与程碧波先生商榷

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昨天收到程碧波先生对我文章的回复“再答汪涛先生：如何避免变成民科？如何建立以原创为主导的科技创新体制3”。尽管其回复依然是错误的，但我之所以很愿意与程先生交流，因为他的错误水平还算相对比较高，并且他真的是认真的在考虑问题。爱因斯坦与波尔当年也经常争论量子力学问题，爱因斯坦曾设计了很多测量方法，后被波尔发现错误并否定掉了。正常学术讨论中存在错误是有价值的，是需要用认知进步的正常过程来看待。因此，在此首先对程先生表示衷心地感谢。因为第三个问题与前两个相关，所以只回复前两个问题即可。下面就说明他的错误何在。

错误一：

对这个问题程先生的回复全在讨论几个回避实质问题的、关于全称判断与特称判断的含义，以及中国古代《墨经》的表述方法上。程先生把“实数是不可数集合”，理解为“实数是‘不可以’数的集合”，那么，“不可以”就应当以全称判断来理解，那就必须证明所有情况下都“不可以数”。如果程先生这么理解听起来似乎也有道理。不过，讨论数学问题必须是基于严格的定义。不知道程先生是否仔细学过集合论的“可数集”与“不可数集”是怎么定义的。这个要讲起来涉及太多集合论的专业知识。为了避免把不了解这个专业的人搞晕，同时对真正专业的数学人士可能又太简单了，所以我们只把相关知识列在这里就可以了。有兴趣的读者可以参阅其他专业的资料：

可数集：是与自然数能建立双射关系的集合。这又引出另一个概念“双射”，它是指即是单射也是满射的映射关系。具体定义就不继续讲了，简单来说就是可以建立起一一对应的关系。

不可数集：是无穷集合中的一种。一个无穷集合和自然数集合之间要是不存在一个双射（不存在一一对应关系或法则），那么它就是一个不可数集。

所有集合要么是可数集，要么是不可数集。所以，我们抛开全称判断与特称判断的名称讨论，而专注于相关概念的数学定义是什么。程先生引用的那个证明方法是德国数学家格奥尔格·康托尔在1891年给出的，也被称为“对角线法”。这个证明的基本逻辑是一个反证法，就是先假设它是一个可数集，然后构造一个数不在这个集合里，从而出现矛盾。由此证明它不是一个可数集，那它就是一个不可数集。不可数集并不是完全“不可以数”，它当然是可以数的，只是不能数成与自然数一一对应。所以，用“天鹅不可以是黑的”这种直觉来理解是不对的。“天鹅可以黑，只是天鹅没有像喜鹊那样黑”，黑不黑它是按喜鹊来定义的。所以，程先生用这种直觉理解去说“康托尔的对角线法证明不对”并没有逻辑上的说服力。

德国数学家格奥尔格·康托尔

如果程先生是对“不可数”这个名字起得有看法，对此我一定程度上认为可以讨论。其实，我在“不会起名字的医学和分子生物学”一文中也对很多学科中起的名字提出了批评，但这些批评并不会扩大到去否定相应领域的任何实际成果。它们只是一个起名字的问题，这些名字的确严重影响到了人们对相应知识的准确理解。但它是多大问题就是多大问题，而不要因为有一点问题就无限地否定一切，搞扩大化。

数学首先要进行严格定义，然后按此定义才能确定公理，再然后在此公理基础上才能进行数学证明。如果只是靠直觉随意地进行概念漂移，那就没边了，因为这会导致最基本的逻辑三大基础之一的“同一律”失效。没有这个基础，就没有逻辑存在。

错误二：

程先生想用对角线法在整数集合中产生一个悖论，以此来证明康托尔的对角线法有问题。

 以上是程先生设想的一个矩阵。但是否认真想过，为什么康托尔要在 （0，1）这个特殊的子集中构造数字，就是因为它有特殊性，构造的数字还在（0，1）这个集合中，更重要的是它构造的数字虽然是无限长的，但却一定是有意义的数字。如果按上述程先生这样来构造，按红色数字提取出来的是什么？

100000000000……

第一位是1，后面全是无限长的0，这是什么数字？无穷大是指可以无穷地增大，而不是本身就绝对是“无穷大”这个数，那样就没意义了。所以，在边界为无穷大的集合表达中，无穷大那一边用的必须是圆括号，而不能用中括号。如[0,∞),这表示从0开始并包括到无穷大（但没有无穷大这个数）的实数集合。要保证穷尽集合中所有元素，构造的数字就成无意义的无穷大数。要保证构造的数字有意义，它只能是有限长的，就不可能穷尽集合中所有元素。因此程先生的构造方法有内在的矛盾。这个与中国文化传统的书写习惯从左向右，还是现在是从右向左没有丝毫的关系，与算盘等同样没有丝毫的关系。因为它并不是从右向左写，如果那样的话，“03”按现在的读法来理解就成“30”了，这显然是不对的。程先生构造的矩阵中所有数字还是从左向右读，甚至也还是从左向右写，最严谨准确地说只是它的呈现方式（连方法都谈不上）是“右对齐”。这个问题与我在上篇文章中用位长相等的矩阵所进行的表述是完全等价的，只是用等位长的矩阵表达看起来更容易理解清楚。

因此，在讨论科学问题的时候不要毫无必要地掺进去没有丝毫关系的“中华传统文化”的说法。是什么问题就说什么问题，否则就很容易导致理解的混乱。尽管德国数学家康托尔是集合论的创始人，但世界上从来没有任何人说集合论是“德国传统文化”，也没有任何人说相对论是犹太传统民族文化。你只能说德国、犹太人、中国人、法国人、俄罗斯人......对科学做出的贡献是什么。科学不属于任何国家和民族，它在全世界遵从完全统一的标准。

中国如何领导世界系列：

中国如何领导世界？（一）——以太阳能为引爆点的西部大开发

以太阳能再造一个中国大战略的补充

什么是科学？中国如何领导世界？（二）如何建立以原创为主导的科技创新体制1

马斯克搬家能说明硅谷创新能力不行了吗？中国如何领导世界（二）如何建立以原创为主导的科技创新体制2

如何避免变成民科？中国如何领导世界（二）如何建立以原创为主导的科技创新体制3

如何赢得对美的无界战？中国如何领导世界？（四）

论中华传统文化——中国如何领导世界？（五）