【原】《測圓海鏡》圓城圖之黃廣弦及髙弦﹝4﹞說

《測圓海鏡》圓城圖之黃廣弦及髙弦﹝4﹞說

上傳書齋名：瀟湘館112  Xiāo Xiāng Guǎn 112

何世強 Ho Sai Keung

提要：《測圓海鏡》之“圓城圖式”含十四勾股形，連同原有之大勾股形共十五勾股形。此等勾股形三邊形成一系列之恆等式，本文主要談及各勾股形與黃廣弦、黃長弦及其他弦相關之等式。

關鍵詞：黃廣弦、黃長弦、髙弦、平弦

《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰，書成於 1248 年，時為南宋淳祐八年。該書卷一“圓城圖式”主要討論與十五勾股形相關之等式，本文介紹其部分等式並作出証明。

本文所引用之勾股式源自“圓城圖式”之十五勾股形，a₁、b₁、c₁ 乃最大勾股形天地乾之勾、股及弦長。故 a₁、b₁、c₁ 又稱為大勾﹝地乾﹞、大股﹝天乾﹞及大弦﹝天地﹞。

《測圓海鏡》涉及一系列之勾股恆等式，所有恆等式皆與十五勾股形有關。十五勾股形中最大者為天地乾，其三邊勾股弦分別以 a₁、b₁、c₁ 表之，其餘十四勾股形三邊勾股弦則分別以 a_i、b_i、c_i 表之，其中 1 < i ≦ 15。但 a_i、b_i、c_i 均可以 a₁、b₁、c₁ 表之，此乃《測圓海鏡》之精髓。

《測圓海鏡》之〈諸弦〉篇涉及諸勾股形之斜邊，本文重點在於証明諸弦之等式，而諸弦之位置可參閱以下兩圖。筆者已有文談及此類等式名為〈《測圓海鏡》圓城圖之諸弦篇﹝1﹞說〉、〈《測圓海鏡》圓城圖之極弦及諸弦篇﹝2﹞說〉及〈《測圓海鏡》圓城圖之邊弦及相關弦﹝3﹞說〉。

以下左為“圓城圖式”右為“圓城圖式十五句股形圖”。

注意圓徑為 a₁ + b₁ – c₁，見上圖之東南西北圓。

以下為與諸弦有關之等式：

黃廣弦內減邊股即股。黃長弦內減底勾即明勾也。

髙弦髙股共即邊股。平弦平勾共即底勾。髙弦髙勾共即底股。平弦平股共即邊勾。

上髙弦減於通股餘即邊股內減股也。下平弦減於通勾，餘即邊勾內減明勾也。髙弦平弦相併，即大弦內少個皇極弦也。若以相併數減於大和，餘為皇極弦圓徑共也。髙弦平弦相減，餘即皇極差也。又為皇極弦上減小差弦也。若以相減數卻加於相併數，即黃廣弦也。

以下為各條目之証明：

黃廣弦內減邊股即股。

黃廣弦在勾股形天山金 4，邊股在勾股形天川西 2。

已知天山黃廣弦﹝簡稱黃廣弦﹞= c₄ = (a₁ + b₁ – c₁) 。

天西邊股﹝簡稱邊股﹞：b₂ = b₁ – (a₁ + b₁ – c₁) = (c₁ + b₁ – a₁) 。

黃廣弦內減邊股，即：

 (a₁ + b₁ – c₁) –(c₁ + b₁ – a₁)

= [(2c₁a₁ + 2c₁b₁ – 2c₁²) – (a₁c₁ + a₁b₁ – a₁²)]

= (2c₁a₁ + 2c₁b₁ – 2c₁² – a₁c₁ – a₁b₁ + a₁²)]

= (c₁a₁ + 2c₁b₁ – 2c₁² –a₁b₁ + a₁²)

= (c₁a₁ + 2c₁b₁ – 2a₁² – 2b₁² – a₁b₁ + a₁²)

= (c₁a₁ + 2c₁b₁ – a₁² – 2b₁² – a₁b₁)

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

已知山東股﹝又稱股，在勾股形山川東 15﹞：

b₁₅ == (a₁c₁ – a₁² –b₁a₁ – 2b₁² + 2b₁c₁)

