代数数论概念系列文章——引入代数数论的讨论(续篇章)

对经过努力依旧未能解决的问题，如果不进行卓著的创新，那么依旧难以看穿问题的本质——高斯

喜新厌旧是数学家的魅力

本文继续代数数论概念系列文章——引入代数数论的讨论(1)的写作。

天才最重要的特点是拥有非凡的创造力。

数学家最喜欢的问题是那些用既有理论解决不了的问题(如果能确定解决不了的话)，因为他们可以借此机会创造新的理论，这让他们非常惬意。谁不是那么喜新厌旧呢？唯有物理学家。

物理学家在爱因斯坦横空出世之前，还没有这种喜新厌旧的觉悟。相对论大获成功，物理学家集体开窍，纷纷向数学家们看齐。但无论如何努力，或许人类只能永久困在闵可夫斯基空间，数学家物理学家工程师可能永远突破不到更高维的科技。

域的创造产生是数学家们极为重要但不是极为困难的工作成果。在实数域的基础上发展出复数域，好像孕妇顺产一般，看起来波澜不惊，自然而然。但这些工作成果极为重要，很多数学创造在扩域的过程中诞生。比如求-1的根，发展出数学与科学领域内无处不在的复数域。

素数总出难题，但也帮助解决难题

在很多人的印象中，素数总是在为难数学家，为数学家提供帮助不可想象。

本文主要叙述素数最基本的性质(?)为什么在实数域成立，但到了复数域内不再成立的数学现象。素数这一性质的改变，曾经帮助19世纪的数学家们了解到那个时代的数学工具不可能证明费马大定理。当时的数学家了解到这一情况后，也不想纠缠了，他们将精力放在了其他的问题上.从工程学的角度来说，素数帮助数学家避免浪费了宝贵的智力资源。

素数不再是“素数”（以下内容不要求看懂）

在复数域内，有一种数称为高斯整数，高斯整数包括一种“素数”叫高斯素数。高斯整数不是高斯发明的，但高斯是第一个深入研究此类数的数学家。他将实数域的整数的一些性质引入高斯整数，有力推动了代数数论的发展进步。

高斯整数有些性质跟通常意义上的整数......，-1， 0， 1，2，3，4, 5, .......的性质相同，是形如

高斯整数

的复数。高斯整数集构成了一个环，从复平面上看为一个个格点。请问整数集包含在高斯整数环内不？

对于所有大于2的素数，一部分满足定理(1)

素数

5，13， 17，29，......，都是这种素数。

还有一部分素数很明显满足(2)

素数

3， 7，11，19，......，这些数都是高斯素数。

利用高斯整数的定义可以看出满足(1)的素数可表述成

高斯素数

可以证明满足(1)的素数在高斯整数环内不是素元。

证明

令x=2n!，由威尔逊定理

威尔逊定理

可得(3)

因为

由(3)可以有

等于

又因为

综上所述，p不是高斯素数。

提个小问题，为什么必须验证x + i, x-i与p相除不是高斯整数的元素？

复数z=x + yi的范数定义为

范数

那么有

范数

可取

域的扩张让孤独的素数不再孤独，数论的内涵变得更有活力与张力。这仅仅是代数数论的小小的魅力，学习得越多，越不敢说知道得多。