|
壹 这个说法可能会让你大吃一惊：金融领域里，一大类统计分析方法论在实践当中都是无效的。它们包括：现代投资组合理论；因子分析；广义回归条件异方差（GARCH）；条件方差；随机波动。 以上方法都依赖于二阶矩（与平方有关的变量）甚至更高矩的存在，而在肥尾的世界当中，二阶矩是无法被量化的。 如果SP500指数存在峰度（四阶矩），传统观点认为，随着时间窗口的延长，峰度会收敛到峰度为3的高斯分布——但在现实中，随着数据量增加，峰度没有明显的下降。 原因也很简单：峰度在肥尾的世界里，是无法被量化的——方差不会收敛。从薄尾到肥尾绝不仅仅如换件外衣一般轻松。肥尾通常意味着很多事情，比如大数定律的缓慢的收敛，缺少样本均值或更高阶的矩特征，遍历性的问题等等。 投资组合理论的创始人之一Jack L. Treynor认为，肥尾是数据的'短期'特性，在所谓的'长期'数据中，数据会收敛变成高斯分布——实际上，这也是大错特错的。 如果峰度κ是无穷大的， 即便更低的矩存在，也不能直接讨论高斯分布。因为当尾参数α接近3的时候，按中心极限定理的收敛也会非常缓慢——为了确定分布的形式，观测值n可能要达到10的6次方之多，才能给出可靠的结论。但市场数据的历史当中是不可能有如此之多的观测值。 如果强制用峰度来评价标普500指数，峰度的值也是极其不稳定的——在56年的标普500观测数据当中，仅仅一个极端的数据点，就贡献了接近79%的峰度信息。在其它社会经济变量，比如黄金，石油，白银等市场里，也存在着类似的现象。峰度对极端样本的严重依赖性，也印证了峰度这个统计量并不稳健。 对标普500进行Lindy测试，即随着某个任意值K的移动，考察条件X大于K的期望是否与K的大小成比例。得到的图形也并不收敛。这再次表明，标普500数据是肥尾的。 此外，2020年过去的5年里，SP500的500支股票，只有Facebook，Amazon，Apple，Microsoft，Google这5家公司的市值增长了2.5倍，而剩下的495支股票的市值，加在一起几乎没有变化。 以上种种迹象显示，代表了美国股市市值大部分的标普500指数，是肥尾性质的，利用肥尾之外任何其它分布对SP500建模都是不负责任的。不管是参数方法，还是稳健统计，计量经济学当凡是违背肥尾假设被广泛使用的理论，从根本上说就是错的。 这当中包含了几乎所有基于平方的变量：标准差，方差，相关性，回归，以及所谓的'p值'，以及数学金融中使用的更复杂的GARCH，风险价值，随机微积分技术，对于经济和金融变量来说，它们没有任何现实意义。Mandelbrot曾经一度认为，泊松跳跃（Poisson Jump）是万能的。但是，泊松跳跃也是薄尾分布的。 不得不面对这样一个残酷的事实：这些方法都要被抛弃。 许多原本好用的分析和策略都可能被肥尾破坏。在肥尾的视角下，正确的做法是要围绕异常值构建一个全新的理论体系——比如极值理论，而不是孤立甚至忽视异常值的存在。在肥尾的世界里，保留极端的情况是风险管理唯一合理的方法——没有什么好解释的，这就是现实。 在Taleb之前，这样的认知却并不被主流认知所洞察——即便在今天，商学院传授的知识，仍然还是落后和封闭的。而要厘清这种现实的根源，还要从18世纪的法国说起。 贰 鞅，Martingale的概念，诞生于二项分布等古典概率概念的发源地——18世纪的法国。那里，鞅特指一种随机过程，可以用来描述一种赌博策略：如果一个随机过程是鞅，可以判断该随机过程在未来t时刻的均值，等于该随机过程在当前时刻s的值。 这是什么意思？ 好比你是一个赌徒，掷硬币猜正反，输的人要付给赢的人10块钱，玩了20局之后，你一共赢了40块钱，此后你又多玩了一局，在这一局，你仍然有50%的概率赢或输，你的期望的收益仍然是40元，乃至于你玩了22局，23局，不管后面有多少局，你的预期收益都是40元不再变化——就好像有个不舍得花钱的小气鬼，他下一周每一天要花的那点小钱，看来看去都跟今天花的钱一样多。 鞅的本意，通常指套在马颈或马腹上的皮带，学名叫做“马颔缰”。不过即便成为了一个抽象的统计学概念，但却多多少少地保留了一丝原意：当你在一条笔直的公路上用“鞅”驾驭马车，尽管马会扭动身体，以及绕过行人和车辆，但总体来说，马车不会离开公路，行进路线仍然还是笔直的。未来的所有可能路径都超不出历史的波动。 如果鞅是成立的，那么“加倍赌注法”就会奏效：硬币正面向上赌徒会赢得赌本；硬币反面向上赌徒会输掉赌本。于是赌徒为了不输钱，其策略就是在输钱后加倍投注赌金，为的是在下次赢钱时赢回之前输掉的所有钱，同时又能另外赢得与最初赌本相等的收益。当赌徒的赌金和可用时间同时接近无穷时，他赢得最初赌本的概率会接近100%。 由此看来，在鞅成立的时候，加倍赌注法似乎是一种必然不会输钱的策略。然而现实当中，这是不可能达成的，因为赌金的指数增长最终会导致资产有限的赌徒破产。 在部分金融人士看来，'鞅'这个概念是为金融市场量身定做的：如果把股票当作是一个随机过程，并假设它是一个鞅，那么无论股票价格未来如何变化，截止未来某个时刻的均值t始终等于当前股票的价格s。从某种角度来说，股票当前价格就包含了对其未来做预测所需的全部信息。 巧合的是，存在另一个与鞅类似但却略微不同的描述随机过程的概念：马尔可夫过程，非常适合拿来与鞅的概念放在一块比较。 马尔可夫过程是说，如果一个随机过程满足对任意时刻，给定过去全部经历，其分布与给最近一点的位置相同。换句话说，你给我过去的历史，和给我最后观察到的信息，两者是完全等价的——事物将来的发展都不依赖于过去的历史，当前的值即包含有所有历史的信息。 这恰好与弱有效市场假说的描述异曲同工。弱有效市场假说认为：市场的价格，能够反映出所有过去历史的证券价格信息，包括股票的成交价，成交量等等。如果股票价格是马尔可夫过程，那么你的决策只关乎此时的股票价格，而不在于其过去的走势。 可见，鞅代表的是公平博弈游戏，马尔可夫过程则侧重过程的“无记忆性”，两者说了相似的事情，但时间轴是相反的：
