方程组的解与秩

方程组的解与系数矩阵的秩相关，解的情况由矩阵的自身的信息与秩的信息确定。AX=b，是一个线性方程组，A为m*n系数矩阵。方程组有解说明了向量b在系数矩阵的列空间中，可以为列向量线性表示。讨论解的情况关注秩r，行m，列n三个数。如r=m=n，说明列向量为列空间的一组基，且变量的个数与列空间的维度相同，所以b一定在列空间中且一定可为基线性表示，有唯一解；如r=m<n即行满秩，则变量个数小于列空间维度，b可以为部分列向量线性表示，冗余了信息所以方程组可有无穷多解；如r=n<m即列满秩，说明变量的个数大于了列空间的维数，b要么落在列空间中要么不在其空间中要么可被唯一表示，要么不在列空间中而只有零解；r<m<n，说明矩阵表达了一个行满秩的子空间，要么不在子空间中而无解，要么在子空间中而有无穷多解。秩r包含了了方程组解情况的所有信息。