【原】《測圓海鏡》之大差、小差﹝2﹞相關等式說

《測圓海鏡》之大差、小差﹝2﹞相關等式說

上傳書齋名：瀟湘館112  Xiāo Xiāng Guǎn 112

何世強 Ho Sai Keung

提要：《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰，其書之“圓城圖式”含十四勾股形，連同原有之大勾股形共十五勾股形。本文之主要內容涉及大差弦﹝在勾股形天月坤 10﹞及小差弦﹝在勾股形山地艮 11﹞之相關等式。

關鍵詞：大差弦、小差弦、圓徑

《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰，書成於 1248 年，時為南宋淳祐八年。該書卷一“圓城圖式”主要討論與十五勾股形相關之等式，本文介紹其部分等式並作出証明。

本文所引用之勾股式源自“圓城圖式”之十五勾股形，a₁、b₁、c₁ 乃最大勾股形天地乾之勾、股及弦長。故 a₁、b₁、c₁ 又稱為大勾﹝地乾﹞、大股﹝天乾﹞及大弦﹝天地﹞。

《測圓海鏡》涉及一系列之勾股恆等式，所有恆等式皆與十五勾股形有關。十五勾股形中最大者為天地乾，其三邊勾股弦分別以 a₁、b₁、c₁ 表之，其餘十四勾股形三邊勾股弦則分別以 a_i、b_i、c_i 表之，其中 1 < i ≦ 15。但 a_i、b_i、c_i 均可以 a₁、b₁、c₁ 表之，此乃《測圓海鏡》之精髓。注意勾股定理成立，即
 a_i² + b_i² = c_i²。

有關以 a₁、b₁、c₁ 表 a_i、b_i、c_i 之式可參閱筆者另文〈《測圓海鏡》“圓城圖式”之十二勾股弦算法〉。本文之等式取自《測圓海鏡‧卷一》“大小差”篇，本文乃“大小差”之次篇，主要內容涉及大差弦﹝在勾股形天月坤 10﹞及小差弦﹝在勾股形山地艮 11﹞之相關等式。

筆者之“大小差”首篇是為〈《測圓海鏡》之﹝大小差 1﹞合成弦與合成勾股差說〉。

1 至 15 乃直角之點，例如 6，指勾股形天日旦，其餘類推。

以下左為“圓城圖式”右為“圓城圖式十五句股形圖”。

注意圓徑為 a₁ + b₁ – c₁，見上圖之東南西北圓。圓徑乃十五勾股形三邊重要因子之一，其他因子為最大勾股形之勾股較、勾弦較及股弘較。

本文主要談及十五勾股形有關三邊相差之等式，其中部分等式曾在“五和五較”等式中出現，可參閱筆者相關之文章。

注意等式 (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) = (a₁ + b₁ – c₁)²。

以下為有關“較”之式：

大差上弦較較即圓徑。小差上弦較和亦同上。大差上小差即虛勾。小差上大差即虛股也。大差弦與明勾共即邊股。小差弦與股共即底勾也。大差弦內減中差即黃長勾﹝案：勾應作股﹞。小差弦內加中差即黃廣股也﹝案：股應作勾﹞。大股內減小差股即黃廣股。大勾內減大差勾即黃長勾也。虛弦得虛股即大差勾。虛弦得虛勾即小差股也。明段弦較和即大差上勾弦較。明段弦較較即小差上勾弦較也。段弦較和即大差上股弦較。段弦較較即小差上股弦較也。大差勾內減虛弦餘即虛股。小差股內減虛弦餘即虛勾也。以大差和減大股即虛勾。以小差和減大勾即虛股也。

以下為各條目之証明：

大差上弦較較即圓徑。

指在大差上﹝在勾股形天月坤 10﹞之弦較較。

大差上弦較較 = c₁₀ – (b₁₀ – a₁₀) = c₁₀ – b₁₀ + a₁₀

= (c₁ – a₁) – (c₁ – a₁) + (c₁ – a₁)