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

與前式比較，可知黃廣弦內減邊股 = 股。

黃長弦內減底勾即明勾也。

已知黃長弦﹝在勾股形月地泉 5﹞：c₅ = (a₁ + b₁ – c₁) 。

北地底勾﹝簡稱底勾，在勾股形日地北 3﹞：
a₃ = a₁ – (a₁ + b₁ – c₁) = (a₁ – b₁ + c₁) 。

黃長弦內減底勾 = (a₁ + b₁ – c₁) –(a₁ – b₁ + c₁)

= (2a₁c₁ + 2b₁c₁ – 2c₁² –b₁a₁ + b₁² –b₁c₁)

=(2a₁c₁ + b₁c₁ – 2c₁² – b₁a₁ + b₁²)

=(2a₁c₁ + b₁c₁ – c₁² – a₁²–b₁²– b₁a₁ + b₁²)

=(2a₁c₁ + b₁c₁ – c₁² – a₁²–b₁a₁)

= (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

已知南月勾﹝又稱明勾在勾股形日月南 14﹞：a₁₄ =(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

比較兩式，可知黃長弦內減底勾 = 明勾。

髙弦髙股共即邊股。

“共”即“和”。

已知髙股﹝﹝在勾股形天日旦 6 或日山朱 7，髙弦同﹞：

b₆ = = ( a₁ + b₁ – c₁) 。

髙弦﹝即天日或日山﹞：c₆ = ( a₁ +b₁ – c₁) 。

髙弦上股弦共=c₆ + b₆ = (a₁ + b₁ – c₁) + ( a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(c₁ + b₁)

= [a₁ – (c₁ – b₁)](c₁ + b₁)

= (a₁c₁ + a₁b₁ – c₁² + b₁²)

= (a₁c₁ + a₁b₁ – a₁²)

= (c₁ + b₁ – a₁)。

已知邊股：b₂ = b₁– (a₁ + b₁ – c₁) = (c₁ + b₁ – a₁)。

比較兩式，所以髙弦上股弦共 = 邊股。

平弦平勾共即底勾。

平弦、平勾在勾股形月川青 8 或川地夕 9。

已知平勾：a₈ =  = ( a₁ +b₁ – c₁) 。

平弦：c₈ = (a₁ + b₁ – c₁) 。

平弦上勾弦共 = c₈ + a₈= (a₁ + b₁ – c₁) + (a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(c₁ + a₁)

= [b₁ – (c₁ – a₁)](c₁ + a₁)

= [b₁c₁ + b₁a₁ – (c₁² – a₁²)]

= [b₁c₁ + b₁a₁ – b₁²]

= (a₁ – b₁ + c₁) 。

已知底勾即日地北之勾，底勾 = a₃= a₁ – (a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ – b₁ + c₁) 。

所以平弦上勾弦共 = 底勾。

髙弦髙勾共即底股。

髙弦、髙勾在勾股形天日旦 6 或日山朱 7。

已知髙勾﹝即日旦或山朱﹞：a₆ = (a₁ + b₁ – c₁)。

髙弦﹝即天日或日山﹞：c₆ = ( a₁ +b₁ – c₁) 。

髙弦上勾弦共=c₆ + a₆ = (a₁ + b₁ – c₁) + (a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)( + 1)

= (a₁ + b₁ – c₁)(c₁ + a₁)

= [b₁ – (c₁ – a₁)](c₁ + a₁)

= [b₁c₁ + b₁a₁ – c₁² + a₁²]

= [b₁c₁ + b₁a₁ – b₁²]

= (a₁ – b₁ + c₁) 。

已知底股：b₃ = = (a₁ – b₁ + c₁) 。

比較兩式，所以髙弦上勾弦共 = 底股。

平弦、平股共即邊勾。

已知平股﹝在勾股形月川青 8 或川地夕 9，平弦同﹞：

b₈ = (a₁ + b₁ – c₁)。平弦：c₈ = (a₁ + b₁ – c₁) 。

平弦上股弦共 = (a₁ + b₁ – c₁) +(a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(+ 1)

= (a₁ + b₁ – c₁)(c₁ + b₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ + c₁)

= (a₁b₁ + a₁c₁ + b₁² – c₁²)

= (a₁b₁ + a₁c₁ – a₁²)

