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集合论导引（强烈推荐）  格奥尔格·费迪南德·路德维希·菲利普·康托尔 Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor 1845年3月3日－1918年1月6日 康托尔出生于俄国的德国数学家（波罗的海德国人）。他创立了现代集合论，是实数系以至整个微积分理论体系的基础，还提出了势和良序概念的定义；康托尔确定了在两个集合中的成员，其间一对一关系的重要性，定义了无限且有序的集合，并证明了实数比自然数更多。康托尔对这个定理所使用的证明方法，事实上暗示了“无限的无穷” 的存在。他定义了基数和序数及其算术。康托尔很清楚地自知自觉他的成果，富有极浓厚的哲学兴趣。康托尔提出的超越数，最初被当时数学界同侪认为如此反直觉-甚至令人震惊-因而拒绝接受他的理论，且以利奥波德·克罗内克为首的众多数学家长期攻击。克罗内克反对代数数为可数的，而超越数为不可数的证明。 康托尔本身是一位虔诚的路德派，相信这个理论是经由上帝传达给他；但一些基督教神学家认为康托尔的理论，是在挑战神学中只有上帝才具有绝对而唯一的无限性质。康托尔自 1869年任职于德国哈勒大学直到 1918年在哈勒大学附属精神病院逝世；他的抑郁症一直再发的病因，被归咎于当代学界的敌对态度，尽管有人将这些事件解释为，是他本人所患有的情感双极障碍的病征。他所受到的严厉攻击，与后来的赞誉相匹配：在 1904年伦敦皇家学会授予他西尔维斯特奖章，这是皇家学会可授予数学研究者的最高荣誉。 在康托死后数十年，维特根斯坦撰文哀悼昔时学术界指责“集合论是假借通过数学而有害处的方言”的氛围，他认为那是“可笑”和“错误”的“完全无稽之谈”。当代数学家绝大多数接受康托尔的理论，并认为这是数学史上一次重要的变革。大卫·希尔伯特说：“没有人能够把我们从康托尔建立的乐园中赶出去。”（原文另译：我们屏息敬畏地自知在康托所铺展的天堂里，不会遭逢被驱逐出境的。） 以下内容选自：冯琦《集合论导引》序言
 在莱布尼茨看来，恰当地应用符号表达式是一种艺术，而这样一种艺术是代数的特征和成功的秘诀之一；布尔则认为代数的威力就在于两点： 一是用符号表示数量； 二是那些代数运算只需要遵守几个很少的基本规则。 莱布尼茨企图寻求表达概念的字符表；布尔则简单地用字母符号来表达任何一个概念，或者概念之外延。莱布尼茨坚持形式简洁而准确、表达的结果可以坐下来“算一算”；布尔则将“算一算”的过程通过几条很少的“代数”运算规则来实现。这就是当今我们所熟悉的布尔代数，这也正是以我们现在几乎人手一部的手机为代表的各种计算机硬件逻辑线路设计以及各种计算机软件程序设计的基础。 布尔将他少年时代的灵感和多年来的思考集中在1854年出版的《思维规律》中，这本书的雏形曾于1847年发表。在这本书里，布尔把亚里士多德的古典形式逻辑转换成了布尔代数，或者布尔逻辑。布尔显然相信符号代数在人类思维发展进程中所具有的威力，但布尔未必预测到他对逻辑的代数解释在极大改变人类生活的现代计算机中所具有的不可替代的作用。这必须归功于对莱布尼茨的“算一算”提出数学解释的图灵。 在布尔代数基础上，或者在形式逻辑基础上，真正解决“算一算”理论模型问题的人是英国的图灵(AlanTuring)。因为，在莱布尼茨那里，什么是“计算”依旧是观念的计算，就如同小学生的加减乘除四则算术观念那样；在布尔那里，运算虽然是逻辑代数的，但这些依旧只是具体的从输入到输出的计算。 真正对“计算”这个观念给出圆满解释的是图灵。 图灵1936年发表在《伦敦数学会会刊》上的文章定义了图灵机这一数学模型以及以此为基础的图灵机计算的数学概念。