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中国古建筑之美为世所公认。然而古代工匠们究竟如何营造出这些美丽的工程杰作——是仅仅凭借经验或者感觉，还是自有一套神秘而高超的设计方法，甚至伴随着理性思考——这是中国古建筑研究中一个引人入胜的课题。本文试图通过对一批中国古建筑的测绘图进行几何作图分析，清晰直观地向读者呈现中国古建筑的一些经典构图比例。 林徽因曾经在为梁思成的《清式营造则例》（1934）一书所作的“绪论”中专门谈到比例（文中称之为“权衡”）对于建筑美的决定性作用： “至于论建筑上的美，浅而易见的，当然是其轮廓、色彩、材质等，但美的大部分精神所在，却蕴于其权衡中；长与短之比，平面上各大小部分之分配，立体上各体积各部分之轻重均等，所谓增一分则太长，减一分则太短的玄妙。”梁思成则在《说建筑品格精神之所在》（1943）一文中进一步指出： “权衡（Proportion）：这是一切艺术的最基本问题。在一件艺术作品中，一切归根都可以说是个权衡的问题，就是说部分与部分间在布置关系上的比例。在建筑物上有体积与体积的比例，长与高的比例，面积与面积间的比例……若权衡适当，则美的问题已十九解决。”中国历代经典建筑中所蕴含的高度美感，同样源于精确的构图比例设计，即“所谓增一分则太长，减一分则太短的玄妙”。中国古代匠师对于美的比例，有一条重要而基本的营造“密码”，可以用“规矩方圆之道”一言以蔽之。 近些年来，我在前人研究的基础上，通过对近500例中国古代城市、建筑群和单体建筑的测绘图纸和实测数据进行分析研究，发现在中国古代城市规划与建筑设计中，大量运用了基于规矩方圆的构图比例——这些比例贯穿于长达五千年之久的中国古代建筑史中，频繁出现在都城规划及宫殿、坛庙、墓葬、寺观、民居、祠堂、园林等各类建筑群的布局中，也广泛蕴含在单层建筑、楼阁、城楼、佛塔、经幢、牌楼、牌坊、墓祠、墓阙、墓表、祭坛、石窟、无梁殿、铜殿、石碑、华表等类型丰富、蔚为大观的各种单体建筑的设计中，可谓中国古代城市规划与建筑设计的重要“遗传基因”。耐人寻味的是，中国现存最重要的古代建筑专著——北宋的《营造法式》一书中，出现在图版中的第一幅插图即“圆方方圆图”，分别为一幅“圆方图”（绘一圆与其内接正方形）与一幅“方圆图”（绘一正方形与其内切圆）。（图0-1）该图看似简单无奇，其重要性却非同一般，作者李诫的这一编排实际上含义深远。结合《营造法式》的文字可知，此图实为李诫所引古籍《周髀算经》（中国现存最早的数学、天文学著作）之插图，（图0-2）与此图密切配合的文字，是《营造法式》正文开篇即“营造法式看详”第一条目“方圆平直”下所引《周髀算经》中的两段话：“数之法出于圆方。圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。”“万物周事而圆方用焉,大匠造制而规矩设焉。”李诫在《营造法式》开篇的文字和这幅“圆方方圆图”中，为今人研究中国古代城市、建筑的基本构图比例留下了一条极其重要的线索。实际上，《营造法式》所引《周髀算经》“圆方图”和“方圆图”中所包含的方圆作图手法，正是中国古代城市规划、建筑群布局与建筑设计中重要而根本的方法，而其背后所蕴含的则是中国古人“天圆地方”的宇宙观以及追求天、地、人和谐的文化理念。《周髀算经》中的另一段话正好诠释了“圆方图”和“方圆图”所代表的文化内涵以及基于此的方圆作图法： ↑图0-1:北宋《营造法式》第一图:“圆方方圆图” ↑图0-2:《周髀算经》中的“圆方图”与“方圆图”
而《周髀算经》中所谓“万物周事而圆方用焉,大匠造制而规矩设焉”，则为基于“圆方图”、“方圆图”这两幅最基本的方圆作图而衍生的一系列重要构图比例——这一中国历代匠师（即“大匠”之传人）所遵循与恪守的“规矩方圆之道”——写下了注脚。 具体而言，中国古代城市规划与建筑设计中出现最为频繁的方圆作图比例包括√2与√3/2构图比例——二者皆可由简单的方圆作图获得。而下文将要具体分析的25例中国古代经典建筑皆以这两种基本构图比例为基础进行设计，因此它们可谓中国古建筑比例的基本“母题”。（图0-3）
