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【典型例题4】难度★★★ 如图,有一条直的等宽纸带,沿AB折叠后在点C处两边夹角为30º, 求∠α的度数.【解题思路】更多内容见公众号：初中数学解题思路.不限定点是否在直线上.折叠类题目最关键的是找到折叠前和折叠后相等的相关角.如本题中的∠ABD=∠ABC=∠α，∠EAB=∠FAB=α+30º.详见答案解析.【答案解析】方法1如果将纸带展开，∠a与∠ABC（即∠ABD）是两平行直线被直线AB所截得的内错角，所以△ABC中.方法2因为AF∥BC，所以∠FAC=30（两直线平行，同位角相等）.由题意，∠EAB=∠FAB=a+30°，而∠EAB+∠CAB=a+30°+a=180°，可得a=75°. 已知AB//CD,点M.N分别在AB、CD上.(1)AB,CD间有一点E,点E在直线MN左侧,如图(a)(2)当AB、CD间的点E在直线MN右侧时,如图(b)∠AME, ∠CNE, ∠MEN 之间有什么关系? (3)如图(c),当点E在AB、CD外侧时,探索∠AME 、 ∠CNE、 ∠MEN之间有何关系?【解题思路】根据平行公理，做辅助线EF∥AB是解决本题的关键.本题的解法较多,如下图（a）、（b）中,可以延长ME（NE）和CD（AB）相交,过点M（N）作EN（EM）的平行线;图（c）中,可以作直线MN等.都能应用平行线的性质（也可以应用三角形的内角和定理）得到证明,且能够相互转化.【答案解析】（1）过点E作EF∥AB（经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行），所以∠AME=∠MEF.因为EF∥AB，AB∥CD，所以EF∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行），∠CNE=∠NEF（两直线平行，内错角相等）（2）过点E作EF∥AB（经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行），所以∠AME+MEF=180°因为EF∥AB，AB∥CD.所以EF∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）.所以∠NEF+∠CNE=180°（两直线平行，同旁内角互补），∠AME+∠MEF+∠NEF+∠CNE=360°，所以∠AME+∠CNE=360°-∠MEN（3）过点E作EF∥AB（经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行），所以∠AME=∠MEF（两直线平行，内错角相等）.因为EF∥AB，AB∥CD，所以EF∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）.所以∠CNE=∠NEF（两直线平行，内错角相等）.∠AME=∠CNE+∠MEN. 注：关注本号并回复“初中数学解题思路”即可免费领取“初中数学知识点汇总及中考数学复习辅导讲义Word+PDF版”一套.
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