【原】《測圓海鏡》圓城圖之諸弦篇﹝1﹞說

《測圓海鏡》圓城圖之諸弦篇﹝1﹞說

上傳書齋名：瀟湘館112  Xiāo Xiāng Guǎn 112

何世強 Ho Sai Keung

提要：《測圓海鏡》之“圓城圖式”含十四勾股形，連同原有之大勾股形共十五勾股形。此等勾股形三邊形成一系列之恆等式，本文主要談及各勾股形與諸弦相關之等式。

關鍵詞：諸弦、大弦、邊弦、黃長弦

《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰，書成於 1248 年，時為南宋淳祐八年。該書卷一“圓城圖式”主要討論與十五勾股形相關之等式。

本文所引用之勾股式源自“圓城圖式”之十五勾股形，a₁、b₁、c₁ 乃最大勾股形天地乾之勾、股及弦長。故 a₁、b₁、c₁ 又稱為大勾﹝地乾﹞、大股﹝天乾﹞及大弦﹝天地﹞。

《測圓海鏡》之〈諸弦〉篇涉及諸勾股形之斜邊，本文重點在於証明諸弦之等式，諸弦之位置可參閱以下兩圖。

所有等式皆與十五勾股形有關。十五勾股形中最大者為天地乾，其三邊勾股弦分別以 a₁、b₁、c₁ 表之，其餘十四勾股形三邊之勾股弦則分別以 a_i、b_i、c_i 表之，其中 1 < i ≦ 15。但 a_i、b_i、c_i 均可以 a₁、b₁、c₁ 表之，此乃《測圓海鏡》之精髓。注意 i 為直角之點，亦可表一勾股形。另外勾股定理成立，即
 a_i² + b_i² = c_i²。

有關以 a₁、b₁、c₁ 表 a_i、b_i、c_i 之式可參閱筆者另文〈《測圓海鏡》“圓城圖式”之十二勾股弦算法〉。

以下左為“圓城圖式”右為“圓城圖式十五句股形圖”。

注意圓徑為 a₁ + b₁ – c₁，見上圖之東南西北圓。至於各弦之名稱及位置可參閱上兩圖。

以下為與諸弦有關之等式：

大弦為大勾與股圓差共。又為大股與勾圓差共。邊弦乃邊股平勾共。又為大股內減平弦上勾股較。底弦乃底勾髙股共。又為大勾內加一個髙差。黃廣弦為大股內減虛股。又為邊股股共。黃長弦乃大勾內減虛勾。又為底勾明勾共。髙弦乃大差弦內減明弦。又為明弦虛弦共。平弦乃小差弦內減弦。又為弦虛弦共。大差弦乃大股內減大差勾。又為髙弦明弦共。又大弦內去黃長弦。小差弦為大勾內減小差股。又為平弦弦共。又為大弦內去黃廣弦。

以下為各條目之証明：

大弦為大勾與股圓差共。

已知大弦﹝在勾股形天地乾﹞又名通弦（天地） = c₁；“圓”指圓徑。

股圓差 = b₁ – (a₁ + b₁ – c₁) = c₁ – a₁。

大勾﹝在勾股形天地乾﹞又名通勾 = a₁；

大勾與股圓差共 = a₁ + c₁ – a₁ = c₁。等號最右方是為大弦。

又為大股與勾圓差共。

已知大股﹝在勾股形天地乾﹞ = b₁；

勾圓差 = a₁ – (a₁ + b₁ – c₁) = c₁– b₁，

大股與勾圓差共 = b₁ + c₁ – b₁ = c₁。等號右方是為大弦。

邊弦乃邊股平勾共。

已知天川邊弦﹝簡稱邊弦﹞：c₂ = (c₁ + b₁ – a₁)。

天西邊股﹝簡稱邊股﹞：b₂ = b₁ – (a₁ + b₁ – c₁) = (c₁ + b₁ – a₁) 。

平勾在勾股形月川青 = a₈ = = ( a₁ +b₁ – c₁) 。

平勾亦在勾股形川地夕= a₉。

邊股平勾共 = b₂ + a₈ = (c₁ + b₁ – a₁) + (a₁ + b₁ – c₁)

= (b₁c₁ + b₁² –b₁a₁ + a₁²+ a₁b₁ – a₁c₁)

= (b₁c₁ + c₁² –a₁c₁)