现代金融核心思想之一的“有效市场模型”EMM认为：平均来看，股价会上涨（慢牛行情），但会在均值附近上下随机波动（布朗运动），并且波动的幅度不会超过一个范围（高斯分布）。 更具体地说，股价以μ的平均速率上升，这叫做漂移。漂移项与μ和时间间隔⍙t有关，代表均值一直在随时间增加而增加，显然，如果这是赌博，就意味着期望收益一直在变大，这个游戏一定是不公平的——因此这个模型不是鞅。 而股价的波动（布朗运动）被称作扩散。扩散与每年的波动幅度σ和消息的时间间隔⍙t有关。波动性体现的就是市场对新的信息的反映——只有新的信息才会导致价格波动。 为什么扩散项要加根号呢？ 因为EMM假设新的信息出现的间隔是相同的，每Δt秒出现一次。好消息会使公司的价值上升一定的百分比，坏消息则降低一个百分比。n个消息带来的股价波动并不与n成正比，而是与n的平方根成正比，而消息的时间间隔是⍙t，因此股价的波动就跟⍙t的平方根成正比了。按照这样的表达，扩散项单位时间内的独立增量符合标准正态分布。 因此，EMM作为古典金融理论体系模型，被看作是基于高斯的正态分布的——平均来看，股价会上涨（漂移项），但会在均值附近上下随机波动（扩散项），并且波动的幅度不会超过高斯标准差的范围。长期来说，股价将只由漂移项决定。 此外，有效市场理论认为，当前价格反映的是所有过去历史的价格信息。只有未来的信息才能影响到股价，因此，现有股价已经准确反映了所有经济和市场已有的信息——显然，这个模型兼容马尔可夫过程。许多经济模型都假设某过程具有马尔可夫性，其原因就在于，这样的假设使得模型得到了极大的简化，减弱对历史信息的依赖。 以上，就是有效市场假说模型测算风险的方式，这个模型是马尔可夫过程，但不是鞅。 叁 苏格兰植物学家罗伯特·布朗曾研究过细小的花粉粒在水中的不规则运动，并将其命名为布朗运动。 布朗运动启发了Bachelier对于债券价格波动方式的理解。他相信两者都是不可预测的过程，粒子行为或个人行为的细节太过复杂，但整个系统却可以通过概率的方式加以研究。毕业于巴黎大学的法国数学家Louis Bachelier，在其1900年的博士论文《投机理论》中，首次将布朗运动原理运用于金融资产。 布朗运动有一个特殊的性质，而且这个性质是关于马尔可夫过程和鞅交集的有趣的发现——布朗运动既是“鞅”，也是“马尔可夫过程”。不过，将布朗运动引入金融理论，却不单单因为这一点。 Bachelier被后人看作是现代数理金融学领域的奠基人。他通过对巴黎股市的研究，提出了有效市场、股价随机漫步等思想原型。而相对论的奠基人爱因斯坦也受到布朗的启发，并开始研究分子间相互作用，提出了与Bachelier的形式非常相似的概率方程——这便是随机游走的数学表达——但爱因斯坦本人却并没有意识到，这是历史的一次巧合。 实际上，在爱因斯坦的时代，证券价格运动，分子运动，热传导等研究对象，都利用相似的数学模型来描述的。 Bachelier的思想虽然发端很早，但却一直被埋没了50多年，才被萨缪尔森发现并广为传播。萨缪尔森和他的学生们基于Bachelier的创造，继续发展了有效市场理论，EMM，有价证券组合理论MPT，资本资产定价模型CAPM，再到集大成的期权定价B-S公式。这一系列古典金融理论的基础，几乎都根植于Bachelier引入的布朗运动。 为什么布朗运动适合用来描述金融资产价格波动？ 标准布朗运动的数学描述翻译过来，可以表达为：如果时间为0时，位置为0，那么在任何有限时间区间Δt内，布朗运动满足均值为0方差为Δt的正态分布——也就是说，方差随时间线性增加。 这个性质意味着，布朗运动与任何数学方程表达的轨迹都完全不同，它不连续也不平滑，曲线的转折非常剧烈，而且这种剧烈程度几乎不受观测尺度变化的影响。 布朗运动的这种处处不可微分，波动频繁的特点非常接近资产价格的波动曲线，人们无不欢欣鼓舞。 新的问题也随之出现：虽然布朗运动从形式上满足资产价格波动的特点，但在数学上却很难处理和分析——古典微积分理论无法处理处处不可微分的情形。 分析手段的欠缺，迫切需要人们发明新的理论，即为随机变量也建立一套类似于普通微积分的理论，让我们能够像对普通的变量微积分那样对随机变量做微积分处理——朴素观点下，如果将股票价格看作布朗运动Bt，则金融衍生品可以被建模为布朗运动的函数f(Bt)，借助其微分形式df，就可以利用微积分的成熟理论，对f(Bt)加以分析研究。 这便是伊藤引理（Ito's lemma）出现的历史背景——金融学新的发展几乎完全依赖于数学工具的突破。 布朗运动学性质非常奇特：位移的平方累积，即二次变分始终等于时间区间的长度——通俗地说，时间长度趋近于0的极小尺度内，位移的变化也不是0——位移微小量的平方等于时间微小量，这个微小量的累积在随机过程当中无法被忽略。 伊藤关键而重要的一个步骤，就是在古典微积分的后面增加了一个新的额外项——二次变分（位移的平方累计）。 二次变分作为布朗运动的核心特质，被计入到随机过程当中。通过二次变分，伊藤巧妙地改变了微积分的处理方式，建立了'伊藤过程'——虽然只是微小的变化，但却是一个质的飞跃。