↑图0-3:方圆作图基本比例——√2与√3/2 √2比例直接蕴含在《周髀算经》、《营造法式》的“圆方图”和“方圆图”中：“圆方图”中正方形的边长与其外接圆的直径（同时等于正方形的对角线长）之比就是1:√2；“方圆图”中的正方形边长等于其内切圆直径，而正方形对角线与内切圆直径之比则为√2:1；如果叠合“圆方图”和“方圆图”，则呈现为一个边长为1的正方形和一个直径为√2的外接圆，以及一个边长为√2的外切正方形——“圆方图”的方，与“方圆图”的方，边长之比为1:√2。 其实，中国古人对于方圆作图及√2比例之谙熟与运用，远比《周髀算经》成书之时要早得多。据天文考古学者冯时研究指出：距今五千年前（新石器时期）的辽宁牛河梁红山文化圜丘（可能是中国最早的“天坛”）的三环石坛，直径分别为11米、15.6米、22米，构成十分精确的1:√2:2的比例关系，即每一环石坛与其内环石坛直径之比值皆为√2。而这一构图比例恰恰可以通过反复运用“方圆图”和“圆方图”所示的方圆作图手法来获得，并且具有了“天圆地方”的象征意义——这样的构图比例和象征意义皆与圜丘作为祭天的场所密切相关。（图0-4~0-5）与红山文化圜丘约略同时期的、公元前3000年左右的良渚文化的礼器“玉琮”即为方圆相含的造型（断面犹如《周髀算经》的“方圆图”），并且明显带有天圆地方、天地贯通的象征含义。（图0-6）
↑图0-4:辽宁牛河梁红山文化圜丘与方丘总平面图 来源:《文物》 1986年第8期 辽宁省文物考古研究所 《辽宁牛河梁红山文化“女神庙”与积石冢群发掘简报》 ↑图0-5:冯时:辽宁牛河梁红山文化圜丘三环石坛直径之比为1:√2:2 来源:冯时《中国古代的天文与人文》（2006）
↑图0-6:良渚文化玉琮 图片拍摄:王南√3/2比例是另一种可以由简单方圆作图获得的构图比例。如果以一个正方形底边两个顶点为圆心，分别以正方形边长为半径作圆弧，两条圆弧在正方形内的交点将与底边两个顶点形成一个等边三角形；而包含这个等边三角形的矩形，短边与长边之比（相当于等边三角形的高与边长之比）等于√3/2。 与方、圆类似，等边三角形其实也很早就被中国古人广泛运用：新石器时期的陶器已有三足器（例如著名的鼎，我们今天还在用“三足鼎立”的成语，鼎之三足即为等边三角形的三个顶点）以及等边三角形纹饰。√3/2同时也是等边三角形边长与其外接圆直径的比值。中国古建筑中广为运用的六边形平面、门窗槅扇中的大量等边三角形、六边形纹样以及辽金建筑中的60度斜栱等，都证明了中国古代匠人对等边三角形或者√3/2构图比例的熟悉——山西朔州崇福寺弥陀殿珍贵的金代槅扇门中就有一组典型的运用√3/2矩形构图的装饰纹样。（图0-7） ↑图0-7:朔州崇福寺金代槅扇棂花图案中的√3/2矩形构图当然，今天只要具备中学数学知识的人即知，√2与√3/2皆为无理数（即无限不循环小数）。但中国古人并不一定认识“无理数”这一概念，所以在运用这些方圆作图产生的比例时，常常是以整数比近似值取而代之——最典型者，即√2可以用“方五斜七”或者“方七斜十”这类广为流传的匠人口诀来表示，意思是正方形边长为5，则对角线长为7；边长为7，则对角线长为10。这样一来，即可用5:7:10取代红山文化圜丘三环石坛形成的1:√2:2之间的√2比例关系。 有趣的是，7:5=1.4，10:7≈1.4286，二者的平均值为1.4143，与√2（≈1.4142）极为接近——因此，古人实际上是以最靠近√2上下的两组简单整数比来取而代之。与此类似，√3/2也可以用以下近似的整数比代替，如6:7、7:8等。李诫在《营造法式》中甚至给出以141:100代√2、以87:100代√3/2的更加精确的“密率”。这种简化方法符合《周髀算经》中“圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一”所定义的方圆推算之道，方圆构图比例最终可以用一系列整数比例来运用于实际工程之建造。（图0-8）