= (c₁ + b₁ – a₁) 。

已知邊勾乃天川西之勾 = a₂ = (c₁ + b₁ – a₁) 。

以上兩式相同，所以平弦上股弦共 = 邊勾。

上髙弦減於通股餘即邊股內減明股也。

已知通股﹝在勾股形天地乾 1﹞= b₁；

髙弦﹝即天日或日山﹞= c₆ = ( a₁ +b₁ – c₁) 。

上髙弦減於通股=b₁ –(a₁ + b₁ – c₁)

= (2b₁a₁ – c₁a₁ – c₁b₁ + c₁²) 

= (2b₁a₁ – c₁a₁ – c₁b₁ + a₁²+ b₁²)  

= [(b₁ + a₁)² – c₁(a₁ + b₁)]

= (b₁ + a₁)(b₁ + a₁ – c₁)。

已知天西邊股﹝簡稱邊股﹞：b₂ = b₁ – (a₁ + b₁ – c₁) = (c₁ + b₁ – a₁)。

明股﹝在勾股形日月南 14﹞= b₁₄ = (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

  邊股內減明股 = (c₁ + b₁ – a₁) –(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

= (a₁c₁ + a₁b₁ – a₁²) –(c₁b₁ – b₁a₁ – c₁² + 2c₁a₁ – a₁²)

= (a₁c₁ + a₁b₁ – a₁² – c₁b₁ + b₁a₁ + a₁²+ c₁² – 2c₁a₁)

= (a₁b₁ – c₁b₁ + b₁a₁ + c₁² – c₁a₁)

= (– c₁a₁ – c₁b₁ + c₁² + 2a₁b₁)

= (b₁ + a₁)(b₁ + a₁ – c₁)。

比較兩式可知相同，所以上髙弦減於通股 = 邊股內減明股。

下平弦減於通勾，餘即邊勾內減明勾也。

已知下平﹝在勾股形弦川地夕 9﹞= c₉ = (a₁ + b₁ – c₁) 。

通勾﹝在勾股形天地乾 1﹞= a₁。

下平弦減於通勾 = a₁ –(a₁ + b₁ – c₁)

= (2a₁b₁ – a₁c₁ – c₁b₁ + c₁²)

= (a₁² + b₁²+ 2a₁b₁ – a₁c₁ – c₁b₁)

= [(a₁ + b₁)² – c₁(a₁ + b₁)]

= (a₁ + b₁)(a₁ + b₁ – c₁)。

已知邊勾﹝川西﹞：a₂ = (c₁ + b₁ – a₁) 。

南月勾﹝又稱明勾﹞：a₁₄ = (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

邊勾內減明勾，即：

(c₁ + b₁ – a₁) –(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

= [(a₁c₁ + a₁b₁ – a₁²) – (c₁b₁ – c₁²+ c₁a₁ – a₁b₁ + c₁a₁ – a₁²)]

= (a₁c₁ + a₁b₁ – a₁² – c₁b₁+ c₁² – c₁a₁ + a₁b₁ – c₁a₁ + a₁²)

= (2a₁b₁ – c₁b₁+ c₁² – c₁a₁)

= (a₁ + b₁)(a₁ + b₁ – c₁)。

比較答案兩式，可知相等，所以下平弦減於通勾 = 邊勾內減明勾。

髙弦平弦相併，即大弦內少個皇極弦也。

“相併”即“相加”。

已知髙弦﹝即天日或日山﹞：c₆ = ( a₁ +b₁ – c₁) 。

平弦﹝在勾股形月川青 8 或川地夕 9﹞：c₈ = (a₁ + b₁ – c₁) 。

髙弦平弦相併 = (a₁ + b₁ – c₁) + (a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)[+]

= (a₁ + b₁ – c₁)(a₁ + b₁) 。

已知大弦 = c₁ ；

皇極弦﹝在勾股形日川心 12﹞：c₁₂ = (a₁ + b₁ – c₁) 。

大弦內少個皇極弦=c₁ –(a₁ + b₁ – c₁)

= c₁[1 –(a₁ + b₁ – c₁)]

= [2a₁b₁ – c₁(a₁ + b₁ – c₁)]

= (2a₁b₁ – c₁a₁ – c₁b₁ + c₁²)

= (2a₁b₁ – c₁a₁ – c₁b₁ + a₁²+ b₁²)

= [(a₁ + b₁)²– c₁(a₁ + b₁)]

