【原】《測圓海鏡》之﹝大小差1﹞合成弦與合成勾股差說

《測圓海鏡》之﹝大小差1﹞合成弦與合成勾股差說

上傳書齋名：瀟湘館112  Xiāo Xiāng Guǎn 112

何世強 Ho Sai Keung

提要：《測圓海鏡》之“圓城圖式”含十四勾股形，連同原有之大勾股形共十五勾股形。今設一勾股形之弦為 kc₁，股為 kb₁  及勾為 ka₁，弦之數 kc₁ 乃合成數，k(b₁ – a₁) 乃勾股差，《測圓海鏡》稱之為“較”，亦為合成數。筆者稱 kc₁ 為“合成弦”，稱 k(b₁– a₁) 為“合成勾股差”。

關鍵詞：合成弦、合成勾股差、較

《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰，書成於 1248 年，時為南宋淳祐八年。該書卷一“圓城圖式”主要討論與十五勾股形相關之等式，本文介紹其部分等式並作出証明。

本文所引用之勾股式源自“圓城圖式”之十五勾股形，a₁、b₁、c₁ 乃最大勾股形天地乾之勾、股及弦長。故 a₁、b₁、c₁ 又稱為大勾﹝地乾﹞、大股﹝天乾﹞及大弦﹝天地﹞。

《測圓海鏡》涉及一系列之勾股恆等式，所有恆等式皆與十五勾股形有關。十五勾股形中最大者為天地乾，其三邊勾股弦分別以 a₁、b₁、c₁ 表之，其餘十四勾股形三邊勾股弦則分別以 a_i、b_i、c_i 表之，其中 1 < i ≦ 15。但 a_i、b_i、c_i 均可以 a₁、b₁、c₁ 表之，此乃《測圓海鏡》之精髓。注意勾股定理成立，即
a_i² + b_i² = c_i²。

有關以 a₁、b₁、c₁ 表 a_i、b_i、c_i 之式可參閱筆者另文〈《測圓海鏡》“圓城圖式”之十二勾股弦算法〉。本文之等式取自《測圓海鏡‧卷一》“大小差”篇，本文乃“大小差”之首篇。

以下左為“圓城圖式”右為“圓城圖式十五句股形圖”。

上圖第 13 點為“泛”﹝一作“水”﹞，第 7點為“朱”，第 12 點為“心”，第 8 點為“青”。

注意圓徑為 a₁ + b₁ – c₁，見上圖之東南西北圓。

本文主要談及“弦之數”及“勾股差之數”。設一勾股形之弦為kc₁，股為 kb₁  及勾為 ka₁，弦之數 kc₁ 乃合成數，k(b₁ – a₁) 乃勾股差，《測圓海鏡》稱之為“較”，k(b₁ – a₁) 亦為合成數。為清晰起見，筆者稱 kc₁ 為“合成弦”，稱 k(b₁ – a₁) 之“較”為“合成勾股差”。其中 k 以 a₁、b₁、c₁ 表之，稱之為“合成”，因 kc₁ 不屬於十五勾股形中之弦，同理 kb₁ 與 ka₁ 亦非十五勾股形中之股與勾。

以下諸式，先列出“合成弦”kc₁ 之法，再列出其“合成勾股差”k(b₁ – a₁)。以下為有關“合成弦”與“較”之式：

大差弦小差弦共即兩個極弦也，以兩個極差為之較。大差差小差差共即兩個極差也，以兩個傍差為之較。大差上大差、小差上大差共，即兩個明弦也。以兩個明差為之較。大差上小差、小差上小差共，即兩個弦也，以兩個差為之較。大差黃﹝案：即二明勾﹞小差黃﹝案：即二股﹞數共即兩個極黃﹝案：即二虛弦也﹞，以兩個虛差為之較。大差勾小差勾共即兩個極勾也，以兩個平差為之較。大差股小差股共即兩個極股也，以兩個髙差為之較。二和共為二極和，以二角差為之較。

注意等式 (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) = (a₁ + b₁ – c₁)²。

以下為各條目之証明：

大差弦小差弦共即兩個極弦也，以兩個極差為之較。

已知大差弦 = c₁₀ =(c₁ – a₁) 。小差弦=c₁₁ = (c₁ – b₁) 。

大差弦小差弦共，即：

 = c₁₀ + c₁₁ = (c₁ – a₁) + (c₁ – b₁) = c₁[(c₁ – a₁) + (c₁ – b₁)]