= (c₁– a₁)[ – 1 + ]

= (c₁ – a₁)(c₁ – b₁ + a₁)

= (c₁ – a₁)(c₁ + a₁ – b₁)

= (c₁² – a₁² – c₁b₁ + a₁b₁)

= (b₁² – c₁b₁ + a₁b₁)

= a₁ + b₁ – c₁。

上式即為城徑，亦即圓徑。所以大差上之弦較較 = 圓徑。

小差上弦較和亦同上。

小差在勾股形山地艮 11。

小差上弦較和 = c₁₁ + (b₁₁ – a₁₁) = c₁₁+ b₁₁ – a₁₁。

c₁₁ + b₁₁ – a₁₁ = (c₁ – b₁) + (c₁ – b₁) – (c₁ – b₁)

= (c₁ – b₁)(c₁ + b₁ – a₁)

= (c₁² – b₁² –a₁c₁ + a₁b₁)

= (a₁² – a₁c₁ + a₁b₁)

= a₁ + b₁ – c₁ ﹝此即為圓直徑﹞。

所以小差上弦較和 = 圓直徑。

大差上小差即虛勾。

大差上﹝在勾股形天月坤 10﹞之小差即股弦較。

大差上股弦較 = c₁₀– b₁₀ = (c₁ – a₁) – (c₁ – a₁)

= (c₁ – a₁)(– 1)

= (c₁ – a₁)(c₁ – b₁) 。

虛勾即太虛勾 = a₁₃= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

所以大差上股弦較 = 虛勾。

小差上大差即虛股也。

小差﹝在勾股形山地艮 11﹞之大差指小差上勾弦較 = c₁₁– a₁₁。

小差上勾弦較 = (c₁ – b₁) – (c₁ – b₁)

= (c₁ – b₁)[ – 1]

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

虛股﹝在勾股形月山泛 13﹞即月泛股﹝又稱太虛股﹞= b₁₃

= = (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

所以小差上勾弦較 = 虛股。

大差弦與明勾共即邊股。

大差弦在勾股形山地艮 11，大差弦 = c₁₀ = (c₁ – a₁) 。

南月勾﹝又稱明勾，在勾股形日月南 14﹞：a₁₄ =(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

大差弦與明勾共，即：

 c₁₀ + a₁₄ = (c₁ – a₁) + (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=(c₁ – a₁)[c₁ + (b₁ – c₁ + a₁)]

=(c₁ – a₁)(2c₁ + b₁ – c₁ + a₁)

=(c₁ – a₁)(c₁ + b₁ + a₁)

=(c₁² – a₁² + c₁b₁ – a₁b₁)

=(b₁² + c₁b₁ – a₁b₁)

=(c₁ + b₁ – a₁) 。

邊股在勾股形天川西 2，邊股﹝天西﹞= b₂ = (c₁ + b₁ – a₁) 。

比較兩式，可知大差弦 + 明勾 = 邊股。

小差弦與股共即底勾也。

已知小差弦﹝在勾股形山地艮 11﹞ = c₁₁ =  (c₁ – b₁) 。

山東股﹝又稱股，在勾股形山川東 15﹞：b₁₅ =(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

小差弦與股共，即：

(c₁ – b₁) + (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

= (c₁ – b₁)[c₁ + (a₁ – c₁ + b₁)]

= (c₁ – b₁)(2c₁ + a₁ – c₁ + b₁)

= (c₁ – b₁)(c₁ + a₁ + b₁)

= (c₁² – b₁²+ c₁a₁ – a₁b₁)

= (a₁² + c₁a₁ – a₁b₁)

