《測圓海鏡》勾股形天山金之等式補充﹝上﹞

上傳書齋名：瀟湘館112  Xiāo Xiāng Guǎn 112

何世強 Ho Sai Keung

提要：《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰，其書之“圓城圖式”含十四勾股形，連同原有之大勾股形共十五勾股形。此等勾股形三邊形成一系列之恆等式，本文主要談及第4勾股形天山金相關之等式之補充。

關鍵詞：黃廣弦、黃廣股、黃廣勾、天山金

《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰，書成於 1248 年，時為南宋淳祐八年。該書卷一“圓城圖式”主要討論與十五勾股形相關之等式，本文介紹其部分等式並作出証明。

本文所引用之勾股式源自“圓城圖式”之十五勾股形，a₁、b₁、c₁ 乃最大勾股形天地乾之勾、股及弦長。故 a₁、b₁、c₁ 又稱為大勾﹝地乾﹞、大股﹝天乾﹞及大弦﹝天地﹞。

《測圓海鏡》之〈諸雜名目〉篇涉及一系列之勾股恆等式，所有恆等式皆與十五勾股形有關。十五勾股形中最大者為天地乾，其三邊勾股弦分別以 a₁、b₁、c₁ 表之，其餘十四勾股形三邊勾股弦則分別以 a_i、b_i、c_i 表之，其中 1 < i ≦ 15。但 a_i、b_i、c_i 均可以 a₁、b₁、c₁ 表之，此乃《測圓海鏡》之精髓。注意 a_i、b_i、c_i 滿足勾股定理。

有關以 a₁、b₁、c₁ 表 a_i、b_i、c_i 之式可參閱筆者另文〈《測圓海鏡》“圓城圖式”之十二勾股弦算法〉。

以下左為“圓城圖式”右為“圓城圖式十五句股形圖”。

本文談及之勾股形乃“天山金”﹝又稱為“黃廣”﹞，亦即以下兩圖帶淺紅色之二勾股形，“天山金”之斜邊為 c₄ “天山”是為黃廣弦，其直角為 4，以 4 之位置為 “金”，其勾與股分別為  a₄﹝山金﹞與 b₄﹝天金﹞。筆者有文〈《測圓海鏡》勾股形天山金﹝4﹞之恆等式說〉，本文是其補充。

注意以下之“天山金”勾股形之位置：

注意圓徑為 a₁ + b₁ – c₁，見上圖之東南西北圓。

以下為天山金勾股形之三事﹝三事，三邊之長也﹞：

金山勾 ﹝又稱黃廣勾﹞：a₄ = (a₁ + b₁ – c₁) × 2 = a₁ + b₁ – c₁。

其勾長是為內容圓之直徑。

天金股﹝又稱黃廣股﹞：b₄ = = (a₁ + b₁ – c₁) 。

天山黃廣弦﹝簡稱黃廣弦﹞：c₄ = (a₁ + b₁ – c₁)。

天山金勾股形之三事和或較亦可以以 a₁、b₁、c₁ 表之。

以下為與黃廣弦﹝勾股形天山金 (4)﹞有關之等式：

前黃廣勾股下。其勾股較又為大差股上少个小差股。又為中差﹝按中差係通勾股較﹞內少个小差較。又為黃廣股內少一徑。勾弦共又為兩個底股。又為大股與小差股共。股弦和又為大弦中差共。又為兩個邊股。股弦差又為小差上黃方面。

以下為各條目之証明：

前黃廣勾股下。

在黃廣弦勾股條之下，本文各條目乃補充。

其勾股較又為大差股上少个小差股。

黃廣勾股較 = b₄ – a₄ = (a₁ + b₁ – c₁) – (a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(– 1)

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)

= (b₁² – a₁² – c₁b₁ + a₁c₁)。

天坤股﹝又稱大差股﹞：

b₁₀ = b₁ – (a₁ + b₁ – c₁) = b₁ – a₁ – b₁ + c₁ = c₁ – a₁。

山艮股﹝又稱小差股﹞：b₁₁ =  = (c₁ – b₁) 。

大差股上少个小差股 = b₁₀ – b₁₁，

b₁₀ – b₁₁ = (c₁ – a₁) –(c₁ – b₁) = (a₁c₁ – a₁² – b₁c₁ + b₁²) 。

所以黃廣勾股較 = 大差股上少个小差股。

又為中差﹝按中差係通勾股較﹞內少个小差較。

依“按語”中差 = 通勾股較 = b₁ – a₁，

已知小差股：b₁₁ =  = (c₁ – b₁) 。

小差勾：a₁₁ = a₁ – (a₁ + b₁ – c₁) = a₁ – a₁ – b₁ + c₁

 = c₁ – b₁。

以上之勾股較是為“小差較”。

小差較= b₁₁ – a₁₁ = (c₁ – b₁) – (c₁ – b₁) = (c₁ – b₁)(– 1)