↑图0-8:方圆作图基本比例√2与√3/2的近似作图法——以7:5或10:7代替√2，以6:7或7:8代替√3/2（边长6:7的矩形内含顶角61度等腰三角形，边长7:8的矩形内含顶角59度等腰三角形） 值得一提的是，西方古代建筑史（甚至整个造型艺术史）同样有着悠久的重视比例的传统。从古罗马维特鲁威的《建筑十书》，到文艺复兴时期阿尔伯蒂的《建筑论——阿尔伯蒂建筑十书》、帕拉第奥的《帕拉第奥建筑四书》，都大量涉及古典建筑的经典比例，包括著名的“柱式”（即Order）。 而所谓的“黄金比”、“黄金分割率”更是被西方人奉为最美的比例：黄金比指的是，当一条线段被分成长短不同的两段时，如果总长与长的一段之比等于长的一段与短的一段之比，则称作黄金比，比值为总长:长段=2/（√5-1）≈1.618。西方人在人体中也找到黄金比的存在，他们认为最美的人体以肚脐为黄金分割点，人的身高与肚脐以下之比等于肚脐以下与肚脐以上之比——许多画家、雕刻家都以此为原则来塑造完美的人体。黄金比在西方古典建筑中也是十分常用的经典比例，不少学者声称在古希腊经典建筑——雅典帕提农神庙的正立面上发现了黄金比的运用。西方现代建筑大师勒·柯布西耶更是建筑比例的忠实信徒与实践者，基于黄金比与斐波那契数列，他建立起自己关于建筑比例的完备理论体系（他称之为“模度”体系）。 与西方人钟爱的黄金比（基于自然美、人体美等）相比，深受中国古人青睐的√2、√3/2这些基于规矩方圆作图的比例，应该当之无愧地称作“天地之和比”。 这些从方圆作图“化生”出的构图比例，深深蕴含着中华民族“天圆地方”的宇宙观和追求“天地之和”的文化观；与此同时亦深具造型与审美上的意义—— 即“象天法地”，追求“天地之大美”。 东汉武氏墓地出土的汉代画像中的《伏羲女娲图》中即有女娲、伏羲分执规、矩，规天矩地的形象，简直可以看作中国历代大匠运用规矩方圆作图营城筑室的绝佳写照。（图0-9）
来源：巴黎大学北京汉学研究所《汉代画像全集·二编》（1951）
以上是对中国古代建筑“规矩方圆之道”的扼要阐释。下面将要展示的25例中国古代经典建筑，其设计皆包含着上述“规矩方圆之道”。它们的类型涵盖木结构单层建筑、楼阁、城楼、佛塔、墓阙、墓表、经幢、牌楼、石碑等，时间跨度则从东汉直至清末。这些中国古代建筑杰作的设计，一方面基于简单明了的规矩方圆作图，另一方面却能通过对比例的灵活妙用，最终创化出千变万化的艺术形象，正所谓“一法得道，变法万千”——亦足见中国古代大匠们的设计功力，已经达到“从心所欲不逾矩”之境地。
勒·柯布西耶在其名著《走向新建筑》中曾经对建筑的比例控制线（书中称之为“基准线”）大加歌颂：“对建筑师来说，‘基准线’是一种手段，它把建筑提高为可感知的数学……它导致探索精巧的比例和和谐的比例……选择基准线是灵感的决定性时刻之一，是建筑学的重大程序之一……它们可用来做出非常美的东西，它们是这些东西为什么非常美的原因。”从这个意义上来说，本文的工作，即所谓的“构图比例”，实际上正是希望为中国古代建筑之美做出一番数学/几何的证明。
壹山西五台山佛光寺东大殿（唐大中十一年，857年） 底图来源:《佛光寺东大殿建筑勘察研究报告》（2011）