经过图灵的工作，观念的计算变成了概念的计算：所有可计算的都是那些图灵机可计算的。图灵所设计的通用图灵机则是可以以手机为代表的各种计算机内置操作系统和编译系统的最高典范。 如果说布尔的逻辑代数中运算还可以建立在潜无穷的观念之上，那么图灵的通用图灵机则不得不建立在实无穷的概念之上，这是图灵建立通用图灵机和定义图灵机计算概念的内核基础。毫无疑问，图灵是在接受了数学意义上的实在的无穷之后才建立起自己对于计算观念进行系统的数学解释的计算理论的。那么在图灵之前，关于无穷到底发生过什么呢? 在古希腊先贤那里，观念中的无穷只是被简单地分为实无穷和潜无穷两类，至于什么为实无穷，什么是潜无穷，并没有给予过多的关注或者思考。我们的祖先也曾留下“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的断言，但却与幂级数 无缘。  1883年，康托尔发表了《一般集合论基础》。几年之后，康托尔将这期间的几篇文章整理成一本专著《超限数理论基础》，这就标志着一个丰富多彩的无穷集合宇宙被展现在世人面前。整个数学，也因此即将被放置在一个崭新的基础之上。现代数学的大门被打开了。 布尔代数，只能作为集合代数的一种特殊情形，存在于人类认识的长河之中。实际上，从康托尔开始的集合论为人类提供了不仅仅具有丰富内涵的关于无穷的数学理论，也为人类提供了最精炼的概念语言文字——最初始的不加定义的概念只有一个——集合；最初始的不加定义的二元关系只有一个——属于。 有关集合的任何复杂的认识都可以系统地在完全确定的基本理论之下归结于初始本原集合与集合之间的属于关系。 在康托尔的分析中，将实数整体解释为实数集合；在实数集合的基础上，以实数子集合序型，尤其是秩序的序型，作为实数子集合的第一抽象，以实数子集合的势作为第二抽象。这样抽象的结果便是序数和基数这两个基本概念。 在康托尔的观念中，无穷集合具有秩序是天经地义的事情，就像任何有限集合都自然而然地拥有秩序一样。在康托尔的概念中，数的概念从有限飞跃到超限并且成功地证明了实数的整体比起自然数的整体具有本质上的数量的差别：自然数的整体可数，而实数的整体不可数。 在康托尔的理解中，与自然数集合相对应的基数是第一个无穷基数，而与整个实数集合相对应的基数则是第一个不可数的基数；任何一个实数的集合的基数要么是不超过自然数的基数，要么是第一个不可数基数。这就是著名的连续统假设。 正是在求解连续统假设的过程中，康托尔开启了对可定义实数子集合的探索比如，他证明了任何完备实数子集都与整个实数集合等势；任何实数的闭子集都不会是连续统假设的反例。 正因为他对实数集合具有某种秩序的坚信，康托尔致力于定义实数集合的一种秩序来解决他的连续统问题。 就这样，当数的概念从有限领域上升到超限领域时，康托尔不仅建立了序数和基数的超限算术理论，还为后来者展示了两个具有强大驱动力或者牵引力的基本问题： 连续统问题以及可秩序化问题。 连续统问题问是否存在势居自然数集合之势与整个实数集合之势之间的实数的子集合? 可秩序化问题问实数集合上是否存在一种秩序，尤其是可定义(可描述)的秩序? 对这两个问题的求解将是贯穿本书的一条中心线。 这本《导引》的压台定理将为实数集合可秩序化问题提供终结性答案： 尽管选择公理保证实数轴可以被秩序化，但不会有可定义的秩序； 对连续统问题提供最佳答案： 连续统假设不会有可定义的反例，但这不是最终答案。 写这本《导引》的一个基本目的就是期望能有后来者继续对这个问题的终极答案施展自己超群出众的才能。 几乎就在康托尔开始建立集合论的同时，1879年，德国哲学家弗雷格(Gottlob Frege)出版了逻辑史上自亚里士多德以来划时代的著作《概念-文字：一种算术式的纯粹思维之形式语言》，这本书为朝着系统地实现莱布尼茨抱负的方向迈出了奠基性的一步；成功地克服了亚里士多德古典形式逻辑所面临的困难，这包括满足数学演绎推理的需要和解决多重广延性表述难题；打开了数理逻辑时代的大门；同时也提出了一个崭新的问题：数学基础问题。 