借助'伊藤过程'，带有布朗运动'干扰项'被引入微分方程，带来了”随机性”，伊藤引理实际上是将布朗运动理解为随机干扰，从而赋予了布朗运动更一般的意义。 至此，我们有能力构建这样一个精妙的数学结构： 一只金融衍生品，比如说期权价格C满足“伊藤过程”，而期权价格C作为股票价格S的对数表达lnS，也满足“伊藤过程”，这两个“伊藤过程”都是基于同一个布朗运动模型——期权的价格满足布朗运动，股票的价格满足“几何布朗运动”—— 所谓的“几何布朗运动”，是金融数学中发明概念，它与描述传统的微粒无规则运动的布朗运动之间，只相差一个对数变换。 由于期权价格lnS符合布朗运动并满足正态分布，因而，股票价格S将满足对数正态分布。这就是说，给定当前股票价格的前提下，股票在未来的价格服从几何布朗运动，股票在未来特定时刻的价格服从对数正态分布。 肆 假设你买了某个期权，在时间t=0时，你有权利在到期时间T之前购买一股股票，如果你能够以一个固定的价格K来行使这个期权，这个价格就被称为期权价格。如果只能在到期日行权，这个期权就是欧式期权；如果在到期日之前都可以行权，这个期权就是美式期权。 根据这个略显枯燥的定义，期权本质上就是讲押涨价还是押降价（或者其更复杂的操作，押波动性）。如果你看涨一支股票，后来价格真的涨了，你就赚钱。如果股票跌了，那你就只牺牲掉购买期权的费用。看跌的情况与之类似。整个过程中，你都不会“持有”股票，这里交易的是持有股票的“权利”。 虽然期权在18世纪被发明，但由于价格的不透明，发展一直受限。在交易过程中，由于不能连续报价，期权还不是一种'标准化的合约'，市场的流动性受到很大的限制。客户经常会问：我怎么知道自己的指令成交在最公平的价位上呢？ 布朗运动和伊藤微积分为这个问题给出了一个数学形式上的完美答案：
通过伊藤过程，期权和股票价格之间，存在着一种奇妙的关联。 于是有人思考： 结合以上三点，肯定能够得到一个股票价格和期权价格之间不含随机性的确定性函数表达，这样一来，不就能够将布朗运动的随机性抵消掉嘛？ 这个想法是颇具颠覆性的：随机性是风险资产的属性，但借助伊藤微积分，随机性突然间消失了！如果将股票和期权放入一个资产组合，利用期权和股票之间能够消除随机性的函数关系'对冲'，我们就得到了一个完全没有风险的资产组合。 没错，这便是1973年，Black，Scholes和Merton利用随机微积分工具为风险资产（股票价格，股票指数，汇率，利率等等）所建立的BSM模型。从1973年开始，看涨期权，看跌期权，股票指数期货期权等，先后在芝加哥期权交易所和纽约期货交易所挂牌交易，这个公式带来了金融期权市场和商品期权市场的巨大繁荣。 用C代表期权价格，S代表股票价格的话，这个关系非常简洁： 按照这一公式，每做空一份期权，就要做多∂C/∂S份股票，这种在Δt内完美消除布朗运动随机性，构建投资组合的方式，就被叫做Delta对冲。借助Delta对冲，金融领域内广泛采用的随机微分方程一下子改头换面，变成了纯粹的（非随机）微分方程，这就是著名的BSM微分方程： 这个模型阐述了期权的价值(C)同时包含了股价(S)，股票的风险(波动率σ)和无风险利率r(借钱的利息)。这个公式里还加入了金融的折现(时间t)，以体现金融衍生品在时间上的价值，而它们均与⻛险选择无关。 除了股票价格波动率σ外（根据使用者的不同取值会有区别），其它参数的取值都比较确定。这就带来了另一种应用：根据期权的实际交易价格，和BSM公式反推出波动率——即隐含波动率。其中最有名的例子就是芝加哥期权交易所的VIX恐慌指数了——它通常代表了市场对于⻛险的普遍观点。 按照Delta对冲，有两种在股市进行投资的对象——股票和期权。任何时候都可以把期权变成股票。 静态来看：BSM模型能告诉我们，任意时刻，该用多少股票来代替期权，可以使总的风险不变。以看涨期权为例，它的价值随着股价的上升而上升，随之股价的下跌而下跌。我们可以计算出，最初要买入多少股票，在未来的每一刻，每一个价位，还要再买入或卖出多少股票，才可以获得与期权合同相同的回报。 动态来看：现实中，达到平衡前，投资者总是寻求低买高卖，大量的套利行为上演。当期权和股票的预期回报率一致的时候，市场就达到了平衡——此时投资者对这两种产品没有偏好。 有趣的是，看涨期权要比看跌期权处理的更多，原因可能在于大多数股票投资者更倾向于看到事情的光明面，因此更经常希望股票价格的上涨而不是下跌。然而，这种特别的买入看涨期权的倾向并不会使看涨期权变得昂贵，看跌期权更便宜。因为可以证明，行家可以通过在股票中交易，将看跌期权转换为看涨期权、将看跌期权转换为看跌期权——任何期权都可以转换为其他期权。 更进一步地，你甚至还可以寻找一个合适的对冲组合（Replicating Portfolio）来为一个期权定价，不管最后股票的价格变成了什么样子，这个对冲组合与期权之间还是保持一致的——这就是对冲的另一个含义：复制。 可以说，复制（replicate）和对冲（hedge）没有任何不同——所有的金融衍生品定价理论，根本上都是在用这个方法，它们反反复复说的都是同一件事情。 伍 几何布朗运动通常被用于模拟扩散影响下的股价行为。但是，股价由于经常受到消息和交易情绪的影响，可能在瞬时内发生较大幅度的波动——这通常利用泊松跳跃Jump构造。 建模时，跳跃是利用复合泊松过程来模拟的。跳跃的达到时间服从泊松过程，跳跃的幅度服从正态分布。跳跃的加入被看作是经典理论的一个改良的版本：相对独立的扩散，和跳跃一同，被整合到一个复合模型当中——这就是Merton在1976年提出的跳跃扩散模型。 