↑图2:山西五台山佛光寺东大殿纵剖面及塑像陈设分析图底图来源:据《佛光寺东大殿建筑勘察研究报告》（2011）东大殿实测图及天津大学建筑学院东大殿塑像三维扫描点云图改绘五台山佛光寺东大殿为中国现存规模最大、结构保存最完整、艺术价值最高的唐代木构殿堂，被梁思成誉为“国内古建筑之第一瑰宝”。大殿面阔七间，进深四间，单檐庑殿顶。平面内、外柱两周，将殿身分为内、外槽，主要塑像三十五尊位于面阔五间、进深二间的内槽之中，外槽犹如回廊一周，为信众礼佛空间。 如果以1.008米为单位绘制正立面模数网格，则明间面阔（即中央五间面阔）5格，台基总宽40格，立面总高14格。由此可得：佛光寺东大殿设计手法之关键在于：以明间面阔等于明间主佛像净高的√2倍（同时等于主佛像宽度的2倍）作为整体空间设计的“原点”。大殿总高为明间面阔的2√2倍，即主佛像净高的4倍，大殿台基总宽为大殿总高的2√2倍（即明间面阔的8倍）——边长之比为2√2:1的矩形成为佛光寺东大殿的基本构图母题，将大殿的立、剖面加以统合，并且令建筑空间与塑像陈设之间获得完美的比例关系。
贰山西大同善化寺大雄宝殿（辽）
大同善化寺大雄宝殿面阔七间，进深五间，单檐庑殿顶，立于崇台之上，气宇轩昂。善化寺大雄宝殿与佛光寺东大殿的许多构图手法一脉相承，但略有变化——最突出的变化是由于居于高大的台基之上，因此去除台基高度，台基以上的高宽比与佛光寺东大殿相同。
叁北京紫禁城太和门（清光绪十五年，1889年）
底图来源：《北京城中轴线古建筑实测图集》（2017）
紫禁城太和门面阔九间，进深四间，重檐歇山顶，是国内现存规模最大的门殿。太和门始建于明永乐十八年（1420年），现存建筑为清光绪十四年（1888年）火灾烧毁后重建，光绪十五年（1889年）建成。建于19世纪晚期的太和门与11世纪中期的善化寺大殿虽然相去八百余载，设计手法却一脉相承。
肆北京天坛祈年殿（清光绪二十二年，1896年）
底图来源:《北京城中轴线古建筑实测图集》（2017）
底图来源:《北京城中轴线古建筑实测图集》（2017）
北京天坛祈年殿为现存中国古建筑中形制极其特殊的经典杰作，平面为圆形，上覆三重檐攒尖顶，屹立于三重圆形汉白玉台基（称祈谷坛）之上，造型完美至极。- 总高（祈谷坛以上）:祈谷坛总宽=5:14≈1:2√2；
- 总高:顶层檐口至地面高=7:5≈√2——即祈年殿顶层檐口高与总高呈“方五斜七”比例。
- 祈年殿（含祈谷坛）正立面模数网格：若取总高的二十分之一即A=1.9米（合6尺）为正立面模数网格，则高度方向上：
- 最上部的攒尖屋顶高约6A，其中最顶部的鎏金宝顶正好高A。
- 底层直径=48A——由上可知，祈谷坛每层直径之间相差6A（即3.6丈），三环直径之比约为6:7:8。
以上4例为正立面高宽比为1:2√2之代表作。1:2√2是中国古建筑中五至十一开间木结构单层建筑所惯用的重要比例之一，正立面呈现极其水平舒展的效果。
伍辽宁义县奉国寺大殿（辽开泰九年，1020年）
义县奉国寺大殿为国内现存最大的辽代木构建筑，面阔九间，进深五间，单檐庑殿顶，台基高大，整体气势恢宏。殿内中央七间前两进为礼佛空间,后两进内一字排开七尊大佛,一间一佛,为国内佛殿之孤例。- 若以3.005米为正立面模数网格，则：总高7格，通面阔16格，正脊总长（含鸱吻）8格（为通面阔之半），月台高1格，阑额下皮高3格，檐口高4格。
陆北京紫禁城太和殿（清康熙三十四年，1695年）
底图来源:《北京城中轴线古建筑实测图集》（2017）
太和殿为紫禁城前朝三大殿之首，举行国家重大典礼之所，为皇权的最重要象征。太和殿始建于明永乐十八年（1420年），明代曾经历永乐十九年（1421年）、嘉靖三十六年（1557年）、万历二十五年（1597年）三次焚毁，又分别于正统六年（1441年）、嘉靖四十一年（1562年）、天启七年（1627年）三次重建。清康熙十八年（1679年）又遭焚毁，留存至今的太和殿是康熙三十四年（1695年）重建的。殿面阔十一间，进深五间，重檐庑殿顶，为现存中国古建筑中面积最大者。故太和殿明间为一√3/2矩形，而总高（台基以上）与通面阔为两个并列的√3/2矩形，构图十分完美，并与辽代的大同下华严寺薄伽教藏殿、义县奉国寺大殿构图手法一脉相承。以上两例为正立面高宽比为√3:4之代表作。√3:4是中国古建筑五至十一开间木结构单层建筑又一惯用的重要比例。