自1879年弗雷格出版《概念-文字：一种算术式的纯粹思维之形式语言》和1883年康托尔出版《一般集合论基础》开始，人们对于数学基础问题探讨的热情高涨起来。 1889年意大利数学家佩亚诺(《Giusepe peano)《)出了《算术原理一一用一种新方法展现》，开数学基础研究之先河，在这本书中，佩亚诺明确地给出了关于自然数理论的公理，尤其是关于数学归纳法的公理，并且严格地将逻辑符号和算术符号区分开来。这就标志着关于自然数一阶算术特性的形式表述和内涵的最后分离：在自然数性质的讨论过程中依赖于直觉的证明从此被完全抛弃。 弗雷格运用自己的形式语言逻辑系统来探讨二阶算术基础，1893年他出版了《算术基本律》第一卷。 1898年冬季学期在哥廷根大学执教的希尔伯特(David Hilbert)给学生开了一门“欧几里得几何元素”的课程。1899年，希尔伯特出版了这门课的讲义：《几何基础》。希尔伯特在欧几里得几何理论的基础上提出了新的几何公理系统。 希尔伯特强调这个几何公理体系之中，“点”“线”“面”完全可以被替换成“桌子”“椅子”“杯子”，只要这些对象遵守那些明列出来的公理。在这里，希尔伯特提炼出了探讨数学基础的“公理化方法”：形式和内涵的分离、对立与统一。希尔伯特证明了这个新的几何公理系统相对于(二阶)算术系统的无矛盾性：只要(二阶)算术系统是无矛盾的，那么几何便不会有矛盾。  尽管康托尔关于实数集合是否可秩序化的问题已经由策梅洛提出的选择公理所解决(详情见第一卷第2章)，但是连续统问题依旧还是一个悬而未决的基本问题。哥德尔于1938年以构造内模型的方式证明了连续统假设以及选择公理相对于基本集合公理系统ZF(详情见第一卷第1章)的相对相容性：如果基本集合公理系统ZF没有矛盾，那么这个基本集合论公理系统加上连续统假设以及选择公理也不会有矛盾，并且在哥德尔的内模型L中，实数集合上有一个具有最佳定义的秩序。因此，在哥德尔的L中，康托尔的两个问题一一实数集合秩序化问题与连续统问题一一都有最好的肯定答案。哥德尔的内模型L将在本《导引》第二卷第章中专门讨论。 大约25年后，科恩(Paul Cohen)以力迫构思泛型扩张的方式(详情见本《导引》第二卷第2章)证明了连续统假设之否定与集合论公理系统ZFC的相对相容性以及“实数集合上不存在任何秩序”这一否定选择公理的命题与集合论基本公理体系ZF的相对相容性。 于是，康托尔的两个问题实数集合秩序化问题与连续统问题都与集合论基本公理体系相对独立：ZF既不能给出肯定的答案，也不能给出否定的答案。 康托尔在试图求解连续统问题时采取了一条对实数集合可定义子集展开系统分析的路线。这一路线在20世纪30年代被苏联和波兰数学家们继续采用，并且形成了描述集合论分支。描述集合论专门研究实数集合的可定义性(这种可定义性问题也是本《导引》贯穿全书的一个牵引问题)。 康托尔曾试图以对可定义的不可数的实数子集寻找一个完备子集的方式来证明可定义子集不会是连续统假设的反例“要么可数，要么包含一个完备子集”，这样一种二分原理作为一种实数子集的正则性被称为“完备子集特性”。 实数子集合的另外一个正则性是勒贝格可测性。勒贝格(Henri Lebesgue)1902年在他的学位论文中引进了勒贝格测度，从而实数子集的可测性便被视为一种正则性。 实数子集合的第三种古典正则性则是贝尔(Rene Baire)早在1899年所引进的贝尔特性：一个实数子集合具有贝尔特性指的是它与某个开子集的对称差是一个稀疏集合(详情见第一卷第3章)。出于对实数子集的可定义性的探索，博雷尔(Emile。