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数学帝葛军:学好数学的三件法宝

2021-02-06  心向于民...

葛军,南师附中校长,因在数学上有独到的研究,所以被人们尊称为“葛大爷”,我们这里简称“葛大”。

虽然近年来,葛大几乎不怎么露面,但葛大每次出现,都会掀起滔天巨浪,大家可能不了解葛大的“数学帝”的称号是怎么来的,我们用网传的一段数据来告诉你:

数学帝葛军:学好数学的三件法宝

这是一段在网上流传较广的段子:

2003年,葛军参与江苏高考数学命题工作,江苏数学全省平均分68分(满分150分)。

2010年,葛军参与江苏高考数学命题工作。当年江苏数学平均分83.5分(总分160分)。

2013年,葛军参与安徽高考数学命题工作,理科平均分只有55分左右(满分150分),导致安徽省一本分数线较2012年狂降54分。

凭借这些广为流传的光辉事迹,葛大一战成名,被推上高考数学第一命题人的宝座,封“数学帝”。

对学生说 葛军经常对初升高的学生说:“背上你的行囊,行囊里只放进三样宝贝,其他的千万不要放,轻装上阵!”有学生不相信:“我学了那么多,这三样宝贝能对付吗?”他回答:“完全能对付,万变不离其宗。”

数学帝葛军:学好数学的三件法宝

这三样宝贝是:一把剑、一个A、一面镜,“这三样东西串起了整个高中数学学习的基本的结构”。

接着葛军介绍了“三件宝贝”的具体含义:

▲ 一把剑

一把剑是什么剑?

武侠中的“倚天剑”,剑气贯长。

它可以变换成数轴;再轻轻一抖动又可以变换成雌雄二剑,构成横刀立马之势,也就是笛卡尔坐标系,用这个“十字架”可以把几何问题转换成代数问题,面对许多问题就可以“所向披靡”。

案例1.如图,正方形ABCD的边长是12cm,E、F分别是直线BC、直线CD上的动点,当点E在直线BC上运动时,始终保持AE⊥EF.

(1)证明:Rt△ABE∽Rt△ECF;

(2)当点E在边BC上,BE为多少时,四边形ABCF的面积等于88

(3)当点E在直线BC上时,△AEF和△CEF能相似吗?若不能,说明理由,若能,直接写出此时BE的长.

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【分析】(1)通过余角的性质可得∠BAE=∠CEF,即可得结论;

(2)由相似三角形的性质可求 CF=,由三角形的面积公式可求解;

(3)分三种情况讨论,由相似三角形的性质可求解.

【解答】证明:(1)∵AE⊥EF,

∴∠AEB+∠CEF=90°,

又∵∠BAE+∠AEB=90°.

∴∠BAE=∠CEF,

又∵∠B=∠C=90°,

∴Rt△ABE∽Rt△ECF;

(2)如图,设BE=xcm,则CE=(12﹣x)cm,

∵Rt△ABE∽Rt△ECF,

数学帝葛军:学好数学的三件法宝

∴BE=4cm或BE=8cm;

(3)△ABE∽△AEF能成立,

如图1,当点E在线段BC上时,

数学帝葛军:学好数学的三件法宝

∵AE⊥EF,

∴∠AEF=∠C=90°,

∵AF不平行BC,

∴∠AFE≠∠FEC,

当∠FEC=∠EAF时,△AEF∽△ECF,

∴∠BAE=∠FEC=∠EAF,

∵tan∠BAE=tan∠EAF=

,∴BE=EC,BE=12-BE

∴BE=6(cm);

如图2,当点E在CB的延长线上时,设AF与BC的交点为H,

数学帝葛军:学好数学的三件法宝

当∠CEF=∠AFE时,△CEF∽△EFA,

∴EH=HF,∠FAE=∠HEA,

∴AH=EH=HF,

∵BC∥AD,

∴△CFH∽△DFA,

∴CH=6(cm),

∴BH=6(cm),

∴AH=(cm),

∴BE=EH﹣BH=()(cm),

如图3,当点E在BC的延长线上时,设AF与BC交于点H,

数学帝葛军:学好数学的三件法宝

当∠EFC=∠EAF时,△FCE∽△AEF,

同理可求BE=()(cm),

综上所述:BE的长是6cm或()cm或()cm.