柒北京智化寺智化门（明正统九年，1444年）
底图来源:《东华图志:北京东城史迹录》（2005）智化寺为北京珍贵的明代建筑群遗存。智化门面阔三间，进深二间，单檐歇山顶。
捌山西高平开化寺大殿（北宋熙宁六年至绍圣三年，1073-1096年）
玖天津蓟县独乐寺观音阁（辽统和二年，984年）
蓟县独乐寺观音阁面阔五间，进深四间，上层覆单檐歇山顶，平坐以下设腰檐一周，阁外观二层，实际平坐背后设一暗层，内部实为三层。中央立高达15.93米的十一面观音巨像，整座楼阁的空间布局其实是为观音像量身设计，分别在暗层和顶层设矩形、六边形的中庭以容纳观音。底层平面若《营造法式》所谓“金厢斗底槽”，信众可由回廊一周仰视立像；暗层中专门设内廊一周，观者可在观音腰部高度绕行；至顶层信众终于可以近距离目睹观音面相，遂达宗教气氛的高潮。- 观音像高:中庭总宽（取中庭两侧栏杆外沿间距）=√2；
综上可知，观音阁设计之关键在于对纵剖面的整体控制：即令中庭总宽:观音像高:观音阁总高（或平坐总宽）=1:√2:2——如果以观音像心口为圆心作三环同心圆（直径之比为1:√2:2），则第一环直径等于中庭总宽，也等于观音像高的1/√2；第二环直径等于观音像总高，也约等于观音阁上层檐口至地面距离；第三环直径等于观音阁总高，也等于二层平坐总宽。这三个同心圆一如前文所述辽宁牛河梁红山文化圜丘的三环石坛，它们的直径分别控制了内部中庭、观音像高、楼阁上层檐高、平坐总宽和楼阁总高等观音阁设计最关键的尺寸，比例简洁，近乎完美。
拾北京正阳门城楼（清光绪二十八年，1902年）
底图来源:《北京城中轴线古建筑实测图集》（2017）
底图来源:《北京城中轴线古建筑实测图集》（2017）
正阳门为北京内城正门（俗称前门），始建于明正统四年（1439年），清光绪二十六年（1900年）被“八国联军”所毁，自1902年起约用五年按原样修复。正阳门城楼下设墩台，上建城楼。城楼面阔七间，进深三间，副阶周匝，屋顶为歇山重檐三滴水形制。
拾壹北京紫禁城角楼（明永乐十八年，1420年）
底图来源:《北京城中轴线古建筑实测图集》（2017）北京紫禁城角楼主体为三开间方楼，四面各出抱厦一间，但朝向紫禁城内的两座抱厦进深大，朝向城外的两座进深短，形成了不是完全对称的平面。主体部分覆以三重檐十字脊歇山顶，四面抱厦各出重檐歇山顶，其中长抱厦歇山顶正面朝外，短抱厦歇山顶山面朝外，总计有屋脊72条，形成错综复杂而美轮美奂的屋顶轮廓。- 总高（包含下部城墙）:须弥座台基总宽（按台基对称计）=√2；
- 总高（不含下部城墙）:一层平板枋上皮以上高=√2；
- 不含下部城墙，则一层檐口高:顶层檐口高:总高=1:2:3。
由上可知，看似复杂至极、巧夺天工的角楼，同样在方圆作图比例的精确控制之中。
拾贰河北承德普宁寺大乘阁（清乾隆二十年，1755年）图15:河北承德普宁寺大乘阁正立面分析图 底图来源：孙大章《承德普宁寺__清代佛教建筑之杰作》(2008)
底图来源：孙大章《承德普宁寺__清代佛教建筑之杰作》(2008)
承德普宁寺大乘阁通高39.16米（月台下地面至宝顶），为中国现存第二高木构建筑，仅次于山西应县木塔。首层主体部分面阔七间，进深五间，南面出抱厦五间，东西各出抱厦三间。阁外观五层六檐（实为三层），主体大攒尖顶四隅设四座小攒尖顶，以象征须弥山。内部核心中庭空间面阔五间，进深三间，立千手观音像一尊，通高24.14米（由室内陆面至双手仰托日月顶部），是世界最大的木制佛像。与独乐寺观音阁相似，大乘阁亦是为千手观音立像度身而建。- 观音像总高:中庭总面阔=√2——与独乐寺观音阁十一面观音像与中庭之构图比例一脉相承。
- 总高（台基以上）:中庭总高（约等于观音像总高）=3:2。
由此可知：大乘阁建筑空间与千手观音像比例关系之确定，应是令像高与中庭总面阔（即中央五间面阔）之比为√2，阁之总高（台基以上）与像高之比为3:2。综上可知：普宁寺大乘阁与七百七十余年前的独乐寺观音阁一样，是为千手观音立像度身定制的楼阁建筑，将建筑空间与塑像完美结合。