= (a₁ – b₁ + c₁) 。

已知北地底勾﹝簡稱底勾，在勾股形日地北 3﹞：

a₃ = a₁ – (a₁ + b₁ – c₁) = (a₁ – b₁ + c₁) 。

比較兩式，可知小差弦 + 股 = 底勾。

大差弦內減中差即黃長勾﹝案：勾應作股﹞。

大差弦 = c₁₀= (c₁ – a₁) 。中差 = b₁ – a₁﹝最大勾股形天地乾之勾股差﹞。

大差弦內減中差 = (c₁ – a₁) – (b₁ – a₁)

= [c₁(c₁ – a₁) – b(b₁ – a₁)]

= (c₁² –c₁a₁ – b₁²+ a₁b₁)

= (a₁² –c₁a₁ + a₁b₁)

= (a₁ + b₁ – c₁) 。

黃長勾﹝在勾股形月地泉 5﹞：a₅ = = (a₁ + b₁ – c₁) 。

比較兩式，可知大差弦內減中差 = 黃長勾。

小差弦內加中差即黃廣股也﹝案：股應作勾﹞。

已知小差弦﹝在勾股形山地艮 11﹞ = c₁₁ =  (c₁ – b₁) 。

中差= b₁ – a₁ ﹝見前﹞。

小差弦內加中差= (c₁ – b₁) + (b₁ – a₁)

= [c₁(c₁ – b₁) + a₁(b₁ – a₁)]

= (c₁² –c₁b₁ – a₁²+ a₁b₁)

= (b₁² –c₁b₁ + a₁b₁)

= (a₁ + b₁ – c₁) 。

天金股﹝又稱黃廣股，在勾股形天山金 4﹞：b₄ = = (a₁ + b₁ – c₁) 。

比較兩式，可知小差弦內 +中差 = 黃廣股。

以上兩式原文無誤，反而“案”之注文有誤。

大股內減小差股即黃廣股。

已知大股 = b₁。小差股 = b₁₁ = =(c₁ – b₁) 。

大股內減小差股，即：

b₁ –(c₁ – b₁) = b₁ [1 –(c₁ – b₁)] = [a₁ – c₁ + b₁]。

黃廣股 = (a₁ + b₁ – c₁) 。

與黃廣股比較，可知大股 – 小差股 = 黃廣股。

大勾內減大差勾即黃長勾也。

已知大勾 = a₁。大差勾 = a₁₀ == (c₁ – a₁) 。

大勾內減大差勾，即：

a₁ – (c₁ – a₁) = a₁[1 –(c₁ – a₁)] = (b₁ – c₁ + a₁) 。

又已知黃長勾 = a₅ = = (a₁ + b₁ – c₁) ﹝在勾股形月地泉 5﹞。

比較以上兩式，可知大勾內減大差勾 = 黃長勾。

虛弦得虛股即大差勾。

虛弦虛股同在勾股形月山泛 13。

已知太虛弦：c₁₃ =(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。太虛股：b₁₃ = (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

虛弦得虛股即太虛股弦共 = c₁₃ +b₁₃ 。

c₁₃ + b₁₃ = (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) + (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)[+ 1]

= (c₁ – a₁)(c₁ – b₁)(c₁ + b₁)

= (c₁ – a₁)(c₁² – b₁²)

= (c₁ – a₁)a₁²

= (c₁ – a₁) 。

已知大差勾 = a₁₀ == (c₁ – a₁) ﹝在勾股形天月坤 10﹞。

比較兩式，可知虛弦 + 虛股 = 大差勾。

虛弦得虛勾即小差股也。

虛弦虛勾在勾股形月山泛 13。

已知太虛弦：c₁₃ =(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。太虛勾：a₁₃ = (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

“虛弦得虛勾”即太虛勾弦共 = c₁₃ + a₁₃。

c₁₃ + a₁₃ = (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) +(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

=(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)[+ 1]

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(c₁ + a₁)

= (c₁ – b₁)(c₁² – a₁²)