在笔者看来,数形结合思想就是数学之利剑,是数学学习中重要的思想方法之一,是解决许多数学问题的有效思想。数学家华罗庚曾说:“数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休”。

利用数形结合能使“数”和“形”统一起来。以形助数、以数辅形,可以使许多数学问题变得清晰、直观。

数形结合的基本思想,就是在研究问题的过程中,注意把数和形结合起来考察,斟酌问题的具体情形,把图形性质的问题转化为数量关系的问题,或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,化难为易,获得简便易行的成功方案。

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▲ 一个A

一个A,“万象大千,爱(谐音A)在处处”。

A在“数”处,它指代的可能是整数、有理数、实数、复数……

A在“式”上,可能表示有理式、无理式、函数式……

A还可以是向量、矩阵,可以是圆、椭圆、双曲线、抛物线、二次曲线,可以是球、柱、锥、台,或是组合数、概率……

要了解A的概念、出现的形式,在解题中能快速将它们识别出来,同时能用整体性的思维去看待它们。

案例2.小明同学发现这样一个规律:两个顶角相等的等腰三角形,如果具有公共的顶角的顶点,并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形,小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.

(1)问题发现:如图1,若△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形,BC、DE分别是底边,求证:BD=CE;

(2)拓展探究:如图2,若△ACB和△DCE均为等边三角形,点A、D、E在同一条直线上,连接BE,则∠AEB的度数为_____;线段BE与AD之间的数量关系是_____

(3)解决问题:如图3,若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A、D、E在同一条直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连接BE,请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系并说明理由.

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【分析】(1)先判断出∠BAD=∠CAE,进而利用SAS判断出△BAD≌△CAE,即可得出结论;

(2)同(1)的方法判断出△BAD≌△CAE,得出AD=BE,∠ADC=∠BEC,最后用角的差,即可得出结论;

(3)同(2)的方法,即可得出结论.

【解答】:(1)∵△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形,

∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,

∴∠BAC﹣∠CAD=∠DAE﹣∠CAD,

∴∠BAD=∠CAE,

∴△BAD≌△CAE(SAS),

∴BD=CE;

(2)∵△ABC和△ADE均是等边三角形,

∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=∠CDE=∠CED=60°,

∴∠ACB﹣∠BCD=∠DCE﹣∠BCD,

∴∠ACD=∠BCE,

∴△ACD≌△BCE(SAS),

∴AD=BE,∠ADC=∠BEC,

∵∠CDE=60°,

∴∠BEC=∠ADC=180°﹣∠CDE=120°,

∵∠CED=60°,

∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°,

故答案为:60°,BE=AD;

(3)AE=BE+2CM,理由:

同(1)(2)的方法得,△ACD≌△BCE(SAS),

∵△CDE是等腰直角三角形,

∴∠CDE=∠CED=45°,

∴∠ADC=180°﹣∠CDE=45°,

∴∠BEC=∠ADC=135°,

∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=135°﹣45°=90°,

∵CD=CE,CM⊥DE,

∴DM=ME,

∵∠DCE=90°,

∴DM=ME=CM.

∴AE=AD+DE=BE+2CM.

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在笔者看来,技术分为“道”和“术”两种,做事的原理和原则是“道”,而做事的具体方法就是“术”。

数学真正的作用,就是让我们掌握“道”。

因为从历史的发展来看,所有的“术”都会经历:独门秘籍——普及——落伍 的过程。

而只有掌握了“道”的人才能永远游刃有余。

——当然,我还要再加一句话:只知道“术”,而不去研究“道”的人,水平会被锁死在某个“理论极限内”,无法突破。

关于解题之道:实质上就是通过审题来构思、探究解题思路的思维过程。解题必须充分运用条件和尽可能满足结论的需要,因而,通过审题全面掌握题意了解题的基础与首要任务。那么,审题要从哪些方面进行呢?这里有五点建议:

(1)初步地全面理解题意(理解它的每一个字、词、每一句话),能清楚地理解全部条件和结论;

(2)准确地作出必要的图形,包括示意图;

(3)必要时,要把语言和不宜于直接计算的算式化为能直接计算的算式,把不便于进行数学处理的语言化为便于进行数学处理的语言;

(4)发现比较隐蔽的条件;

(5)根据题目的特征提供的启示(信息)预见主要步骤或主要原则。

这五项要求,前三项是基本的,后两项是较高的。

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▲ 一面镜

一面镜,对镜自问,一日三省,养批判性、创新性思维能力。

当你拿到一个关于椭圆的问题,能不能静下心来把它做好,做好之后思考,换成抛物线会怎么样?换成双曲线会怎么样?

