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作者 | 陈见柯，理学博士，中国传媒大学数据科学与智能媒体学院讲师。 说明：本文为第一届和乐杯数学科普大赛参赛作品。期待更多参赛作品，共同做好数学普及。 不知道是不是许多人和我一样，对哈代的认知开始于这样一段话：“任何一位数学家不要忘记，比起任何其他艺术或科学，数学更是年轻人的游戏。”它出自《一个数学家的辩白》。同样是在这本书里，哈代表达了另外一个广为流传的观点，即“数学无用”，即“‘真正’数学家的‘真正’数学， ，几乎是‘完全无用的’。”要知道，在哈代的认知里，‘真正的’数学家不仅包括费马、欧拉、高斯、阿贝尔和黎曼，还包括麦克斯韦、爱因斯坦、爱丁顿和狄拉克(第 21、25 节)。可能你不喜欢、甚至是讨厌数学，但你大致也不会否认数学有用。哈代本人作为一名著述颇丰的职业数学家，发出这样的观点，肯定让人好奇：怎么会有这样的矛盾？在这本薄薄的小册子中，他又是在“辩白”什么？ 1920 年，哈代在牛津大学发表了萨维尔几何学讲席教授的就职演讲，其中就包含了一份为数学辩白的提纲；在这本成书于20年之后的《辩白》中，哈代多次引用、并重申了当时的演讲内容。我们可将书中的观点看作是那份提纲的延续、扩充和进一步的思考。可以确定的是，“数学无用”也好、“我从未做过什么‘有用的’事”也罢，哈代绝不是在哗众取宠。 按照《辩白》最初的说法，哈代把他在就职演讲的表述看作是带有矫揉造作的“牛津风格”；经过这些年，他并不喜欢那种风格(第 6 节)。读到这里，我兴奋地以为后面再也不用体会他委婉曲折的表述方式，终于可以感受“大珠小珠落玉盘”的酣畅淋漓。然而实际的情况是，哈代似乎是“欺骗”了他的读者，至少是“欺骗”了我。通篇读下来，我也没发现他那么不喜欢“牛津风格”。很有可能，读者朋友们并不习惯哈代的行文风格，但这本书依旧是一部质量上乘的作品。我们常说，人民群众的眼睛是雪亮的；因此，不妨将哈代 1940 年的《辩白》和吴军 2012 年的畅销书《数学之美》进行一下对比：结合打分人数和得分可见，国内读者对这部作品的认可程度。 哈代强调了雄心壮志的重要性。尽管年轻的小哈代是从考试和奖学金的角度看待数学，并认为数学是胜过同年龄的其他男孩子的最佳方式；他也先后拿到温彻斯特公学和三一学院奖学金名额。在剑桥，他被分配给韦伯老师，以应对传统的Tripos考试。但是，他发现这位赫赫有名的指导老师并不热爱数学、仅仅热衷于传授考试技巧之时，哈代非常震惊，他甚至一度都以为要放弃数学、转而学习历史。幸运的是，他后来遇到了奥古斯都·洛夫；哈代在《辩白》中也不吝对洛夫的感激之词。此后，通过阅读那个时代的经典作品，哈代走上了严肃的科研之路。 为了使《辩白》更具亲和力，哈代认真筛选出了两个经典的数学证明： 是无理数，以及素数无限多。以当代读者的眼光，或者说按照科普读物的套路而言，这两个例子可以称得上老生常谈。但如果就此打住，那你可能就错过此后许多的优美风景。关于第一个结果，哈代和莱特在他们的著作《哈代数论》中，将这种证明方法进行了推广；此外，还可以补充一个略显浮夸的例子：我们都知道，圆周率 和自然对数的底数 都是无理数。但截至目前，人们还不知道 (或者 )是不是无理数。关于素数无限多的断言，哈代在第 17 节又列举了这样的问题：素数在自然数中的分布是什么？这两个例子无疑很好地阐述了哈代强调的数学的深度。 在 1967 年的《辩白》版本中，C.P.斯诺写了一篇长长（篇幅接近正文的五分之三）的前言。