴来说，他必须想像他处在一个与膨胀的立方体形成的球体相切的平面上，立方体也被投影到这平面。他在平面上所能看到的足够他去理解这个立方体：他能数顶点、棱、面，理解它们的位置关系。随着球体的旋转，面的变换会给他更清晰的想法。

这就是在这章第二部分展示的方法。首先我们以三维生物的视角展示场景：多面体、膨胀的多面体、球体、在蜥蜴的平面上的投影。然后我们采用平面蜥蜴的观点，他们只能看见投影。埃舍尔要求利用我们的想像力以判断我们到底看见的是哪种多面体。达成这样的观察功力还很不容易，但是这与切片方法相比还是看起来容易些。

在下面的章节中这种方法很有用。记住：接下来你是一个对第四维一无所知，只能感知三维的人类！某位能看见第四维文明的人会努力向你展现他所见到的，同样，会使用切面与投影的方法。