= [c₁a₁ – a₁²+ c₁b₁ – b₁²]

=[c₁a₁ + c₁b₁ – c₁²]

=(a₁ + b₁ – c₁)。

已知皇極弦﹝日川，即極弦﹞：c₁₂ = (a₁ + b₁ – c₁) 。

兩個極弦 = 2 ×(a₁ + b₁ – c₁) =(a₁ + b₁ – c₁)。

所以大差弦小差弦共 = 兩個極弦。

“極差”指皇極勾股較。

皇極勾股較= b₁₂ – a₁₂ = (a₁ + b₁ – c₁) – (a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)[–]

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)。

兩個極差= 2 × (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)

=(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) 。

注意以上之說法：

兩個極弦= (a₁ + b₁ – c₁) = (a₁ + b₁ – c₁) c₁，

若果最右方之因子 c₁ 換成 b₁ – a₁ 則成為“較”。

又注意勾股形三邊長分別為 (a₁ + b₁ – c₁)a₁，是為勾；(a₁ + b₁ – c₁) b₁是為股；及 弦 (a₁ + b₁ – c₁) c₁。而 (a₁ + b₁ – c₁) c₁ 是為“合成弦”，其“較”便是 (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)，是為“合成勾股差”；其餘類推。

注意“合成弦”必須含最少一因子 c₁，若無因子 c₁，則不能成“合成弦”；而“合成勾股差”則必須含一因子 (b₁ – a₁)。

大差差小差差共即兩個極差也，以兩個傍差為之較。

“大差差”即大差上之勾股差，“小差差”即小差上之勾股差。

大差上勾股差 = b₁₀ – a₁₀ = (c₁ – a₁) –(c₁ – a₁) = (c₁ – a₁)(1 – )

= (c₁ – a₁)(b₁ – a₁) 。

小差上勾股差 = – (c₁ – b₁) + (c₁ – b₁) = (c₁ – b₁)(– 1)

= (c₁ – b₁)(b₁ – a₁) 。

以上兩數之和，即：

= (c₁ – a₁)(b₁ – a₁) + (c₁ – b₁)(b₁ – a₁)

= (b₁ – a₁)[(c₁ – a₁) +(c₁ – b₁)]

= (b₁ – a₁)(c₁a₁– a₁² + c₁b₁ – b₁²)

= (b₁ – a₁)(c₁a₁+ c₁b₁ – c₁²)

=(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)

= (a₁ + b₁ – c₁) c₁。此式是為“合成弦”。

已知兩個極差 = 2 × (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) 。

所以兩個極差 = 大差差小差差共，是為“合成弦”﹝注意含因子 c₁﹞。

依定義，上式之“較”必為(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) ，是為“合成勾股差” 。

已知明二差較是為“傍差”。

明差 = b₁₄ – a₁₄ = (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) – (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

= (c₁ – a₁)( a₁ + b₁ – c₁)[–]。

差 = b₁₅ – a₁₅ = (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) – (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=(c₁ – b₁)( a₁ + b₁ – c₁) [–]。

二差較 = 明差 – 差

= (c₁ – a₁)( a₁ + b₁ – c₁)[–] – (c₁ – b₁)( a₁ + b₁ – c₁) [–]

= (a₁ + b₁ – c₁)[–][(c₁ – a₁) – (c₁ – b₁)]

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)(b₁ – a₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)

以上之式即為“傍差”。此“傍差”× 2 = (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)，即大差差小差差共之較數 = 兩個傍差。

大差上大差、小差上大差共即兩個明弦也。以兩個明差為之較。

“大差”即“勾弦差”。

大差上勾弦差= c₁₀ – a₁₀ = (c₁ – a₁) – (c₁ – a₁)

= (c₁ – a₁)(c₁ – a₁)

=(c₁ – a₁)²。

小差上勾弦較 = c₁₁ – a₁₁ = (c₁ – b₁) – (c₁ – b₁)

= (c₁ – b₁)[ – 1]

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

以上兩大差共即：

(c₁ – a₁)² + (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

= (c₁ – a₁)[(c₁ – a₁) + (c₁ – b₁)]

=(c₁ – a₁)[a₁(c₁ – a₁) + b₁(c₁ – b₁)]