这个模型是高斯体系的——所有的矩都存在。 在BSM的实践当中，一个看涨期权的回报可以通过动态对冲的“流”来表达：把这段时间分成n个∆t，这里的对冲比率∂C/∂S是从时间t+(i-1)∆t开始计算的，我们据此就能得到对冲开始时的价格与t+i∆t时的价格之间的差异。 这个公式看似复杂，但表达了一件重要的事情：∆t→0时，收益具有确定性。重要的是，在高斯的世界里，这是一个伊藤积分表达。BSM的逻辑就在于：它依赖于伊藤积分，让投资组合“崩塌”成一个确定的回报。 高斯的世界里，Delta对冲并非仅仅是一个消除风险并推导出BSM模型的过程。从应用角度，由BSM公式出发，还可以计算期权价格对于'标的资产'（Delta，Gamma）、时间（Theta）、利率（Rho）、波动率（Vega）的偏导数，期权损益就是计算这些因素的损益并叠加。 但在在现实世界中，这种对冲经常遭遇失败。这种失败通常与无标度的金融市场肥尾特点相关： 当今日你看着上百万的市场数据，无标度或者分形的特点（在所有尺度上的自相似性）在所有的市场都会呈现。肥尾是真实存在的，之所以有薄尾的错觉——是由于样本数据较少并存在采样误差，因此尾部片段样本较小并带来样本内尾巴变薄的感觉。 从1963的Mandelbrot，到1973年的BSM和1976年Merton的跳跃扩散，再到2000年的Stanley和2003年的Gabaix，市场肥尾的属性都没有改变过。 核心问题出现了：金融波动是无标度的，高阶矩的方差不可解会最终阻止动态对冲组合的形成——数学上，伊藤过程依赖于泰勒展开，但对于无标度的情况，泰勒展开将失效。可见，BSM模型与肥尾可谓是水火不容。 在Taleb看来，BSM方法的问题在于，动态对冲的要求是非常理想化的，至少要满足以以下前提：
忽视或违背假设前提，现实就会遭遇种种不适，比如：
此外，动态对冲还有更大的问题： Hakansson在1979年就简述了对于'动态复制'的怀疑，提出了一个关于BSM自身的悖论：如果期权能够被定价仅仅是因为它们能被复制，那为什么还要在市场上单独交易它们呢？这意思是说，BSM只创造了一个'复制'的核心思想，此外一切假设都是没有根基的。在复制的思想下，期权完全可以通过其他的资产形式来表达，从而失去了自身存在的意义。既然这样，为什么要发明期权呢？ 说的不客气一些：期权可以通过一种叫做动态对冲的方法变成一种无风险工具。但事实上，布莱克、斯科尔斯和默顿三人所做的只是找到一种方法，使一个优美的公式更适合当时的经济学体系。为了'装扮'这个公式并'引进'到金融领域，三个人不得不需要引入一系列牵强的假设：
对于一个站在新古典经济学之外的以观察驱动的人来说，这种玩法相当奇异。这好像在说：动态对冲的观点是非常危险的，因为它会让你陷入困境——但不要紧，只要先关注新古典经济理论并掌握BSM再玩动态对冲，你就安全了。它是信仰。 但是，如果离开高斯和BSM建立的'对冲'的世界，并接受幂律分布的自然观点，多少又有点令人烦恼：几乎每一阶矩都都不可解，BSM方程就会彻底失效，无法继续使用了。 陆 如果你有100元钱，这里有两个投资选择： A：一年后给你120元 B：50%的概率，你能拿到240元，50%的概率你损失所有的钱 他们的预期回报都是120元，前者确定没有风险，后者损益的风险各半。于是可以把做选择的人分为三类：
在BSM模型当中，就有一个风险偏好，而这个概念非常令人迷惑，并常常使人误入歧途：利用复制，或者Delta对冲的思想推导BSM偏微分方程时，发生了“物质湮灭”——不光布朗运动“湮灭了”，风险偏好也“湮灭了”。似乎，不管投资者的风险偏好如何，都不会影响BSM方程的求解。真的会这样吗？ 总体说来，投资者设定的期望收益率，往往决定着投资者个人的风险偏好：
但作为期权市场的消费者，虽然可以根据风险的厌恶程度对期权定价，但这种主观意愿却并不会影响到期权的价格。 这是显而易见的：保险的潜在购买者会按自己的风险喜好和厌恶程度给保险产品估值，并作出购买决定，但却不会影响保险本身的价格——保险公司的保单价格不是根据客户的想法来制定的，而是精算师根据真实风险量化出来的。 同样的道理，做市商则要依照'复制'期权的成本来决定市场上期权的价格，而不是参考期权市场消费者的看法和意愿。 诺贝尔委员会在授予BSM模型诺贝尔奖时，嘉奖词是这样说的：“Black、Merton和Scholes做出了重大贡献，实际上在期权估值时没有必要使用任何风险溢价。这并不意味着风险溢价消失了；相反，它已经包含在股票价格中了。” 这里的意思是，他们的研究成果之所以获奖，是因为他们把跟风险偏好有关的贴现率对期权价格的影响消除了，而不是因为把期权看作一个确定性的无风险证券。 歧义就在这里出现了——为了计算期权价格，数学上的确会用到一个“风险中性测度”的概念，但这个概念却跟心理学上的“风险中性偏好”完全无关。 虽然两个概念都包含了“风险中性”，但风险中性测度里面，没有任何风险中性偏好的投资者——风险中性测度是对数学计算中一个巧合的公式的形象叫法，而不是任何风险中性偏好的投资者的心理选择。 想象一只股票，涨跌的概率是均等的，各占50%。当你想要计算这个资产的价格时，金融师告诉你，应该利用未来的预期回报来计算贴现价值，但是，他无法帮你计算，因为你要根据自己对风险的喜好或者厌恶程度制定一个贴现利率——这里没有标准答案，每个人给出的贴现率都会是主观决定的，没有普遍真理。 这对金融从业者来说，简直是不可接受的。