从第一次见面就“被迫”与哈代讨论板球战术开始，斯诺以一位同事兼球友的身份，详细地记载了哈代的生平，分享了哈代的许多轶闻趣事：尽管剑桥的Tripos考试近乎让哈代失去了从事数学研究的兴趣，但他仍然对自己曾在考试中没有取得更好的名次耿耿于怀；哈代不信仰上帝，当他在板球比赛中看到裁判要求场地附近的牧师摘掉十字架（理由是十字架反光，影响了比赛），高兴得顾不上吃午饭、给他的牧师朋友发电报；哈代坚决地反对战争，他的朋友罗素、李特尔伍德、斯诺，甚至是拉马努金，都先后受到战争的影响，这无疑给他带来巨大的创伤。 1913 年发现拉马努金或许是哈代最满意的一项杰作。在 1933 年的哈佛大学演讲中，哈代还带领听众一起回顾了那个激动的时刻；他也在《辩白》中写道：“在我意志消沉、发现自己不得不听那些自负而又令人生厌的人呱噪的时候，我仍然会对自己说： “ 写信给哈代之前，拉马努金曾向两位更有名气的数学教授进行过毛遂自荐，但均未得到回复。与这两位错失璞玉的同行比起来，哈代的年轻或许存在一些优势，但哈代对待数学的虔诚态度同样展现无遗。哈代发现拉马努金的这段令人激动的历史，在罗伯特·卡尼格尔的传记小说《知无涯者》中得到了详细的记载，并通过同名电影得到了完美地展示。 将哈代涉及在应用数学方面的工作（例如：种群遗传学方面的哈代-温伯格定律）放在一边，单就数学而言，人们总会把哈代的名字与解析数论建立联系。在这里，我想稍微岔开一下话题：或多或少地，数学专业的学生会听说过一种“解析数论不是数论”的观点。乍看之下，这似乎是要把解析数论从数论中“踢出去”。如果你非要持有这种观点，无疑是大错特错了。这种说法出自著名数论学家、布尔巴基学派元老级人物之一的安德烈·韦伊。1972 年，在哥伦比亚大学 Ritt 讲座上，韦伊做了题为“数论今昔两讲”的演讲。作者的原文是： “ 心平气和地读完这段文字，很自然地就可以理解韦伊的意思。借用时下流行的俏皮话，断章取义地判定韦伊的观点，无疑是标题党的做法。一个类似的例子是，提及哥德巴赫猜想，许多人会好奇：“这么简单的事情，有什么证明的必要？”好奇心是没有错的，可以认真读一下徐迟先生的《哥德巴赫猜想》。接下来，你就会知道，人家不是这个意思。再补充一句题外话：韦伊的报告十分精彩，王启明先生的翻译同样非常出色；即便看不懂报告的内容也没有关系，你还是可以感受到数学的星辰大海（或者，换成时下的流行语，不明觉厉）。 有趣的话题还有很多：哈代对 Tripos 制度的观点和改良、哈代和拉马努金、哈代的历史地位等等；因为我自己也是一个门外汉，现在也只能把这些话题提出来。最后，我们还是回到本文最初提及“数学是否有用”的观点上。 作者究竟想要表达什么意图呢？不妨花点时间，去阅读、去思考，你总会有一些自己的见解。 后记：2018 年 8 月，我有幸参加了在山东大学威海分校举行的第八届全国数学文化论坛，并在林开亮教授的热情帮助下，做了题为《哈代的生平与工作概览》的报告（其实是林教授有事走不开，让我代他去念 ppt。感谢组委会对这种操作的包容）。我本希望能够正确地表述韦伊的观点，毕竟解析数论在山东大学有很好的传统。但似乎是弄巧成拙，并没有达到一个好的预期效果。话说回来，如果以更为宏观、发展的眼光看（感谢张益唐教授对于报告的指正），纠结解析数论到底是不是数论的问题终将是徒劳的。伴随着时代的进步，在一个又一个宏伟纲领的指引下，传统数学各个分支的涓涓细流终将汇聚成波澜壮阔的大海。 |
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