Borel)以代数的方式引进了实数轴上包含全体开子集、对于集合取补运算封闭、对于可数并以及可数交封闭的最小代数其中的元素便被称为博雷尔集合。 博雷尔集合就具有完备子集特性，都是勒贝格可测的；也都具有贝尔特性。勒贝格于1905年发表的文章对博雷尔集合进行了严格分层，用康托尔的对角线方法证明了这种分层是真实分层，并且存在不是博雷尔集合的但是可定义的实数子集合。令描述集合论真正得到激励的是苏斯林(MikhailSuslin)发现了勒贝格证明中存在一个看走眼的地方。透过对勒贝格看走眼的地方的详细分析，苏斯林引进了解析集的概念，并且证明了一个实数集合是一个博雷尔集合的充分必要条件是：不仅它是一个解析集合并且它的补集也是一个解析集合(详细内容见第一卷第3章)。在苏斯林发现的基础上，卢津(Nikolai Luzin)和谢尔品斯基(Waclaw Sierpiniski)建立起实数子集的投影集层次，并且以树来表示实数子集，这也为有秩关系进入数学实践开启了先河。 经过他们的工作，我们知道每一个解析集都具有完备子集特性(Suslin)，从而不会是连续统假设的反例；都是勒贝格可测的(Luzin)都具有贝尔特性(Luzin-Sierpinski)后面我们会看到，苏联和波兰描述集合论古典学派在对实数子集正则性分析中，在ZFC基础上，已经达到思维成就的顶峰，这从哥德尔可构造论域中关于实数集合上的可定义秩序就可以看出。当然，这些都是后话。之所以如此，就在于ZF或者ZFC所能提供的资源能够被利用的全都被利用了。因此，要想将对实数正则性的分析推向更高层次的投影集合上去，就必须增加集合论论域的资源。 依旧对增加集合论论域的资源留有空间的是无穷公理。在基本集合论公理系统中，无穷公理本质上只是断言自然数集合存在。因此在此基础上不断引进更强的无穷公理便成为一种有效的追求。 基于与彻底有限集合的论域(见第一卷第1章)的相似性，谢尔品斯基和塔尔斯基以及策梅洛引进了(强)不可达基数存在的公理。借助于第一个不可数基数在哥德尔论域L中的不可达特性，数学家们终于意识到解析集的补集是否具备完备集特性是一个地地道道的大基数是否存在的问题(所有这些都会在第三卷第3章中展开讨论，这里就简要地介绍一下)。 基于实数集合上的勒贝格测度以及不可测实数集合的存在性这样的事实，以及对一般测度问题的完美解答的追求，乌拉姆(Stainslaw Ulam)引进了可测基数存在的公理。事实上，可测基数的概念仍然可以看成自然数集合之基数概念的相似推广。每一个可测基数都是不可达基数，且在一个可测基数之下存在许许多多不可达基数，可测基数的存在的确为数学家提供了丰富的新资源(详情见第三卷第3章)。恰恰由于它所提供的丰富资源，可测基数的存在表明集合论论域在本质上完全不同于哥德尔可构造论域L。第一个指明这种实质差别的是斯卡特(Dana Scott)。 基于第一个无穷基数的组合特性，艾尔铎希(PaulErdos)和塔尔斯基引进了弱紧基数(见第一卷第2章)。 基于第一个无穷基数的紧致性，凯斯乐(H.Jerome Keisler)和塔尔斯基引进了强紧基数(见第三卷第1章)。不仅如此，在这篇文章中，两位作者利用可测基数上的可数完全超滤子，构造了集合论论域的超幂，以证明最小的可测基数严格大于最小的不可达基数。斯卡特也正是应用这种超积方法(由可测基数上的正规超滤子所确定的超幂)证明了如果存在一个可测基数，那么集合论论域一定不同于哥德尔可构造论域L。 因为存在着从集合论论域到由可测基数上的正规超滤子所确定的集合论论域的超幂的典型同质嵌入映射，所以人们很快将关注大基数的眼光转移到了具有不同特点的同质嵌入映射之上。正是基于对嵌入映射的目标模型所持有的封闭特点的考量，索洛维(Robert M.Solovay)等引进了超紧基数，这一切都显得十分自然。  