= (c₁ + b₁ – a₁)。

比較兩式，可知邊弦 = 邊股平勾共。

又為大股內減平弦上勾股較。

平股在勾股形月川青。

已知平股 = b₈ = (a₁ + b₁ – c₁)。平勾 = a₈ = = ( a₁ +b₁ – c₁) 。

平弦上勾股較 = b₈– a₈ = (a₁ + b₁ – c₁) –(a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(1 –)

=(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)

=(b₁² –a₁² – c₁b₁ + c₁a₁) 。

大股內減平弦上勾股較 = b₁ –(b₁² –a₁² – c₁b₁ + c₁a₁)

= (2b₁² – b₁² + a₁²+ c₁b₁ – c₁a₁)

= (b₁²+ a₁² + c₁b₁ – c₁a₁)

= (c₁² + c₁b₁ – c₁a₁)

= (c₁ + b₁ – a₁)。

比較答案兩式可知相等，所以邊弦 = 大股內減平弦上勾股較。

底弦乃底勾髙股共。

底弦在勾股形日地北。底弦 = c₃= ( a₁ – b₁ + c₁) 。

北地底勾﹝簡稱底勾﹞= a₃= a₁ – (a₁ + b₁ – c₁) = (a₁ – b₁ + c₁) 。

髙股在勾股形天日旦= b₆ = = ( a₁ +b₁ – c₁) 。

底勾髙股共 = a₁+ b₆ = = (a₁ – b₁ + c₁) + (a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁² – a₁b₁ + a₁c₁ + a₁b₁ + b₁² –b₁c₁)

= (c₁² + a₁c₁ –b₁c₁)

= (a₁ – b₁ + c₁) 。

比較答案兩式，可知相等，所以底弦 = 底勾髙股共。

又為大勾內加一個髙差。

大勾在勾股形天地乾。已知大勾 = a₁。

髙勾﹝即日旦或山朱﹞：a₆ = (a₁ + b₁ – c₁)。

髙股﹝即天旦或日朱﹞：b₆ = = ( a₁ +b₁ – c₁) 。

“髙差”即髙勾髙股差 = b₆ – a₆。

髙勾髙股差= (a₁ + b₁ – c₁) – (a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)( – 1)

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)。

大勾內加一個髙差 = a₁ + (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)

= [2a₁² + (b₁² –a₁² – c₁b₁ + c₁a₁)]

= (b₁²+ a₁² – c₁b₁ + c₁a₁)

= (c₁² –c₁b₁ + c₁a₁)

= (a₁ – b₁ + c₁) 。

比較答案兩式可知相等，所以底弦 = 大勾內加一個髙差。

黃廣弦為大股內減虛股。

已知天山黃廣弦﹝簡稱黃廣弦﹞= c₄ = (a₁ + b₁ – c₁) 。

已知大股﹝在勾股形天地乾﹞ = b₁ 。

虛股即月泛股﹝又稱太虛股﹞= b₁₃ = = (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

大股內減虛股 = b₁ –(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

= [a₁b₁ – (c₁² –c₁a₁ – b₁c₁ + b₁a₁)]

= [a₁b₁ – c₁²+ c₁a₁ + b₁c₁ – b₁a₁]

= [ – c₁² + c₁a₁ + b₁c₁]

= (a₁ + b₁ – c₁) 。

比較答案兩式，可知黃廣弦 = 大股內減虛股。

又為邊股股共。

已知天西邊股﹝簡稱邊股﹞= b₂= b₁ – (a₁ + b₁ – c₁) = (c₁ + b₁ – a₁) 。

股在勾股形山川東。

股 = b₁₅ = = (a₁c₁ – a₁² –b₁a₁ – 2b₁² + 2b₁c₁)

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

邊股股共 = b₂+ b₁₅ = (c₁ + b₁ – a₁) + (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

= (a₁c₁ + a₁b₁ – a₁² + a₁c₁ – a₁² – b₁a₁ – 2b₁² + 2b₁c₁)

= (2a₁c₁ – 2a₁² – 2b₁² + 2b₁c₁)

