第四节条件概率与独立性一、条件概率与乘法公式1.条件概率例1.有二个出国名额，10个人需要，现需要抽签。10签中只
有二个写上“去”，依次抽取，不放回。记B={第1个人抽到“去”字签}，A={第2个人抽到“去”字签}，显然现在我
们来考虑这样一个问题，如果第一个人抽到了“去”字签，那么第二人抽到“去”字签的概率是多大？实质上，我们的问题是求“事件B发生的
条件下，事件A发生”的概率，这个概率记为这种概率称为条件概率设A,B为两个事件，在B发生的条件下，A发生的概率为条件概率
，记为定义1则称如果例1.有二个出国名额，10个人抽签。10签中只有二个写上“去”，依次抽取，不放回。B
={第1个人抽到“去”字签}，A={第2个人抽到“去”字签}，定理1若P(B)≠0，则,显然有则例2
设解0.75认识设A,B为两个事件，求(1)解(2)例3.10个球中有三个黑球,现从中取
球两次,每次任取一球（不放回）,求第一次取到黑球的条件下,第二次取到黑球的概率.解：设
表示第i次取出黑球，则所求概率为法二麻烦！2.乘法公式推广：推导：例4.袋中
有6个球(4红,2白),无放回地摸取两次，每次1个，求第二次才取得红球的概率为()A．B．C．D．D则所求概率为
解｛第i次取得白球｝i=1,2设问：事件B＝“一红一白”的概率是多少？解答在后一版上！例4.袋中有
6个球(4红,2白)，无放回地摸取两次，每次1个，求第二次才取得红球的概率为｛第i次取得白球｝i=1,2设问：事件B＝“
一红一白”的概率是多少？解认识某透镜，第一次落下时打破的概率为若前二次落下未打破，第三次落下打破的试求透镜落下三次而
未打破的概率。若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为概率为则所求概率为解｛第i次落下打破｝i=1,2,3设
二、事件的独立性1.两个事件的独立性引例袋中有10个球(8黑,2白),有放回抽取两次.每次取一个
，令A=“第一次取得白球”,B=“第二次取出白球”，求P(B)及P(B|A).（不记）解A与B独立上式说
明无论事件发生与否,事件发生的概率不变,这种情况在概率论中就称为与独立.定义2
若P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与B注1在实际应用中,往往根据实际情况判断出两个事
件相互独立,然后利用独立性计算P(AB).注2A与B相互独立A与B互不相容相互独立.例如甲乙二导弹打敌
机,Ａ＝“甲击中敌机”,Ｂ＝“乙击中敌机”,则A与B独立，又如先后抛二枚硬币,Ａ＝{(正,反),(反,正)},
Ｂ＝{(正,正)},则A与B互不相容,∵P(A)P(B)=P(AB),∴A与B不独立但A与B可同时发生。引例
A与B独立P(AB)=P(A)P(B)例5.甲乙两人同时破译密码,已知甲、乙破译密码的概率分别为0.6、0.