= (c₁ – b₁)b₁²

= (c₁ – b₁)。

已知山艮股﹝又稱小差股，在勾股形山地艮 11﹞：b₁₁ =  =(c₁ – b₁) 。

比較兩式，可知虛弦 + 虛勾 = 小差股。

明段弦較和即大差上勾弦較。

明段在勾股形日月南 14。

已知明段弦較和= c₁₄ + (b₁₄ – a₁₄) = c₁₄ + b₁₄ – a₁₄。

c₁₄ + b₁₄ – a₁₄

= (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) + (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)
 –(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[ + –]

=(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(c₁ + b₁ – a₁)

=(c₁ – a₁)[b₁ – (c₁ – a₁)][b₁ + (c₁ – a₁)]

=(c₁ – a₁)[b₁² – (c₁ – a₁)²]

=(c₁ – a₁)[b₁² –c₁² – a₁²+ 2c₁a₁]

=(c₁ – a₁)[ – 2a₁² + 2c₁a₁]

=(c₁ – a₁)[ – a₁ + c₁]

=(c₁ – a₁)²。

大差上弦勾差= c₁₀ – a₁₀ = (c₁ – a₁) – (c₁ – a₁)

= (c₁ – a₁)(c₁ – a₁)

=(c₁ – a₁)²。

所以明弦弦較和=大差上弦勾差。

明段弦較較即小差上勾弦較也。

已知明弦“弦較較” = c₁₄ – (b₁₄ – a₁₄) = c₁₄ – b₁₄ + a₁₄。

c₁₄ – b₁₄+ a₁₄

= (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) – (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) +
(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[– +]

=(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(c₁ – b₁ + a₁)

=(c₁ – a₁)[a₁ – (c₁ – b₁)][a₁ + (c₁ – b₁)]

=(c₁ – a₁)[a₁² – (c₁ – b₁)²]

=(c₁ – a₁)[a₁² –c₁² – b₁²+ 2c₁b₁]

=(c₁ – a₁)[ – 2b₁² + 2c₁b₁]

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

小差上勾弦較 = (c₁ – b₁) – (c₁ – b₁)

= (c₁ – b₁)[ – 1]

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

所以明弦弦較較 = 小差上勾弦較。

段弦較和即大差上股弦較。

已知弦﹝在勾股形山川東 15﹞上弦較和=c₁₅ + (b₁₅ – a₁₅) = c₁₅ +b₁₅ – a₁₅。

c₁₅ + b₁₅ – a₁₅

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) +(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)
 –(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)[+  –]

=(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(c₁ + b₁ – a₁)

=(c₁ – b₁)[b₁– (c₁ – a₁)][b₁ + (c₁ – a₁)]

=(c₁ – b₁)[b₁²– (c₁ – a₁)²]

=(c₁ – b₁)[b₁²–c₁² – a₁²+ 2c₁a₁]

=(c₁ – b₁)[b₁²– a₁² – b₁² –a₁² + 2c₁a₁]

=(c₁ – b₁)[– 2a₁²+ 2c₁a₁]

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

大差在勾股形天月坤 10。

大差上股弦較 = c₁₀– b₁₀ = (c₁ – a₁) – (c₁ – a₁)

= (c₁ – a₁)(– 1)

= (c₁ – a₁)(c₁ – b₁) 。

比較兩式，可知弦上弦較和= 大差上股弦較。

段弦較較即小差上股弦較也。

已知弦在勾股形山川東 15。

弦上弦較較 = c₁₅ – (b₁₅ – a₁₅) = c₁₅ – b₁₅ + a₁₅。

c₁₅ – b₁₅ + a₁₅

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) –(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)
 +(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)[ –  + ]

=(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(c₁ – b₁ + a₁)

=(c₁ – b₁)[a₁– (c₁ – b₁)][ a₁ + (c₁ – b₁)]

=(c₁ – b₁)[a₁²– (c₁ – b₁)²]