= (2a₁c₁ – 2c₁²+ 2b₁c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁) 。

所以黃廣弦 = 邊股 + 股。

黃長弦乃大勾內減虛勾。

已知月地黃長弦﹝簡稱黃長弦﹞：c₅ = (a₁ + b₁ – c₁) 。

大勾 ﹝在勾股形天地乾﹞= a₁。

虛勾﹝在勾股形月山泛﹞ = a₁₃ = (a₁ + b₁ – c₁) –(c₁ – a₁)

= (b₁a₁ + b₁² – b₁c₁ – a₁c₁ +a₁²)

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

大勾內減虛勾 = a₁ – a₁₃= a₁ – (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

=[b₁a₁ – (c₁² –c₁a₁ – b₁c₁ + a₁b₁)]

=[b₁a₁ – c₁²+ c₁a₁ + b₁c₁ – a₁b₁]

=[ – c₁² + c₁a₁ + b₁c₁]

= (a₁ + b₁ – c₁) 。

所以黃廣弦 = 大勾內減虛勾。

又為底勾明勾共。

底勾在勾股形日地北。

已知北地底勾﹝簡稱底勾﹞= a₃ = a₁ – (a₁ + b₁ – c₁) = (a₁ – b₁ + c₁) 。

南月勾在勾股形日月南。

南月勾﹝又稱明勾﹞= a₁₄= (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

底勾明勾共 = a₃+ a₁₄ = (a₁ – b₁ + c₁) + (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

= (b₁a₁ – b₁²+ b₁c₁ + 2a₁c₁ – a₁² – c₁²– b₁a₁ + b₁c₁)

= (2b₁c₁ + 2a₁c₁ – 2c₁²)

= (a₁ + b₁ – c₁) 。

所以黃廣弦 = 底勾+明勾。

髙弦乃大差弦內減明弦。

已知天日上髙弦﹝簡稱上髙弦﹞：c₆ = ( a₁ +b₁ – c₁) 。髙弦可為 c₇。

大差弦在勾股形天月坤。天月大差弦﹝簡稱大差弦﹞：c₁₀ = (c₁ – a₁) 。

日月為明弦﹝簡稱明弦﹞：c₁₄ =(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

大差弦內減明弦 = c₁₀ – c₁₄ = (c₁ – a₁) –(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

= (c₁ – a₁) [1 –(b₁ – c₁ + a₁)]

=(c₁ – a₁)(2a₁ – b₁ + c₁ – a₁)

=(c₁ – a₁)(a₁ – b₁ + c₁)

=(c₁ – a₁)( – b₁ + c₁ + a₁)

=(– b₁c₁ + b₁a₁ + c₁² – a₁²)

=(– b₁c₁ + b₁a₁ + b₁²)

= ( a₁ +b₁ – c₁) 。

所以髙弦 = 大差弦內減明弦。

又為明弦虛弦共。

已知明弦 = c₁₄=(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

虛弦在勾股形月山泛。虛弦﹝簡稱太虛弦﹞= c₁₃ = (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

明弦虛弦共 = c₁₄+ c₁₃

= (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) + (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

= (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁ + 2c₁ – 2b₁)

= (c₁ – a₁)( –b₁ + c₁ + a₁)

= (–b₁c₁ + b₁a₁+ c₁² – a₁²)

= (–b₁c₁ + b₁a₁+ b₁²)

= (a₁ + b₁ – c₁) 。

所以髙弦 = 明弦 + 虛弦。

平弦乃小差弦內減弦。

已知月川上平弦﹝簡稱上平弦﹞= c₈= (a₁ + b₁ – c₁) 。

山地小差弦﹝簡稱小差弦﹞= c₁₁ = (c₁ – b₁) 。

山川弦﹝簡稱弦﹞= c₁₅ = (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

小差弦內減弦 = c₁₁ –c₁₅ = (c₁ – b₁) –(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

= (c₁ – b₁) [1 –(a₁ – c₁ + b₁)]

= (c₁ – b₁) [2b₁ – a₁ + c₁ – b₁]

= (c₁ – b₁) [b₁ – a₁ + c₁]

= (c₁ – b₁) [– a₁ + c₁ + b₁]

= (– a₁c₁ + a₁b₁ + c₁² – b₁²)

= (– a₁c₁ + a₁b₁ + a₁²)

= (a₁ + b₁ – c₁) 。

所以平弦 = 小差弦內減弦。

又為弦虛弦共。

已知弦 = c₁₅ = (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

虛弦 = c₁₃= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

弦虛弦共 = (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) + (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