因为金融衍生品的存在，几乎完全受益于开发全新的数学模型——随机微分方程，鞅，布朗运动，伊藤积分...金融从业者习惯了在缺少信息的情况下通过模型进行决策，因此，有必要要利用模型消除掉“风险偏好”这类主观因素。 恰巧，测度论就提供了以一种实现”期望贴现“的手段，现实的问题被映射到一个'副本空间'当中，在这个'副本'里，所有的参数都已经为你设置好了，这个副本在数学上非常完美，只要把现实世界映射到这个虚拟世界当中，你手里的股票就立刻变成了无风险资产，直接用副本设定好的无风险利率贴现，你就不需要你自己做选择题了。 映射的完美模型就叫做'风险中性测度'，映射的过程，就叫做'测度变换'。测度变换可以被看作调整概率：你可以按照自己的喜好把好事发生的概率人为的调高点儿，把坏事发生的概率调小点儿。在概率上动动手脚，你就不用再想着怎么定义贴现利率了，是不是很简单？ 风险中性测度通过测度变换，把现实世界的概率进行了调整，从而可以用无风险利率r来折现，不需要去估计真实世界中的期权的折现率——当然你不能随意乱调概率，否则这个模型就没有意义了，你要让变换前后的世界对你研究的问题观点一致——这就是等价测度的含义。 为了给风险资产定价，风险资产通过测度变换成为理想模型——在这个测度下，风险资产获得了一些非常好的性质——比如风险资产在这个新的虚拟世界里是个鞅，未来的预期价格就等于现在的价格，就可以大大简化估计和计算的难度，最后我再把这个结果映射回现实世界，就能'无中生有'一般，带给我新的见解。 比如，股票和期权两种资产在风险中性测度下服从伊藤过程，一个资产以另一个资产为计价单位，如果风险价格在该资产的波动率测度下是个鞅（drift漂移项等于零）——这个严格约束的'完美模型'里，就有很好的性质可以拿来做定价——这就是'等价鞅测度'。你不用靠猜的方式'调参'，可以把一切难题交给数学模型帮你来定义。 总而言之，风险中性测度定价就是通过寻找等价鞅测度，把现实世界里的风险概率（P-测度）转换到等价的风险中性虚拟世界（Q-测度），并求解期望值。 利用'风险中性测度'进行“测度变换”，目的只有一个：寻找合适的对冲组合来为金融衍生品定价——你可能会意识到，这不就是'复制'嘛！的确，风险中性测度，就是'复制原理'的一种应用演化。 美国经济学家Ross曾经提出资产定价的基本定理：
这个意思是说：
BSM模型里已经保留了那么多的假设条件，自然同时满足了这两个定理。因此，必然存在一个唯一的风险中性测度——通过这个风险中性测度求期望值，就可以得到那个唯一的期权价格。 很多人喜欢以开篇那个倚重个人心理的风险决策的故事作为谈资，并常常模糊了'风险中性'在心理决策与金融数学之间明确的边界。因此经常会有人问出这样的问题：没有心理学上的风险中性偏好，BSM也成立嘛？ 通过两个概念的深入分析，我们明确了：
也许是后者数学上的艰深，让人们更倾向于寻求前者心理学上的解释。但即便是前者，也被广泛地误读了。 柒 交易者是工程师，不是预言家，因此，他们不知道世界未来的状态及其概率的信息。 因此，他们不需要硬生生地创造出一套理论来生成一个价格，仅仅是为了避免针对他们的套利。即便是专业交易员，甚至包括瑞典科学院在内，都神化了BSM的这项发现。 商学院教育当中，这个理论逐渐得到强化，却几乎没有人真正关注期权交易的真实历史了——原始资料要么已经丢失，要么被当作是轶事。 期权交易者像许多职业一样，在实践当中发展出了一条独特技术传输链。问题是，由于大学课程并不传承交易员们在实践中获得的技能，这条个链条经常被打破。结果就是，已经应用的大量启发式的方法实现，经济学界却拒绝引用或承认它们——这使得交易者需要不断地定期重新学习，这是一种归纳法式的传承。 20世纪初，期权交易员和套利者S.A.Nelson根据他的观察，发表了一本书《期权和套利的ABC》。根据Nelson的说法，在伦敦和纽约市场之间，每小时有多达500条信息通过有线电视公司被发送，每天通常有2000至3000条。每一条信息都在一分钟之内通过有线通讯系统传送出去。 Nelson甚至描述了套利业务的许多严格的细节，都是来自启发式的经验总结：股票运输成本、股票保险成本、利息费用、在纽约做多和做空的人之间直接转换股票的可能性以这种方式节省的运输和保险费用，以及更多的技巧。 Herbert Filer是一个1919年-1960年代参与期权交易的期权交易商。Filer提到，由于第二次世界大战，欧洲交易所一度关门了——伦敦期权交易在1958年才得到恢复。在19世纪早期，伦敦的期权交易员被认为是最成熟可靠的，但随后多年的战乱，关于期权的稳健套利原则失传并被大部分人遗忘了。 下一代交易者从上一代交易者那里学习（或交易者模仿同时代其他交易者），并在竞争的压力下，以自下而上的方式发展出深刻的技巧。 即便没有现代的可以匹敌BSM的新方法，但历史上的启发式期权估值方法，已经被交易员高效地应用了几百年。几个世纪以来，交易员使用的基于更少假设的启发式方法，都比现代经济学文献中使用的方法更为稳健、一致和严谨。 百年实践总结的期权对冲、定价和交易方法，既不是哲学也不是数学知识——更像是一门手艺。 作为一门手艺，就不会借助技术文献和教材存活下来。文献总是戴着有色眼镜——不光对过去成功的启发式方法存在选择性偏差，也对过去失败的动态对冲案例存在选择性偏差：例如，Leland O'ZBrien Rubinstein等公司在1987年经历的动态对冲失败，几乎没有出现在事后发表的任何学术文献中。正相反，动态对冲被认为是一种标准的操作。 