=(c₁ – a₁)(a₁c₁ – a₁²+ b₁c₁ – b₁²)

=(c₁ – a₁)(a₁c₁ + b₁c₁ – c₁²)

=(c₁ – a₁)(a₁ + b₁ – c₁)c₁。

上式是為“合成弦”。

已知日月為明弦﹝簡稱明弦﹞：c₁₄ =(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)，

所以兩個明弦 =2 × (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) =(c₁ – a₁)(a₁ + b₁ – c₁)c₁。

比較答案兩式，可知大差上大差、小差上大差共 = 兩個明弦，是為“合成弦”。

“明差”即明弦勾股較，即：

明弦勾股較=b₁₄ – a₁₄= (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) –(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

= (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[–]

=(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(b₁ – a₁) 。

以兩個明差=(c₁ – a₁)(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) 。

上式是為兩個明弦之“合成勾股差”。

大差上小差，小差上小差共，即兩個弦也，以兩個差為之較。

“大差上小差”指大差上股弦較，“小差上小差”指小差上股弦較。

大差上股弦較 = c₁₀– b₁₀ = (c₁ – a₁) – (c₁ – a₁)

= (c₁ – a₁)(– 1)

= (c₁ – a₁)(c₁ – b₁) 。

小差上股弦較= c₁₁ – b₁₁ = (c₁ – b₁) – (c₁ – b₁)

= (c₁ – b₁)(c₁ – b₁)

= (c₁ – b₁)²。

以上兩較之和：

(c₁ – a₁)(c₁ – b₁) + (c₁ – b₁)²

= (c₁ – b₁)[(c₁ – a₁) + (c₁ – b₁)]

=(c₁– b₁)[c₁a₁ – a₁²+ c₁b₁ – b₁²]

=(c₁– b₁)[c₁a₁ + c₁b₁ – c₁²]

=(c₁– b₁)[a₁ + b₁ – c₁] c₁。

上式是為“合成弦”。

已知山川弦﹝簡稱弦﹞：c₁₅ =(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

所以兩個弦 = 2 ×(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

= (c₁– b₁)(a₁ + b₁ – c₁)c₁。

比較答案兩式，可知大差上小差+ 小差上小差 = 兩個弦。

又“差”指弦上勾股較。

弦上勾股較 = b₁₅ – a₁₅

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) – (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(–)

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ – a₁) 。

兩個差 = 2 × (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ – a₁)

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ – a₁) 。

上式是為“較”式，亦即“合成勾股差”， 故曰“以兩個差為之較”。

大差黃﹝案：即二明勾﹞小差黃﹝案：即二股﹞數共即兩個極黃﹝案：即二虛弦也﹞，以兩個虛差為之較。

已知南月勾﹝又稱明勾﹞：a₁₄ = (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

二明勾= 2 ×(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) = (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

股山東股﹝又稱股﹞：b₁₅ =(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

二股 = 2 ×(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) = (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

二明勾+ 二股，即：

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) + (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)[(c₁ – a₁) +(c₁ – b₁)]

= (a₁ + b₁ – c₁)(c₁a₁ – a₁² + c₁b₁ – b₁²)

= (a₁ + b₁ – c₁)(c₁a₁ + c₁b₁ – c₁²)

= (a₁ + b₁ – c₁)²c₁。此式是為“合成弦”。

又已知太虛弦：c₁₃ =(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) = (a₁ + b₁ – c₁)²。

二虛弦= 2 ×(a₁ + b₁ – c₁)² = (a₁ + b₁ – c₁)²c₁。

比較兩式，可知二明勾 +二股 = 二虛弦。

“虛差”指太虛勾股較。

太虛勾股較 = b₁₃ – a₁₃ = (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) –(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)]

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)[–]

=(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ – a₁)

=(a₁ + b₁ – c₁)²(b₁ – a₁)。

兩個虛差= 2 ×(a₁ + b₁ – c₁)²(b₁ – a₁) = (a₁ + b₁ – c₁)²(b₁ – a₁)。

上式是為“較”，亦即“合成勾股差”，故曰“以兩個虛差為之較”。

大差勾小差勾共即兩個極勾也，以兩個平差為之較。

已知大差勾﹝在勾股形天月坤 10﹞=a₁₀ = = (c₁ – a₁) 。

小差勾﹝在勾股形山地艮 11﹞=a₁₁ = a₁ – (a₁ + b₁ – c₁)