= (c₁ – b₁)[(a₁ – c₁ + b₁) + (c₁ – a₁)]

= (c₁ – b₁)[a₁ – c₁ + b₁ + 2c₁ – 2a₁]

= (c₁ – b₁)[–a₁ + c₁ + b₁]

= (– a₁c₁ + a₁b₁ + c₁² – b₁²)

= (– a₁c₁ + a₁b₁ + a₁²)

= (a₁ + b₁ – c₁) 。

所以平弦 = 弦虛弦共。

大差弦乃大股內減大差勾。

已知天月大差弦﹝簡稱大差弦﹞：c₁₀ = (c₁ – a₁) 。

大股﹝在勾股形天地乾﹞ = b₁。

大差勾在勾股形天月坤，又稱坤月勾：a₁₀ == (c₁ – a₁) 。

大股內減大差勾 = b₁ – a₁₀= b₁ – (c₁ – a₁)

= [b₁² – a₁c₁+ a₁²]

= [c₁² – a₁c₁]

= (c₁ – a₁)。

所以大差弦 = 大股內減大差勾。

又為髙弦明弦共。

已知髙弦 = c₆= ( a₁ + b₁ – c₁) 。明弦 = c₁₄ =(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

髙弦明弦共 = c₆ + c₁₄=( a₁ + b₁ – c₁) + (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=( a₁ +b₁ – c₁) [1 + (c₁ – a₁)]

= ( a₁ +b₁ – c₁)(b₁ + c₁ – a₁)

= [b₁ – (c₁ – a₁)](b₁ + c₁ – a₁)

= [b₁² – (c₁ – a₁)²]

= [b₁² – c₁² –a₁² + 2c₁a₁]

= [ – 2a₁² + 2c₁a₁]

= (c₁ – a₁)。

所以大差弦 = 髙弦 + 明弦。

又大弦內去黃長弦。

已知大弦﹝在勾股形天地乾﹞= c₁。黃長弦在勾股形月地泉。

月地黃長弦﹝簡稱黃長弦﹞= c₅ = (a₁ + b₁ – c₁) 。

大弦內去黃長弦 = c₁ – c₅ = c₁ – (a₁ + b₁ – c₁)

= (b₁c₁ – c₁a₁ – c₁b₁ + c₁²)

= (– c₁a₁ + c₁²)

= (c₁ – a₁)。

所以大差弦 = 大弦內去黃長弦，去，減也。

小差弦為大勾內減小差股。

已知小差弦﹝在勾股形山地艮﹞ = c₁₁ = (c₁ – b₁) 。大勾 = a₁；

山艮股﹝又稱小差股﹞：b₁₁ =  = (c₁ – b₁) 。

大勾內減小差股 = a₁ – b₁₁= a₁ –(c₁ – b₁)

=(a₁² – b₁c₁ + b₁²)

=(c₁² – b₁c₁)

=(c₁ – b₁)。

所以小差弦 = 大勾內減小差股。

又為平弦弦共。

已知月川上平弦﹝簡稱上平弦﹞ = c₈= (a₁ + b₁ – c₁) 。

山川弦﹝簡稱弦﹞= c₁₅ = (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

平弦弦共 = c₈+ c₁₅ = (a₁ + b₁ – c₁) +(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

= (a₁ + b₁ – c₁) [1 +(c₁ – b₁)]

= (a₁ + b₁ – c₁) [1 +(c₁ – b₁)]

= (a₁ + b₁ – c₁)(a₁ + c₁ – b₁)

= [a₁ – (c₁ – b₁)](a₁ + c₁ – b₁)

= [a₁² – (c₁ – b₁)²]

= [a₁² – c₁² –b₁² + 2c₁b₁]

= [ – 2b₁² + 2c₁b₁]

= (c₁ – b₁)。

所以小差弦 = 平弦弦共。

又為大弦內去黃廣弦。

已知大弦=c₁；黃廣弦 = c₄= (a₁ + b₁ – c₁) 。

大弦內去黃廣弦 = c₁ – c₄ = c₁ – (a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁c₁ – c₁a₁ – c₁b₁ + c₁²)

= (– c₁b₁ + c₁²)

= (c₁ – b₁)。

所以小差弦 = 大弦內去黃廣弦。

以下為《測圓海鏡細草》原文：