第二大目标则是建立集合论论域的具有典范作用的内模型，这是哥德尔为解决连续统假设的合理性而开创的一个研究领域所谓内模型，就是在集合论的论域之内寻求既包括所关注的对象又对于各种集合运算封闭的最小的传递类，从而得到所关注对象的某种特性的合理性证明。 第三大目标是建立集合论论域的具有典范意义的外模型，这是科恩为解决连续统假设的独立性而开创的一个研究领域。所谓外模型，就是在集合论论域之内定义一个具有特别组合特点的偏序集合，并以此为基础，系统地将集合论的论域向外扩张，得到一个扩张模型，从而得到所关注对象的某种特性的合理性证明由于集合论本身的一种基本特点：不依赖任何外部因素，完全独立地发展自身体系这种向外扩张必须以内部完全可控的方式来实现，这便是科恩所创立的力迫论这三大目标的基本实现也就分别构成了第二卷三章的内容。 第三卷是对集合论保证无穷集合存在的无穷公理的层次分析。这种分析既包含组合分析，也包含逻辑分析；既包含内模型分析，也包含外模型分析；归根结底是揭示各种高阶无穷公理对于整个集合论论域的影响，尤其是对实数集合的影响因此第三卷的第1章侧重于大基数的组合分析、逻辑分析以及内模型构造；第2章侧重于在大基数上构造各种各样的具有典范意义的力迫扩张，从而解决包括奇异基数假设在内的一些长期遗留问题的独立性问题；第3章侧重于分析高阶无穷对实数子集合正则性的影响。如果说不同的无穷公理从不同层次上在集合论论域中提供了不同丰富程度的资源，那么剩下的便是在集合论论域中探索的人们如何将自己的高端智慧发挥到极致来发现、挖掘和利用这些丰富资源的事情。就如同一部庞大的歌剧必定有全剧高潮那样，这本《导引》的最后一章也就是截止于1990年左右的集合论这一人类智慧结晶的最优美的展现。 这本《导引》涵盖从1874年起将近145年的集合论发展主线上的具有引领作用的内容。本书通篇将以问题为牵引，以概念为基础，以例子为蓝本，来展开分析，力求清楚地展现核心思想和方法及其作用的精髓，努力实现逐步铺垫、循序渐进、化解难度。在作者心中，集合论既是纯粹的数学也是精美的哲学，就如同五线谱与音乐，它以完全抽象展现具体，又以十分具体实现纯粹抽象。本书力图为读者展现一幅高端智慧探索无穷的完美图画。为此，书将力图清晰地勾勒集合论的内在思想结构，包括自然性和典型演绎发展路径。作者的悟性有限，集合论宇宙风光无限，作者也因此期待具有更高悟性的读者能够将作者在本书中展现的粗糙和短缺完善，使其更加精致和完美，这便是“导引”一词的本来含义。课题的选择往往是困难的许多更是难以取舍，但是受篇幅限制，就不得不忍痛割爱。最大的缺憾自然是没有能够将内模型的精细分析理论、可测基数之下的内核模型、武丁基数之下的内核模型以及武丁的Pmax-模型等内容放到这本《导引》之中。这是无可奈何的事情，因为这些优美的内容足以各自另成一本厚厚的专门著作。同样由于篇幅所限，我们常常不去关注一些定理的最佳形式，除非它们的最佳形式无论是表述还是证明都不会增加额外的复杂性。正如我们不得不舍弃几大专题那样，我们也忽略了许多优美的大基数概念和定理，因为《导引》毕竟不会是“百科全书”对于希望了解更为综合性集合论内容的读者，我们推荐耶赫(Thomas Jech)的《集合论》(2003年版本)，这也是这本《导引》通篇所用的主要参考书。 作者曾以这本书的第一卷中的大部分内容为教材分别在新加坡国立大学、清华大学和中国科学院大学为高年级本科生讲授集合论课程；也曾以第二卷和第三卷的前两章中的主要内容为教材在新加坡国立大学和中国科学院数学与系统科学研究院给集合论专业的研究生讲授集合论课程。因此，作者真诚希望这本《导引》能够启发和引导未来的能够被集合论所吸引的读者进入这个浩瀚的领域。 |
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