一块来跟Nassim Nicholas Taleb多读读历史吧： 在简单的假设下，比如历史悠久的平价关系（Put-Call Parity）的约束条件下，欧式期权估值的概率测度，源自期货价格导出的平均值，不需要一定是风险中性的——这绕过了BSM动态对冲的观点，并且并不需要完备市场和其假设条件的存在。 Higgins（1902年）和Nelson（1904）则清楚地描述了静态市场的中性Delta对冲。Thorp和Kassouf（1967年）更详细地介绍了市场中性静态Delta对冲，Thorp同时也指出了一些未来方向——不是将其作为一种中央定价工具，而是一种风险管理工具。 真实的历史是，布莱克、斯科尔斯和默顿提出BSM下Delta对冲的概念（1973年），是站在了Thorp和Kassouf的肩膀上（1967年）。 另一个被忽视和遗忘的证据是阿诺德·伯哈德公司（Arnold Bernhard & Co.）于1970年出版的一本小册子。小册子的作者清楚地意识到市场中性的静态Delta对冲。这本书有多个例子说明如何购买认股权证或可转换债券，并通过做空适当数量的普通股来构建市场中性的Delta对冲。 即便是Bachelier所提出的基于期望的期权公式，相比BSM动态对冲公式来说，也更具一般性——因为它甚至不需要一个高斯分布作为前提。 以上理论都超越了BSM的局限性，允许期权的定价使用有限均值/无穷方差矩的分布来描绘。 真实的交易者并不完全是通过BSM的方式进行对冲的。期权交易者不一定对期权到期时的Q世界里的理论概率分布感兴趣，因为这对现实P世界当中的他们来说是抽象的，甚至是形而上的。 BSM可能是一个聪明的数学思想，但期权交易是实践而不是数学理论，仅仅依靠一个远离现实的理论构想，在实践中还远远不够有力。 P/Q测度之间，是世界观巨大的差别：
BSM的观点反映的是一个自上而下的路径：建立在交易者充分了解未来结果概率分布的假设之上。BSM作为现代金融的创新，仅仅是一个精美的思想实验。 对于交易者，估值需要一个强有力的理论框架，并充分考虑到假设前提和模型本身的脆弱性。BSM理论在不知天高地厚（未来概率分布）的情况下计算购买期权的价格，这不是估值——而是过度自满。 总可以用其他期权对冲期权中的风险——如果你用期权对冲期权，那么期权定价将主要基于需求和供应。 这与BSM的理论形成了强烈的反差：BSM理论基于具有连续时间Delta对冲的几何布朗运动的理想世界，在那里期权的需求和供给不应该影响期权的价格。 聪明的交易者在证券到期之前往往不会进行估值，而是在一个随机的持有时间内，生成一个与市场兼容的期权价格。期权交易者不会通过对货币期权定价来估计极端罕见事件发生的几率，他们只是简单地对供求关系做出反应——他们并不需要严谨的科学理论。 隐秘的历史，和无情的现实都让我们更加坚信了一点：通过在市场中践行BSM模型，来证明BSM合理性的做法，是愚蠢的。 捌 利用风险中性定价，需要依赖一系列条件，这当中就包括：风险中性测度下衍生品的价格是鞅。这意味着，未来期望价格和现在的价值一样，资产的交易变成了公平游戏，没有套利的机会存在。 在现实中，这个没钱可赚的假设显然是不合理的，但是为了资产定价，我们又必须承认鞅的存在。 这就部分地解释了，BSM的风险中性定价（包括修正后的BSM模型）仅对市场中流动性最好，交易量最大的普通期权，有着比其它模型更令人满意的效果——毕竟在充分竞争博弈的环境下，无套利将更容易实现。 只有市场流动足够好，才能反应出资产定价的规律。在流动性不好的市场，摩擦太多，鞅的假设失灵了，我们将很难发现定价规律的影响。 通过金融工具量化不确定性，是金融学永恒不变的课题。但未来通常是无法预知的 ，金融学能做到的最好，只是将人们对未来的期望贴现而已。而这种'期望贴现'的实现手段，不外乎追寻一种'狂野'的建模策略——利用数学模型填补未知，在缺少事实和数据的情况下通过模型给出决策。于是，测度论，随机微分方程，鞅论等概念轮番上阵，让'无中生有'成为了可能。 这就像古希腊的艾拉托色尼，虽然他所处的时代没有任何确凿证据说地球是圆的，但他仍然以此为假设设计了一个实验，测量同一条子午线上的两座城市太阳角度的偏差，并第一次正确计算出了地球的大致半径。 艾拉托色尼也许只是恰巧猜对了“地球模型”，在他同时代的古希腊，更多人构造的是无理性的思想模型，单纯出于对数学甚至美学形式的极致追求： 古希腊医学家希波克拉底提出了体液论，将土，气，水，火四大元素与春夏秋冬四个季节，和血液，粘液，黑胆汁，黄胆汁四种体液联系到了一起。毕达哥拉斯的体系更为玄幻，他狂热的痴迷于数字，从平面几何到宇宙模型，到处都是整数。那是一个痴迷地建立抽象几何模型的狂热信仰时代。 不同于古希腊的模型信仰，现代金融更关注实用性，但也默默契合了模型信仰——因为模型是会下金蛋的母鸡。 这里的逻辑是：金融衍生品类似于保险计划，需要不断地推陈出新，被看作是批量的工业品被生产和售卖。通过不间断的'复制'策略，利用深奥的数学模型不停歇地创造新的金融衍生品，甚至衍生品的衍生品——如果一天不造，生意就无法做下去，无疑是自断生路。 2007年7月末，华尔街顶级投行之一贝尔斯登(Bear Stearns)旗下的信用担保债务凭证(CDO)对冲基金轰然倒塌，那场此后演变为全球性金融危机的次贷危机从此揭开序幕。 危机的根源就是一个金融衍生品的公式——用来描述违约相关性模型的高斯联结相依函数(Gaussian Copula)。公式创造者也没有想到，数学模型被设计得太美轮美奂了，乃至于拿到这个公式的人会不假思索地将其用在任何不合时宜的场合，最终，华尔街的金融机构广泛地滥用它，并利用它进行风险管理和设计金融衍生品，并制造了那场刻骨铭心的次贷危机。 人性的贪婪，利益的驱动下，偏微分方程，随机过程能够源源不断地将模型优美的数学性质转变成金融产品并带来实打实的现金流，谁会拒绝这样的诱惑呢？只要你能够创造新的技术，将风险的不确定性定价，并找到确定任何资产之间相关关系的方法，就一定有人愿意冒险。 广泛使用的BSM模型虽然最大程度上剔除了人的因素并变得可爱起来，但它的一些基本假设是否成立，仍然有待推敲：