= [(a₁ + b₁)²– c₁(a₁ + b₁)]

= (a₁ + b₁)(a₁ + b₁ – c₁) 。

比較兩式可知相同，所以髙弦平弦相併 = 大弦內少個皇極弦。

若以相併數減於大和，餘為皇極弦圓徑共也。

已知“大和”即通勾通股併 = a₁ + b₁。

相併數 = (a₁ + b₁ – c₁)(a₁ + b₁)﹝見前﹞。

相併數減於大和

= (a₁ + b₁) – (a₁ + b₁ – c₁)(a₁ + b₁)

= (a₁ + b₁)[1 –(a₁ + b₁ – c₁)]

=(a₁ + b₁)(2a₁b₁ – c₁a₁ – c₁b₁ + c₁²)

=(a₁ + b₁)[2a₁b₁ + a₁² + b₁²–c₁(a₁ + b₁)]

=(a₁ + b₁)[(a₁ + b₁)²–c₁(a₁ + b₁)]

=(a₁ + b₁) (a₁ + b₁)(a₁ + b₁– c₁)

=(a₁ + b₁ – c₁)(a₁ + b₁)²。

已知皇極弦﹝在勾股形日川心 12﹞：c₁₂ = (a₁ + b₁ – c₁)；

又已知圓徑 = (a₁ + b₁ – c₁)。

皇極弦圓徑共=(a₁ + b₁ – c₁) + (a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(1 + )

=(a₁ + b₁ – c₁)(c₁²+ 2a₁b₁)

=(a₁ + b₁ – c₁)(a₁²+ b₁² + 2a₁b₁)

=(a₁ + b₁ – c₁)(a₁ + b₁)²。

所以相併數減於大和 = 皇極弦 + 圓徑。

髙弦平弦相減餘即皇極差也。

已知髙弦﹝即天日或日山﹞：c₆ = ( a₁ +b₁ – c₁) 。

平弦：c₈ = (a₁ + b₁ – c₁) 。

髙弦平弦相減 = (a₁ + b₁ – c₁) –(a₁ + b₁ – c₁)

=(a₁ + b₁ – c₁) [–]

=(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) 。

“皇極差”即皇極勾股較﹝在勾股形日川心 12﹞

= b₁₂ – a₁₂ = (a₁ + b₁ – c₁) – (a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)[–]

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)。

比較兩式，可知髙弦平弦相減 = 皇極差。

又為皇極弦上減小差弦也。

已知皇極弦﹝在勾股形日川心 12﹞：c₁₂ = (a₁ + b₁ – c₁) 。

山地小差弦﹝簡稱小差弦在勾股形山地艮 11﹞：c₁₁ = (c₁ – b₁) 。

皇極弦上減小差弦=c₁₂ – c₁₁ =(a₁ + b₁ – c₁) –(c₁ – b₁)

= [(a₁ + b₁ – c₁) – (c₁ – b₁)]

= [(c₁a₁ + c₁b₁ – c₁²) – 2b₁(c₁ – b₁)]

= [c₁a₁ + c₁b₁ – c₁² – 2b₁c₁ + 2b₁²]

= [c₁a₁ – a₁² –b₁c₁ + b₁²]

= [(b₁ + a₁)(b₁ – a₁) – c₁(b₁ – a₁)]

= (b₁ – a₁)(b₁ + a₁ – c₁)。

所以髙弦平弦相減 = 皇極弦上減小差弦。

若以相減數却加於相併數，即黃廣弦也。

已知相併數 = (a₁ + b₁ – c₁)(a₁ + b₁)﹝見前﹞。

相減數 = (b₁ – a₁)(b₁ + a₁ – c₁)﹝亦見前﹞。

相減數 + 相併數

=(a₁ + b₁ – c₁)(a₁ + b₁) +(b₁ – a₁)(b₁ + a₁ – c₁)

=(a₁ + b₁ – c₁)(a₁ + b₁ + b₁ – a₁)

=(a₁ + b₁ – c₁)(2b₁)

=(a₁ + b₁ – c₁)。

已知天山黃廣弦﹝簡稱黃廣弦﹞= c₄= (a₁ + b₁ – c₁) 。

比較兩式，可知相減數加於相併數 = 黃廣弦。

以下為《測圓海鏡細草》原文：