= (c₁ – b₁)(b₁ – a₁)。

中差– 小差較= (b₁ – a₁) –(c₁ – b₁)(b₁ – a₁)

 = (b₁ – a₁)[1–(c₁ – b₁)]

= (b₁ – a₁)(a₁ + b₁ – c₁)

=(b₁² – a₁² – c₁b₁ + a₁c₁)。

比較兩式，可知黃廣勾股較 = 中差內少个小差較。

又為黃廣股內少一徑。

“一徑”是指圓直徑 a₁ + b₁ – c₁。

黃廣股內少一徑= (a₁ + b₁ – c₁) – (a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(– 1)

=(b₁ – a₁)(a₁ + b₁ – c₁)

=(b₁² – a₁² – c₁b₁ + a₁c₁)。

所以黃廣勾股較 = 黃廣股內少一徑。

勾弦共又為兩個底股。

“勾弦共”指黃廣勾弦共。

黃廣勾弦共 = a₄ + c₄ = (a₁ + b₁ – c₁) + (a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(+ 1)

= (a₁ + b₁ – c₁)(c₁ + a₁)

= [b₁ – (c₁ – a₁)](c₁ + a₁)

= [b₁c₁ + b₁a₁ – c₁² + a₁²]

= [b₁c₁ + b₁a₁ – b₁²]

= (a₁ – b₁ + c₁)。

已知日北底股﹝簡稱底股﹞：b₃ = = (a₁ – b₁ + c₁) 。

兩個底股 = 2 ×(a₁ – b₁ + c₁) = (a₁ – b₁ + c₁)。

所以黃廣勾弦共= 兩個底股。

又為大股與小差股共。

已知大股 = b₁。

小差股：b₁₁ =  = (c₁ – b₁) 。

大股與小差股共= b₁ + b₁₁ = b₁ +(c₁ – b₁)

= b₁[1 + (c₁ – b₁)]

= (a₁ – b₁ + c₁)。

所以黃廣勾弦共= 大股與小差股共。

股弦和又為大弦中差共。

黃廣股弦和= b₄ + c₄ = (a₁ + b₁ – c₁) + (a₁ + b₁ – c₁)

=(a₁ + b₁ – c₁)(c₁ + b₁)

=[a₁ – (c₁ – b₁)](c₁ + b₁)

=(a₁c₁ + a₁b₁ – c₁² + b₁²)

=(a₁c₁ + a₁b₁ – a₁²)

= c₁ + b₁ – a₁。

中差=通勾股較 = b₁ – a₁，大弦 = c₁。“中差”定義見前。

大弦中差共= c₁ + b₁ – a₁。

所以黃廣股弦和 = 大弦中差共。

又為兩個邊股。

已知天西邊股﹝簡稱邊股﹞：b₂ = b₁ – (a₁ + b₁ – c₁) = (c₁ + b₁ – a₁) 。

兩個邊股= 2 × (c₁ + b₁ – a₁) = c₁ + b₁ – a₁。

所以黃廣股弦和 = 兩個邊股。

股弦差又為小差上黃方面。

黃廣股弦差 = b₄ – c₄ = (a₁ + b₁ – c₁) – (a₁ + b₁ – c₁)

=(a₁ + b₁ – c₁)(c₁ – b₁)。

小差上黃方面=小差上弦和較 =小差弦上三事較

 = (a₁₁+ b₁₁) – c₁₁= a₁₁ + b₁₁ – c₁₁

= –(c₁ – b₁) + (c₁ – b₁) + (c₁ – b₁)

= (c₁ – b₁)( – c₁ + b₁ + a₁) 。

所以黃廣股弦差 = 小差上黃方面。

以下為《測圓海鏡》原文：

以下為《測圓海鏡細草》原文：