这些假设的真实性，都是可疑的。现实世界里，他们都不能被严格地证明，甚至有些假设与现实中的真实例子是相悖的。这个根基绝对不能说完美无瑕：
批评者认为，古典经济理论里的BSM模型，是一个修正的物理学热扩散方程，将市场看作是不断寻求均衡的体系。然而，除此之外也就没有什么亮点了——它只是被形式化地使用，其包含的特殊类型的微分和随机方程，却没有任何现实的物理意义，只是一种粗浅的类比和数学处理的借用。 我们似乎过度关注了数学的形式，反而忽视了物理意义构建。这引来了很多问题：
我们在使用任何一个模型之前，都要首先了解模型成立的前提条件，并了解它适用解决的问题，从而避免它被滥用的可能。至少，当BSM模型在面对一些更加棘手问题变得狼狈不堪之时，也许我们应该回到理论的根基看一看哪里出了问题。 令人遗憾的是，金融投资管理目前占据主导地位的，仍然是“现代投资组合理论”。 现代投资组合理论仍然是一个有缺陷的理论——依存于众多的假设。这些假设有：
就以第一点为例，在所谓“投资组合”的领域里，商学院里全部在学正态分布。如果继续用正态分布作为投资策略指导，股票证券组合将被错误地放置在一起，风险管理将会失败，交易策略将完全被误导。市场比正态分布更具风险，那么，问题到底出在了哪里？ 实际上，以上五个假设在所有程度上都是不正确的。而且不幸的是，根本没有解决这些问题的“完美投资组合解决方案”。人们不得不放弃这种有缺陷的理论，并在现实当中寻找更加实际的工具，比如：诉诸于两个虚拟投资组合，并同时满足两个不同的目标： 1.防止其所有者的健康，幸福和财富受到影响 2.产生回报 这就是杠铃策略——一种双峰投资策略，表现为将投资组合的一部分投资于明确定义为“反脆弱”的“Numéraire Repository of Value”——即杠铃左侧的安全资产。 Númeraire给了人们一个非常安全的核心，即使在深层次风险显现时也不应该受到影响。这是一个违反直觉的思路，但确是非常有效的——即通过早期劣势获得后期优势。虽然将资本分配给Numéraire有一个成本，通常被称为持有成本，但它可以在灾难（通胀，通缩，没收，消亡等）发生后产生回报。 在Númeraire的保障下，完全可以通过进攻性投资组合（黑天鹅投资组合）积极追求回报——因此，其余部分被投资于杠铃右侧的风险证券。 熟悉BSM理论的人，通常使用无风险资产作为参考基准。自1977年以来，大量文献已经用numéraire的概念代替了“现金”，实际上，杠铃左侧的numéraire是一个大篮子，它不会影响投资者的福利。在“现金“的基础上，“货币“的概念也被提出，即一个人可以拥有不同的“货币”——这便是概率测度的变化。 如果没有Taleb反脆弱的思考，就不会有numéraire概念的根基，就不会有概率测度，甚至量化金融学也不复存在了——人们需要一个单位，所有其他东西的度量都会用到这个单位。通过这样的方式，量化金融才能为衍生品定价的同时，进行风险管理。 至此，我们恍然大悟：不管是根植于布朗运动的几何波动视角，还是反脆弱视角下还算堪用的杠铃策略，多个证据都说明了一件事：金融学更像是一门手艺，而不是精确的科学。如果量化金融真的存在更深刻的理论根基的话，仍需未来人来夯实。 玖 纽约棉花交易所保留了全美超过一个世纪的每日价格记录，但它长久以来都是古典计量经济学家的噩梦所在，无论他们怎么摆弄这些数字，都无法符合Bachelier的布朗运动模型——价格的涨跌幅度太大，超过了期望的标准差。 1987年10月10日，道琼斯指数剧跌29.2%，正态分布无法解释这一事件。所有基于Bachelier假设的模型都败下阵来。设计恰当的投资组合爆炸了，基于期权的投资组合保险失败了。此后一系列的金融波动更进一步挑战了这个古典体系。 再看过去近100年的道琼斯指数，也会发现，其与布朗运动更是截然不同的——偏离程度甚至达到了22个标准差！讽刺的是，诺贝尓奖加持的“长期资本管理公司”合伙人，获奖第二年就倒闭了。大玩指数基金的巴菲特也没有跑赢指数。再丰满的理论，也挡不住现实啪啪打脸的速度。 虽然BSM模型基于的布朗运动具备很好的性质：任意有限方差的随机行走都可以通过技术手段收敛于布朗运动，甚至于中心极限定理也是这一布朗运动投影到一维的表现。但在解释现实金融资产波动方面，它却显得无能为力。 认知从根上就错了。 转机来自Mandelbrot，1963年，那篇著名的论文《特定投机性价格的变动》发表，棉花价格第一次与概率模型握手言和。这篇论文是一个巨大的突破，它第一次在剧烈变化的金融市场中应用了莱维稳定非高斯分布（Levy Stable Distribution），并强调了幂律分布的重要性。Levy稳定分布是一种符合广义中心极限定理的随机过程。 金融市场里急剧的价格改变，被诗意的Mandelbrot称作“诺亚效应”，因为价格的急剧改变类似于《圣经》中诺亚的故事所描述的洪水。诺亚存活下来为将来临的洪水做准备，神的忠告使他建造一艘足够坚固的船。洪水来了又走，如同市场崩盘。