5,问密码被破译的概率是多少?解设A=“甲译出密码”,B=“乙译出密码”则(2)A、B相互独立∴(2)
A与B相互独立P(AB)=P(A)P(B)(1)“密码被译出”=A∪B；定理2若A与B相互独立
,则证明:∵中的每一对事件都独立.即∴独立.与A与与B，与(2)对事件A
,B,有(1)A与B独立P(AB)=P(A)P(B)A,B独立2.多个事件的独立性定义3P(AB)=
P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C)，P(AC)=P(A)P(C),P(ABC)=P
(A)P(B)P(C)，则称A，B，C相互独立。设A，B，C为三个事件，若满足（1）（2）仅满足(1)式时,称A
,B,C两两独立。注意A,B,C相互独立A,B,C两两独立？见书P17，例1-17。若
定义4相互独立。中任意有限个事件之积的概率等于各事件概率之积,则称事件注意：
例如，相互独立。若A1,A2,….,An相互独立,由独立独
立；及独立。P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C)，P(AC)=P(A)P
(C)，P(ABC)=P(A)P(B)P(C)A，B，C相互独立。定理2若A与B相互独立,则也相互
独立.等等。则其中为或对于独立的事件,总有“积事件的概率等于各事件的概率之积”定理3相互独立,则若n
个事件证：将求事件和的概率转化为求事件积的概率是一种常用手法。独立性对偶律注意相互独立相互独立；等等。
例6.在一小时内三台不同机床需维修的概率分别为0.1、0.2、0.15,求一小时内下列事件的概率：（1）C＝“至少有一
台机床需维修”；（2）D＝“有一台机床需维修”．“第i台机床需维修”,设解(1)定理3相互独立,则若n个事件
例6.三台机床需维修的概率分别为0.1、0.2、0.15，求（2）D=“有一台机床需维修”的概率．Ai=“第i台机床需
维修”，i=1,2,3(2)独立(1)(2)独立,其中为或A1,A2,A3独立三、n重贝努里
试验在许多实际问题中，我们感兴趣的只是事件A是否发生,比如,掷一枚硬币，注意的是出现正面还是反面。射击时，注意的是是否击
中目标.定义5为贝努里试验。的试验称只考虑两个相反结果A和例如：掷一枚硬币的试验为贝努里试验。定义5
为贝努里试验。的试验称只考虑两个相反结果A和有些具有多个结果的试验，在一定的条件注：下也可视为贝努里试验。则这种寿命
试验就是一个贝努里试验。例如，掷一颗骰子，本来有6种可能结果发生，但若考虑出现的点是否小于3，此时就只有两个可能性结果，就可
视为贝努里试验。又如，灯泡的寿命试验，结果可以是任一非负实数，但如果把寿命大于5000小时的灯泡为合格品，定义5为贝努里
试验。的试验称只考虑两个相反结果A和定义6将一贝努里试验独立地重复n次的随机验试称为n重贝努里试验注意：n重
贝努里试验是具有下列特点的试验：(1)试验的内容是重复n次某一试验，每次试验有两个可能结果事件和,且恒为常数。
(2)n次试验是独立进行的。定义6将一贝努里试验独立地重复n次的随机验试称为n重贝努里试验例如，将一枚硬
币独立重复掷n次的试验为在产品抽样检验中，如果只考虑是正品还是次品，不返回抽样n次就不是一个n重贝努里试验。n重贝努里试验。
那么有返回地抽样n次就是一个n重贝努里试验,而定理4若在贝努里试验中则在n重贝努里试验中，事件A出现k次的概率
为：例如，将一枚硬币独立重复掷15次的试验为15重贝努里试验。在15重贝努里试验中，硬币出现6次正面的概率为例7
.某炮射击一次命中目标的概率为0.2，现这门炮向目标独立地射击5次,求恰好命中3次，至少命中1次的概率。解令Ai=“五
炮中击中i炮”，i=0,1,2,3,4,5A=“命中”，P(A)=0.2,若P(A)=p,则在n重贝努里试验中,
事件A出现k次的概率为5重贝努里试验n次,每次一只,求其中恰有k个白球的概率.解例8袋中有a个白球,b个
黑球,有放回地取球令A＝“一次取球中，取得的一球为白球”有放回地取球n次相当于做了p=P(A)n重贝努里试验，令B=
{恰有k个白球}P(B)如果在贝努里试验中则在n重贝努里试验中，事件A出现k次的概率为：例9设某射手在三次
射击中至少命中一次的则该射手在一次射击中命中的概率设A={一次射击中击中}，P(A)=pB={至少击中一次}，解：
如果在贝努里试验中则在n重贝努里试验中，事件A出现k次的概率为：三重贝努里试验概率为为0.5认识习题1.4；P2017,18,19,20，21,23,25。复习题1；P2438，43例3某种动物活到10岁的概率为0.8，活到15岁的概率为0.4，则现年10岁的这种动物能活到15岁的概率为设A={活到10岁}，B={活到15岁}解： |
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