拾叁北京天安门（清顺治八年，1651年）
底图来源:《北京城中轴线古建筑实测图集》（2017）
天安门为北京皇城正门，始建于明永乐十八年（1420年），原名“承天门”，取“承天启运”、“受命于天”之意。明天顺元年（1457年）被焚，明成化元年（1465年）重建。清朝定鼎之初仍沿明旧称，顺治八年（1651年）重建后改称“天安门”。天安门下设城台，上建城楼。城楼面阔九间，进深五间，重檐歇山顶。城楼与城台共同形成一纵一横的平衡构图，总体壮丽和谐。- 如果以1.35丈（取1丈=3.173米）为正立面模数网格，则：
拾肆山西应县木塔（辽清宁二年，1056年）山西应县佛宫寺释迦塔，即著名的应县木塔，是中国现存最古老也是规模最大的木塔，同时也是全世界规模最大的木塔，价值无与伦比。塔平面为八角形，每面三开间，高五层，首层带副阶一周，故外观共出檐六重。首层以上，每层皆有平坐、屋身及屋檐，且逐层缩进，顶层覆以八角攒尖屋顶，上立铁刹。全塔立于双重石基之上。平面设内、外柱各一周，外柱二十四根，内柱八根，木塔全部重量均由各层的三十二根立柱承担，并自上而下依次传递至地基。木塔外观五层，实际内部每两层之间有一暗层，位于平坐和腰檐之后。- 总高:首层通面阔（不含副阶）=20:7≈2√2——可知应县木塔正立面高宽比为2√2，其构图相当于把五台山佛光寺东大殿正立面旋转90度。
- 顶层普拍枋下皮以下高:首层通面阔（不含副阶）=2。
- 由上可知——应县木塔首层通面阔（不含副阶）:顶层普拍枋下皮以下高:总高=1:2:2√2，构图完美。
- 总高20格；正立面由下而上，副阶檐口高3格，二层平坐柱头高5格，二层檐口高7格（等于首层通面阔，不含副阶），顶层普拍枋下皮高14格。
拾伍福建泉州开元寺仁寿塔（南宋嘉熙元年，1237年）泉州开元寺双塔，西塔称仁寿塔，东塔称镇国塔，均为八角五层石塔，通体仿木结构，是中国现存规模最大的双石塔。- 以A（总高的1/100）作为立面设计的基本模数，台基、首层至五层、屋顶加塔刹的高度分别为3A、16A、15A、13A、12A、11A和30A，而首层至五层的总宽（首层取通面阔，其余各层取柱外侧间距）分别为30A、28A、26A、24A、22A，其中三、四、五层高宽比均为1:2。
拾陆河南登封嵩岳寺塔（北魏正光四年，523年）登封嵩岳寺塔为中国现存最古老的佛塔，其造型之独特真可谓“前不见古人，后不见来者”——塔平面呈十二边形，为国内孤例。塔立面由下而上分别为台基、塔身、十五重密檐和塔刹。单层塔身立于简朴的台基之上，分上下两部分，中间以一段叠涩线脚隔开。塔身东、南、西、北四个正面有贯通上下两部分的券门，半圆形拱券上方有马蹄形尖拱券面装饰，为典型印度样式。其余八面，下半段为素面，上半段则各砌出一座单层方塔形壁龛，形制与云冈石窟单层塔造型类似。同时上半段砌出十二根角柱，柱下有砖雕的覆盆形柱础，柱头饰以砖雕的垂莲和火焰，为印度、波斯混合样式。塔身之上是十五重密檐，为叠涩式出檐，且每层直径逐步内缩，塔的外部轮廓呈轻快秀美的抛物线形。密檐之上为石造的塔刹，自下而上分别为覆莲、须弥座、仰莲、相轮和宝珠。- 总高:首层檐口以上高=7:5≈√2——即塔之密檐加塔刹部分与塔总高呈“方五斜七”之关系，这也是大量密檐式塔的共同规律；
- 如果将塔总高七等分，则自下而上：七分之一位于塔身上下段分界处，七分之二位于首层檐口，七分之三位于四层檐口，七分之四位于七层檐口，七分之六位于顶层塔身顶部（顶层屋顶加塔刹总高为塔高的1/7）。
拾柒北京天宁寺塔（辽天庆九至十年，1119-1120年）
