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《測圓海鏡》勾股形天山金之等式補充﹝上﹞

2021-01-07  瀟湘館112

測圓海鏡勾股形天山金等式補充﹝上﹞

上傳書齋名:瀟湘館112  Xiāo Xiāng Guǎn 112

何世強 Ho Sai Keung

提要:《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰,其書之“圓城圖式”含十四勾股形,連同原有之大勾股形共十五勾股形。此等勾股形三邊形成一系列之恆等式,本文主要談及第4勾股形天山金關之等式之補充

關鍵詞:黃廣黃廣黃廣天山金

《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰,書成於 1248 年,時為南宋淳祐八年。該書卷一“圓城圖式”主要討論與十五勾股形相關之等式,本文介紹其部分等式並作出証明。

本文所引用之勾股式源自“圓城圖式”之十五勾股形,a1b1c1 乃最大勾股形天地乾之勾、股及弦長。故 a1b1c1 又稱為大勾﹝地乾﹞、大股﹝天乾﹞及大弦﹝天地﹞。

《測圓海鏡》之〈諸雜名目〉篇涉及一系列之勾股恆等式,所有恆等式皆與十五勾股形有關。十五勾股形中最大者為天地乾,其三邊勾股弦分別以 a1b1c1 表之,其餘十四勾股形三邊勾股弦則分別以 aibici 表之,其中 1 < i 15。但 aibici 均可以 a1b1c1 表之,此乃《測圓海鏡》之精。注意 aibici 滿足勾股定理。

有關以 a1b1c1 aibici 之式可參閱筆者另文〈測圓海鏡》“圓城圖式”之十二勾股弦算法〉。

以下左為“圓城圖式”右為“圓城圖式十五句股形圖”

本文談及之勾股形乃“天山金”﹝又稱為黃廣”﹞,亦即以下兩圖帶淺紅色之二勾股形天山金”之斜邊為 c4 天山”是為黃廣,其直角為 4,以 4 之位置為 “金”,其勾與股分別為  a4山金b4天金。筆者有文〈測圓海鏡勾股形天山金4恆等式,本文是其補充。

注意以下之天山金勾股形之位置

注意圓徑為 a1 + b1c1,見上圖之東南西北圓。

以下為天山金勾股形之三事﹝三事,三邊之長也﹞:

金山 ﹝又勾﹞:a4 = (a1 + b1c1) × 2 = a1 + b1c1

其勾長是為內容圓之直徑。

天金股﹝又股﹞:b4 = = (a1 + b1c1)

天山弦﹝簡弦﹞:c4 = (a1 + b1c1)

天山金勾股形之三事和或較亦可以以 a1b1c1 表之。

以下為與勾股形天山金 (4)﹞有關之等式:

前黃廣勾股下其勾股較又為大差股上少小差股又為中差按中差通勾股較內少小差較又為黃廣股內少一徑勾弦共又為兩個底股又為大股與小差股共股弦和又為大弦中差共又為兩個邊股股弦差又為小差上黃方面

以下為各條目之証明:

前黃廣勾股下

勾股條之下,本文各條目乃補充

其勾股較又為大差股上少小差股

黃廣勾股 = b4a4 = (a1 + b1c1) – (a1 + b1c1)

= (a1 + b1c1)(– 1)

= (a1 + b1c1)(b1a1)

= (b12a12c1b1 + a1c1)

天坤股﹝又大差股﹞:

b10 = b1 – (a1 + b1c1) = b1a1b1 + c1 = c1 a1

山艮﹝又小差股﹞:b11 =  = (c1b1)

大差股上少小差股 = b10b11

b10b11 = (c1a1) –(c1b1) = (a1c1a12b1c1 + b12)

所以黃廣勾股 = 大差股上少小差股

又為中差按中差通勾股較內少小差較

依“按語”中差 = 通勾股較 = b1a1

已知小差股:b11 =  = (c1b1)

小差勾:a11 = a1 – (a1 + b1c1) = a1a1b1 + c1

 = c1b1

以上之勾股較是為“小差較”。

小差較= b11a11 = (c1b1) – (c1b1) = (c1b1)(– 1)

= (c1b1)(b1a1)

中差小差較= (b1a1) –(c1b1)(b1a1)

 = (b1a1)[1–(c1b1)]

= (b1a1)(a1 + b1c1)

=(b12a12c1b1 + a1c1)

比較兩式,可知黃廣勾股 = 中差內少小差較

又為黃廣股內少一徑

一徑”是指圓直徑 a1 + b1c1

黃廣股內少一徑= (a1 + b1c1) – (a1 + b1c1)

= (a1 + b1c1)(– 1)

=(b1a1)(a1 + b1c1)

=(b12a12c1b1 + a1c1)

所以黃廣勾股 = 黃廣股內少一徑

勾弦共又為兩個底股

勾弦共”指黃廣勾弦共

黃廣勾弦共 = a4 + c4 = (a1 + b1c1) + (a1 + b1c1)

= (a1 + b1c1)(+ 1)

= (a1 + b1c1)(c1 + a1)

= [b1 – (c1 a1)](c1 + a1)

= [b1c1 + b1a1c12 + a12]

= [b1c1 + b1a1b12]

= (a1b1 + c1)

已知日北﹝簡股﹞:b3 = = (a1b1 + c1)

兩個底股 = 2 ×(a1b1 + c1) = (a1b1 + c1)

所以黃廣勾弦共= 兩個底股

又為大股與小差股共

已知大股 = b1

小差股:b11 =  = (c1b1)

大股與小差股共= b1 + b11 = b1 +(c1b1)

= b1[1 + (c1b1)]

= (a1b1 + c1)

所以黃廣勾弦共= 大股與小差股共

股弦和又為大弦中差共

黃廣股弦和= b4 + c4 = (a1 + b1c1) + (a1 + b1c1)

=(a1 + b1c1)(c1 + b1)

=[a1 – (c1 b1)](c1 + b1)

=(a1c1 + a1b1c12 + b12)

=(a1c1 + a1b1a12)

= c1 + b1a1

中差=通勾股較 = b1a1大弦 = c1。“中差”定義見前。

大弦中差共= c1 + b1a1

所以黃廣股弦和 = 大弦中差共

又為兩個邊股

已知天西股﹝簡股﹞:b2 = b1(a1 + b1c1) = (c1 + b1a1)

兩個邊股= 2 × (c1 + b1a1) = c1 + b1a1

所以黃廣股弦和 = 兩個邊股

股弦差又為小差上黃方面

黃廣股弦 = b4c4 = (a1 + b1c1) – (a1 + b1c1)

=(a1 + b1c1)(c1b1)

小差上黃方面=小差上弦和較 =小差弦上三事較

 = (a11+ b11) – c11= a11 + b11c11

= –(c1b1) + (c1b1) + (c1b1)

= (c1b1)( – c1 + b1 + a1)

所以黃廣股弦 = 小差上黃方面

以下為測圓海鏡原文:

以下為測圓海鏡細草原文:

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