剧烈的波动还有另外一种形态，也是《圣经》里谈到的：法老梦到七只肥牛在地上吃草，而七只瘦牛浮出尼罗河并吃掉了那七只肥牛。约瑟认为法老的梦是一种预言，七个荒年接在七个丰年之后，这类似于金融市场上升周期之后紧接着下降周期。 这被称为“约瑟效应”。暗示了市场波动在某种程度上互相依存（市场具有长期记忆），这种长期依赖性偏离了布朗运动的“随机漫步”预测——因为在一个方向上的漂移将持续一段时间。 分形几何之父Mandelbrot主张，交易时间的混合行为模式可以由多重分形来构建。分形是一个模式，模式的部分反映出整体，只是按比例缩小而已。模式的某些部分快速萎缩，其它部分则缓慢萎缩，多重分形拥有包含尾部的分布，这个分布遵循幂律分布。更重要的是，它同时蕴含了诺亚效应（急剧地不连续变化）和约瑟效应（长期趋势）。
不过，幂律分布并没有在第一时间被金融学关注，还属于小众的理论。这怪不得别人，也许更多是幂律分布自身的问题——很少有直观的统计量能够对肥尾行为给出精确的描述，乃至我们不得不像非参数观点一样，诉诸于大样本理论下的渐进行为，才能挤牙膏一般了解并分析肥尾隐藏的信息。 这种反直觉性确实阻碍了幂律分布的发展，尤其是无限二阶矩（方差）特点，使得幂律分布并不如高斯分布一般方便直观，可以通过充分统计量（均值，方差，尾部特征等）来进行计算。这个特点使得解决风险评估（风险通常用方差来表达）一类问题变得极其复杂。 在平衡统计力学的封闭物理世界里，方差往往和温度有关，只能是有限的。金融学高度复杂的开放现实世界里，不同于物理世界的理解，方差往往和风险有关，可以是无限的——这个强有力的类比，警示着幂律肥尾的独特性。 1995年，Nature杂志发表了由Stanley等人的名为《Scaling behavior in the dynamics of an economic index》的论文。该论文对股票市场高频数据（以分秒为计时单位）分析后提出，价格收益率的概率分布既不是高斯分布，也不是Levy分布，而是尾部截断的Levy分布。 更深刻地，这种价格收益率的概率分布呈现出动力学标度的行为——这启发了物理学理论和研究方法在金融领域的跨界应用。 Stanley指出：“金融动力学系统具有时间方向的自相似性，是一种强的记忆效应，记忆效应来自于价格波动率的长程时间自关联。” 如果精细比较股票指数的时间演变和物理学中湍流流体在高雷诺数时的速度，你就会惊奇的发现，两者在短时间内都呈现出间断的，非高斯的特点。 实际上，物理学在统计力学，相变，非线性动力学等方面的理论储备，都能联系到幂律分布，无法预期的随机性时间序列和随机过程等概念——这些成就似乎间接暗示了，幂律分布能够比布朗运动和高斯分布更能深刻地揭示出金融现象的本质。 瑕不掩瑜，幂律分布极具侵略性，其显著动力学驱动的特征，使得它第一次进入大众视野，而这次的成功，是因为站在了深刻的物理学的肩膀上。 虽然物理学在20世纪经历了一连串惊人的理论革命，建立了具有不确定关系的量子力学，海森堡不确定性原理对经典力学体系确立的决定论科学哲学观产生了巨大的冲击——但这种不确定性却很难通过类比的方式迁移到经济学领域为我所用。 在金融学和金融理论当中，不确定性和不完全信息使得精确预测成为不可能。而近代混沌理论已经证明了，无法预测性可以出现在具有确定性的非线性系统当中。这有点像蝴蝶效应：它产生混沌，而且无法进行长期的预测。 人们猜想，如果信息不足，难以提取充分统计量，是否可以在非线性系统当中发现和重建某些吸引子，吸引子就像黑洞一样，成为一个抽象化的不变量呢？ 金融市场是动荡的，需要进一步探究内在复杂的随机动力学。这里的关键，就是应用合适的随机数学工具，分析并认识潜在动力学系统里的幂律吸引子。 从这一观点出发，未来的金融理论是否可以从基于几何形式化表象的市场波动转变为带有摩擦的真实动力学模型的情形呢？ 古典经济理论里的BSM期权定价公式，是一个修正的物理学热方程的一个数学解。然而，它只是被形式化地使用，其包含的特殊类型的微分和随机方程，却没有任何物理意义，只是一种粗浅的类比。 在湍流理论中，我们无法像应用牛顿定律那样，预测物体长期运动的规律，但我们却了解了底层实打实的物理学原理，即湍流的纳维-斯托克斯方程。虽然这个方程由于计算的复杂性，不一定可解。在经济学领域，我们同样通过类比采用了外部形式，却忽略了公式里的物理学意义。分形理论同样如此。 经济学当中不存在不变性原理，我们只是搭建了物质的行为模型。物理学里的不变性与初始条件（时间，位置，方向）无关，而在经济学里，不同的国家，不同的市场，不同的团体，行为都存在显著的差异。 从数学上来看，即便是概率空间里的吸引子概念（比如经济震荡里的莱维分布），以及幂律等模型在经济学里的使用更多出于纯数学的构建，并没有深刻的物理学意义——它们的应用需要设置特殊的初始条件和边界条件，也需要经验解释和概念的框架赋予其可解释性。这些模型的有效性，则严格地依赖于其所使用的经验和条件。 市场具有欺骗性，人们下意识地认为，任何事物都存在其内秉的规律，但其实我们乐于见到的关联性往往并不存在。我们的大脑被训练来认知事物的关联，因为这个技巧有益于生存—基于有限的信息进行决策，从而在生死攸关的时刻不至于犹豫不决，我们于是带有这样一种倾向：从现象中解读出不存在的模式。 或许，唯只有通过理解系统的复杂性，对人类的迷惑行为充满敬畏，才能正确分辨出我们内心里的各种臆想，避免误入歧途吧。 |
|
|