天宁寺塔为北京城区内最古老的建筑，是辽南京珍贵的遗存。该塔为八角形十三重密檐式砖塔，塔的外观分为基座、塔身、十三重密檐及塔刹几部分。基座下层为须弥座，之上又有束腰一道，再上雕有平坐一圈，勾栏、斗栱俱全，最上为三重仰莲承托塔身。塔身与塔座高度相当，四个正面雕有拱门，四个侧面雕直棂窗，门窗两侧及上部雕有金刚力士、佛、菩萨等雕像，各转角柱上均有浮雕蛟龙。十三重密檐之中，最下一层檐属于塔身，出檐稍远，檐下斗栱也与上面十二层略有不同。上部十二重檐宽度每层向上递减，并且递减率向上增加，从而使塔的外轮廓形成缓和的卷杀曲线。 密檐之上以两层仰莲及小须弥座承托宝珠构成塔刹。- 总高（三层大台基以上）:须弥座总宽=2√2——高宽比与应县木塔相同；
- 总高（三层大台基以上）:首层檐口以上高=√2——构图与嵩岳寺塔相同；
拾捌山西平顺海会院明惠禅师塔（唐乾符四年，877年）平顺海会院明惠禅师塔为方形单层石塔，自下而上分作基座、须弥座、塔身、雕作雀眼网造型的铺作层、屋顶和造型极其优美的塔刹。- 取A=总高的1/10作为立面模数网格，则：塔总高10A，其中基座高2A，须弥座、塔身和屋顶共高4A，塔刹高4A（其中下两层带山花蕉叶的须弥座各高A），台基总宽4A，塔身边长2.5A，塔身底部至檐口距离2.5A；
拾玖北京妙应寺白塔（元至元十六年，1279年）↑图25:北京妙应寺白塔正立面分析图二 底图来源:《中国古代建筑史》（第二版，1984） 妙应寺（即白塔寺）白塔是北京现存最大的覆钵式塔，是老城区内仅存的元代佛塔，可视作元大都的象征。妙应寺白塔由尼泊尔匠师阿尼哥主持修建，明《长安客话》称其“制度之巧，盖古今所罕有矣”。 白塔建在一个“凸”字形的巨大台座上，台四周有围墙，四角有角亭，有转经道可供信徒绕塔诵经。塔的最下层为“亞”字形台座，四角各有五个转角。台座上是重叠两层的巨大须弥座，平面形式与台座相同。须弥座以上是覆莲，覆莲以上为略近似鼓形的塔身。塔身之上又是一层须弥座，再上是圆锥形的“十三天”，最上是“天盘”和宝顶——宝顶造型其实是一座缩微的喇嘛塔。- 如果以总高的1/10作为正立面模数网格，则：总高10格，台基总宽6格，塔身直径4格，天盘宽2格，台基、须弥座及覆莲总高3格，塔身加上部小须弥座高约3格，十三天高约3格，宝顶高1格。
- 塔刹总高=（2√2-1）A——其中，天盘以下高√2A，天盘以上高（√2-1）A。
综上可知：妙应寺白塔是在平、立面设计的整体到局部皆巧妙运用√2比例的杰作。
贰拾北京正觉寺金刚宝座塔（明成化九年，1473年）北京正觉寺（亦称真觉寺、五塔寺）金刚宝座塔据说依印度僧人班迪达带来的印度金刚宝座塔样式建成，下垒金刚宝座，上建五塔。金刚座最下为须弥座，须弥座以上划分为五层，各层以石雕屋檐为界，龛列佛像，最上端冠以女墙，石台南、北面正中各辟券门一道，为登台入口。由内部台阶可“左右蜗旋而上”台顶。台上五塔，一大塔居中，四小塔居四隅，各塔平面均为方形，形制皆为单层密檐塔，四小塔十一重檐，中央大塔十三重檐。除五塔外，中塔南侧尚有方形重檐小殿一座，下檐方，上檐圆，覆黄、绿二色琉璃瓦，为登塔台阶之出入口。- 总高:金刚宝座总宽（取须弥座上枋）=7:5≈√2（即“方五斜七”）；
此塔也运用了中国古代佛塔中广泛出现的√2构图比例，这究竟直接源自印度金刚宝座塔构图（很可能基于密宗“曼荼罗”方圆相含的图式），还是中国工匠融入了自身惯用的构图手法——这一疑问与前文所述阿尼哥设计北京妙应寺白塔的情况类似，尚待深入研究。
贰拾壹四川雅安高颐阙（约东汉建安十四年，209年）雅安高颐阙为汉代建筑之珍贵遗存。阙为双出“子母阙”形制，其西阙保存尤为完好。阙最下部为台基，台基外侧浮雕蜀柱、栌斗。阙身表面隐出柱、枋，无地栿，横枋浮刻车骑、仪仗。母阙阙身与屋顶之间施雕刻四层。第一层刻栌斗及枋三层，正背两面中央刻饕餮，四隅各镌一力士。第二层刻斗栱，其中两侧斗栱刻曲栱。第三层为一极薄的平板层——但这素平无雕饰的平板层却是立面构图中重要的一层。第四层向外斜出，表面雕刻人物故事。屋顶为庑殿式，戗脊与瓦垄均刻作上下两层，颇似重檐。正脊向两端反翘，形似偃月，脊正中刻一鸟，喙衔飘带，极精美。刘敦桢称高颐阙“形制秀丽，镂刻精美，方之现存汉阙，无能与之颉颃者”。若取母阙阙身面阔的1/10即A作为正立面模数网格，则：- 台基加母阙阙身高=19A，其中阙身四段每段高=4A；