 = a₁ – a₁ – b₁ + c₁ = c₁ – b₁。

大差勾小差勾共=(c₁ – a₁) + c₁ – b₁。

= [a₁(c₁ – a₁) + b₁(c₁ – b₁)]

= (c₁a₁ – a₁² + c₁b₁ – b₁²)

= (c₁a₁ + c₁b₁ – c₁²)

= (a₁ + b₁ – c₁)c₁。此式是為“合成弦”。

“極勾”即皇極勾﹝川心在勾股形日川心 12﹞：a₁₂ 。

a₁₂ = = (a₁ + b₁ – c₁)。

兩個極勾= 2 ×(a₁ + b₁ – c₁) = (a₁ + b₁ – c₁)

=(a₁ + b₁ – c₁)c₁。

所以大差勾小差勾共 = 兩個極勾。

“平差”指平弦上勾股較。

平弦上勾股較 = b₈– a₈ = (a₁ + b₁ – c₁) –(a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(1 –)

=(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)。

兩個平差= 2 ×(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) =(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) 。

上式是為“較”，亦即兩個極勾之“合成勾股差”，即兩個平差為之較。

大差股小差股共即兩個極股也，以兩個髙差為之較。

已知大差股 = b₁₀ =b₁ – (a₁ + b₁ – c₁) = b₁ – a₁ – b₁ + c₁ = c₁ – a₁。

小差股 = b₁₁=  =(c₁ – b₁) 。

大差股小差股共，即：

c₁ – a₁ + (c₁ – b₁)

= [a₁(c₁ – a₁) + b₁(c₁ – b₁)]

= (c₁a₁ – a₁² + c₁b₁ – b₁²)

= (c₁a₁ + c₁b₁ – c₁²)

= (a₁ + b₁ – c₁)c₁。此式是為“合成弦”。

已知極股皇極股﹝日心﹞：b₁₂ = (a₁ + b₁ – c₁)。

兩個極股= 2 × (a₁ + b₁ – c₁) = (a₁ + b₁ – c₁)。

所以大差股 +小差股 = 兩個極股。

“髙差”指髙勾髙股差，即：

  b₆ – a₆ = (a₁ + b₁ – c₁) – (a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)( – 1)

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)。

兩個髙差= 2 ×(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) = (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) 。

上式是為“較”，從其式可知亦即兩個極股之“合成勾股差”，或曰“以兩個髙差為之較”。

二和共為二極和，以二角差為之較。

“二和共”欠清晰，“和共”可能指髙弦、平弦共。

已知髙弦﹝即天日﹞：c₆ = ( a₁ +b₁ – c₁) 。

又已知平弦：c₈ = (a₁ + b₁ – c₁) 。

共，和也。髙弦平弦共 = c₆ + c₈= (a₁ + b₁ – c₁) + (a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ + a₁)。

“二和共”= 2 × (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ + a₁) = (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ + a₁) 。

“極和”即皇極勾股和 = b₁₂ +a₁₂ = (a₁ + b₁ – c₁) + (a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)[+ ]

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ + a₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)c₁。

二極和= 2 × (a₁ + b₁ – c₁)c₁ = (a₁ + b₁ – c₁)c₁。

比較兩式，可知二和共 =二極和。此式是為“合成弦”。

依《測圓海鏡》，髙股平勾差是為“角差”。

“髙股”在“天日旦”或“日山朱”之句股形；“平勾”在“月川青”或“川地夕”之句股形。先注意：

髙股：b₆ = = (a₁ + b₁ – c₁)，髙勾：a₆ = (a₁ + b₁ – c₁)。

平勾：a₈ = = (a₁ + b₁ – c₁)，平股：b₈ = (a₁ + b₁ – c₁)。

髙股平勾差 = b₆ – a₈ = (a₁ + b₁ – c₁) –(a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)[–]

= (a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁) (b₁ – a₁)。

以上是為“角差”或“逺差”。

二角差 = 2 × (a₁ + b₁ – c₁) (b₁ – a₁) = (a₁ + b₁ – c₁) (b₁ – a₁) 。

上式是為“較”，是以“二角差為之較”，亦即“二極和”之“合成勾股差”。

以下為《測圓海鏡細草》原文：