当你去思考了,你的认识在加深,水平真正得到提高。

也就是常说的“一道题做透了,要远胜于100道题”。

题目再变,你不再觉得可怕,你可以说“我都看透了”。

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案例3.课堂上,老师提出了这样一个问题:

如图1,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,且AB+BD=AC.

求证:∠ABC=2∠ACB.

小明的方法是:如图2,在AC上截取AE,使AE=AB,连接DE,构造全等三角形来证明结论.

(1)小天提出,如果把小明的方法叫做“截长法”,那么还可以用“补短法”通过延长线段AB构造全等三角形进行证明.辅助线的画法是:延长AB至F,使BF=_____,连接DF.

请补全小天提出的辅助线的画法,并在图1中画出相应的辅助线;

(2)小芸通过探究,将老师所给的问题做了进一步的拓展,给同学们提出了如下的问题:

如图3,点D在△ABC的内部,AD,BD,CD分别平分∠BAC,∠ABC,∠ACB,且AB+BD=AC.求证:∠ABC=2∠ACB.

请你解答小芸提出的这个问题;

(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换,得到的命题如下:

如果在△ABC中,∠ABC=2∠ACB,点D在边BC上,AB+BD=AC,那么AD平分∠BAC.

小东判断这个命题也是真命题,老师说小东的判断是正确的.请你利用图4对这个命题进行证明.

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【分析】(1)延长AB至F,使BF=BD,连接DF,根据三角形的外角性质得到∠ABC=2∠F,证明△ADF≌△ADC,根据全等三角形的性质证明结论;

(2)在AC上截取AE,使AE=AB,连接DE,证明△ADB≌△ADE,根据全等三角形的性质证明结论;

(3)延长AB至G,使BG=BD,连接DG,证明△ADG≌△ADC,根据全等三角形的性质、角平分线的定义证明.

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【解答】证明:(1)延长AB至F,使BF=BD,连接DF,则∠BDF=∠F,

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∴∠ABC=∠BDF+∠F=2∠F,

∵AD平分∠BAC

∴∠BAD=∠CAD,

∵AB+BD=AC,BF=BD,

∴AF=AC,

在△ADF和△ADC中,

易证明△ADF≌△ADC(SAS),

∴∠ACB=∠F,

∴∠ABC=2∠ACB;

(2)如图3,在AC上截取AE,使AE=AB,连接DE,

数学帝葛军:学好数学的三件法宝

∵AD,BD,CD分别平分∠BAC,∠ABC,∠ACB,

∴∠DAB=∠DAE,∠DBA=∠DBC,∠DCA=∠DCB,

∵AB+BD=AC,AE=AB,

∴DB=CE,

在△ADB和△ADE中,

易证明△ADB≌△ADE(SAS),

∴BD=DE,∠ABD=∠AED,

∴DE=CE,

∴∠EDC=∠ECD,

∴∠AED=2∠ECD,

∴∠ABD=2∠ECD,

(3)如图4,延长AB至G,使BG=BD,连接DG,则∠BDG=∠AGD,

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∴∠ABC=∠BDG+∠G=2∠AGD,

∵∠ABC=2∠ACB,

∴∠AGD=∠ACB,

∵AB+BD=AC,BG=BD,

∴AG=AC,

∴∠AGC=∠ACG,

∴∠DGC=∠DCG,

∴DG=DC,

在△ADG和△ADC中,

易证明△ADG≌△ADC(SSS),

∴∠DAG=∠DAC,即AD平分∠BAC.

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正如教育专家钱仲寒说,每节课都是给学生自学的示范。例题教学也不例外,它是通过引导学生挖掘典型题目的潜在教育教学价值,从不同方面不同层次锻炼思维品质,培养思维能力,以此培养自主学习能力,其作用直接表现为:

① 对新授课中的定义、定理、公式的内涵与外延进行深化,连点成线,线组成面,由面成体,构建立体认知结构网络;

② 丰富应用含义,增加应用层次;

③ 概括提炼数学方法,进而形成数学思想,增强数学应用意识。

数学如诗,数学“悄然地在你身边,努力影响你,让你变得更为明智、理性,富有智慧”。

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