故整个母阙正立面形成3A、4×4A、5A、4A、8A的韵律。- 母阙阙身面阔（10A）:子阙阙身面阔（7A）≈√2；
- 母阙平板层下皮高（24A）:子母阙阙身总面阔（17A）=√2；
- 总高（36A）:母阙平板层下皮高（24A）=3:2。
综上可知：高颐阙正立面构图，以母阙面阔10A与子阙面阔7A之比为√2（即“方七斜十”）为设计出发点；继而令母阙平板层以下高24A，与子母阙通面阔17A之比为√2；最后令总高（36A）为母阙平板层以下高（24A）的1.5倍，母阙屋顶总宽也接近24A。总高若平均分为三段，则三分之一约在子阙阙身顶部，三分之二位于母阙平板层下皮。总体看来，高颐阙为现存汉阙通体比例最完美、艺术造诣最卓绝者。
贰拾贰江苏南京梁萧景墓墓表（南朝梁）南京梁萧景墓石柱为现存墓表中最完整且最富于艺术造诣的佳作。石柱从下到上分作数段，内容极为丰富。最下为方形基座，四面均有雕刻纹饰。其上雕类似覆盆状的柱础，外形雕作双螭盘绕的造型。柱础中央为一圆形平台，圆心处雕卯口以承柱身。再上为柱身主体，断面为方形抹圆角，收分显著。柱身又可细分作上、中、下三段，其中下段为瓜棱柱，造型酷似古希腊石柱。中段雕水平方向的数圈线脚，包括一圈缠龙纹及一圈绳辫纹，再上为三个金刚力士、半人半兽模样的雕像，充满异域风情，用力托着一块突出于立柱之外的长方形石板，板面刻有“正反书”文字。上段则雕作向外突出的若干垂直圆棱，与柱身下段的凹槽适成对比，顶部以一圈缠龙纹饰作为结束。柱身之上为顶盖，顶盖雕作一个带有覆莲纹样的圆盘，一如后世的覆莲柱础，有学者依据汉武帝建章宫“仙人承露盘”的名称称之为承露盘；盘上雕一小石辟邪，正是萧景墓大石辟邪的“具体而微者”。- 顶部覆莲圆盘加辟邪高:瓜棱柱顶至覆莲圆盘底=1:√2。
贰拾叁山西五台山佛光寺经幢（唐乾符四年，877年）五台山佛光寺乾符四年幢位于文殊殿前主庭院中。经幢自下而上由八角形基座、八角形幢身和幢顶组成。幢顶由石盘（宝盖）、小八角柱、八角攒尖形屋檐、山花蕉叶、覆钵、仰莲和宝珠构成。- 幢顶高:石盘、小八角柱、屋檐及山花蕉叶总高=√2。
贰拾肆北京明十三陵总神道石牌楼（明嘉靖十九年，1540年）
底图来源:《中国古代建筑史》（第四卷:元、明建筑，2009第二版）
明十三陵石牌楼为总神道起点，也是整个庞大十三陵建筑群的序幕，为中国现存最大的石牌楼，“五间六柱十一楼”样式，通体由白石及青白石料雕琢组装而成。十一楼包括正楼五座、夹楼四座及边楼两座，各楼屋顶均为庑殿顶，平板枋、斗栱、挑檐桁、檐椽、飞椽、瓦件、勾滴、吻兽一应俱全，雕琢细腻。六根石柱下端前后各有夹柱石，夹柱石四面雕饰均极为精美，各柱夹柱石之下承以雕饰莲瓣的础盘。- 明间总高:明间龙门枋上皮高（约等于龙门枋长或两侧夹楼屋檐外侧间距 ）=√2；
- 次间总高:次间大额枋上皮高（约等于两侧夹楼屋檐外侧间距 ）=√2；
- 梢间总高:梢间大额枋上皮高（约等于两侧夹楼屋檐外侧间距 ）=√2。
综上可知，单独看每个开间，正楼加两侧夹楼均为一个√2矩形构图，其中正楼总高与正楼加两侧夹楼总宽之比皆为√2（相邻的两间均“共享”一座夹楼），且正楼总高与龙门枋（或大额枋）上皮高之比皆为√2，此外各间屋脊高恰好等于相邻更高一层的檐口高，整座牌楼可以看作五座高宽比为√2的“一间二柱三楼”式牌楼组合而成——因此这座看似复杂之极的“五间六柱十一楼”式牌楼，其实暗藏着清晰、简洁而完美的√2比例。
贰拾伍北京北海琼岛春阴碑（清）
底图来源:《中国古建筑测绘大系·园林建筑:北海》（2015）
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