=(c₁ – b₁)[a₁²–c₁² – b₁²+ 2c₁b₁]

=(c₁ – b₁)[– 2b₁²+ 2c₁b₁]

= (c₁ – b₁)(c₁ – b₁)。

= (c₁ – b₁)²。

已知小差股 = b₁₁=  =(c₁ – b₁) ，

小差弦 = c₁₁ =  (c₁ – b₁) 。

小差上股弦較= (c₁ – b₁) – (c₁ – b₁)

= (c₁ – b₁)(c₁ – b₁)

= (c₁ – b₁)²。

所以弦上弦較較 = 小差上股弦較。

大差勾內減虛弦餘即虛股。

已知大差勾﹝在勾股形天月坤 10﹞=a₁₀ = = (c₁ – a₁) 。

太虛弦﹝在勾股形月山泛 13﹞= c₁₃ =(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

大差勾內減虛弦，即：

(c₁ – a₁) –(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

= (c₁ – a₁)[a₁ –(c₁ – b₁)]

=(c₁ – a₁)(a₁² – a₁² – b₁² + c₁b₁)

=(c₁ – a₁)(– b₁² + c₁b₁)

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

太虛股﹝在勾股形月山泛 13﹞= b₁₃ =(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

所以大差勾內減虛弦 = 虛股。

小差股內減虛弦餘即虛勾也。

已知小差股﹝在勾股形山地艮 11﹞= b₁₁=  =(c₁ – b₁) 。

太虛弦﹝在勾股形月山泛 13﹞= c₁₃ =(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

小差股內減虛弦，即：

(c₁ – b₁) –(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

= (c₁ – b₁)[b₁ –(c₁ – a₁)]

=(c₁ – b₁)(b₁² – c₁² + c₁a₁)

=(c₁ – b₁)(b₁² – a₁² – b₁²+ c₁a₁)

=(c₁ – b₁)(– a₁² + c₁a₁)

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

已知太虛勾﹝即虛勾，在勾股形月山泛 13﹞= a₁₃ =(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

所以小差股內減虛弦 = 虛勾。

以大差和減大股即虛勾。

已知大股 = b₁﹝在勾股形天地乾 1﹞。

大差上勾股和 = b₁₀ + a₁₀ = (c₁ – a₁) +(c₁ – a₁)

= (c₁ – a₁)(1 + )

= (c₁ – a₁)(b₁ + a₁) 。

以大差和減大股，即：

 b₁ –(c₁ – a₁)(b₁ + a₁)

= [b₁² – (c₁ – a₁)(b₁ + a₁)]

=(b₁² – c₁a₁– c₁b₁ + a₁² + a₁b₁)

=(– c₁a₁ – c₁b₁ + c₁² + a₁b₁)

=[c₁(c₁ – a₁) – b₁(c₁ – a₁)]

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

已知太虛勾：a₁₃ =(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

所以大股 – 大差勾股和 = 虛勾。

以小差和減大勾即虛股也。

已知大勾 = a₁﹝在勾股形天地乾 1﹞。

小差和即小差上勾股和﹝在勾股形山地艮 11﹞。

小差上勾股和 = a₁₁ + b₁₁ = (c₁ – b₁) + (c₁ – b₁)

= (c₁ – b₁)(1 + )

= (c₁ – b₁)(a₁ + b₁) 。

小差和減大勾 = a₁ –(c₁ – b₁)(a₁ + b₁)

= [a₁² – (c₁ – b₁)(a₁ + b₁)]

= (a₁² – c₁a₁– c₁b₁ + b₁² + a₁b₁)

= (c₁² – c₁a₁– c₁b₁ + a₁b₁)

= [c₁(c₁ – a₁)– b₁(c₁ – a₁)]

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

已知太虛股﹝在勾股形月山泛 13﹞= b₁₃ =(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

比較兩式，可知小差和減大勾 = 虛股。

以下為《測圓海鏡細草》原文：