【原】《測圓海鏡》之極差等式﹝諸差3﹞

《測圓海鏡》之極差等式﹝諸差3﹞

上傳書齋名：瀟湘館112  Xiāo Xiāng Guǎn 112

何世強 Ho Sai Keung

提要：《測圓海鏡》之“圓城圖式”含十四勾股形，連同原有之大勾股形共十五勾股形。本文著重皇極勾股較﹝即“極差”﹞之相關等式。

關鍵詞：極差、旁差、角差、蓌和、蓌差

《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰，書成於 1248 年，時為南宋淳祐八年。該書卷一“圓城圖式”主要討論與十五勾股形相關之等式，本文介紹其部分等式並作出証明。

本文所引用之勾股式源自“圓城圖式”之十五勾股形，a₁、b₁、c₁ 乃最大勾股形天地乾之勾、股及弦長。故 a₁、b₁、c₁ 又稱為大勾﹝地乾﹞、大股﹝天乾﹞及大弦﹝天地﹞。

《測圓海鏡》涉及一系列之勾股恆等式，所有恆等式皆與十五勾股形有關。十五勾股形中最大者為天地乾，其三邊勾股弦分別以 a₁、b₁、c₁ 表之，其餘十四勾股形三邊勾股弦則分別以 a_i、b_i、c_i 表之，其中 1 < i ≦ 15。但 a_i、b_i、c_i 均可以 a₁、b₁、c₁ 表之，此乃《測圓海鏡》之精髓。注意勾股定理成立，即  a_i² + b_i² = c_i²。

有關以 a₁、b₁、c₁ 表 a_i、b_i、c_i 之式可參閱筆者另文〈《測圓海鏡》“圓城圖式”之十二勾股弦算法〉。

以下左為“圓城圖式”右為“圓城圖式十五句股形圖”。

注意圓徑為 a₁ + b₁ – c₁，見上圖之東南西北圓。

本文主要談及十五勾股形有關三邊相差之等式，其中部分等式曾在“五和五較”等式中出現，可參閱筆者相關之文章。

注意等式 (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) = (a₁ + b₁ – c₁)²。

本文取自《測圓海鏡‧卷一‧諸差》。筆者有以下文涉及〈諸差〉：

《測圓海鏡》之大差差、小差差等式﹝諸差1﹞

《測圓海鏡》之髙差、旁差、極雙差等式﹝諸差2﹞

本文乃以上二文之延續。

以下為有關“極差”及相關之等式：

極差內加旁差為大差差。內減旁差為小差差也。內加虛差即角差。內減虛差即次差也。倍極差為大差差小差差共，則倍旁差為之較。倍極弦為大差弦小差弦共，倍極差為之較。以極差為明差平差共，則以蓌差為之較。以極差為髙差差共，則以蓌和為之較。副置蓌和上加蓌差而半之即旁差也。減蓌差而半之則虛差也。極差內減二之平差得蓌差。

以下為各條目之証明：

極差內加旁差為大差差。

“極差”指皇極勾股較﹝在勾股形日川心 12，可參閱上兩圖﹞。

已知皇極勾股較 = b₁₂ – a₁₂= (a₁ + b₁ – c₁) – (a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)[–]

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) 。

“旁差”又名“傍差”，據《測圓海鏡》所云，“明二差較”是為傍差，此亦為“旁差”定義。

明差 = b₁₄ – a₁₄ = (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) – (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

= (c₁ – a₁)( a₁ + b₁ – c₁)[–]。

差 = b₁₅ – a₁₅ = (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) – (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=(c₁ – b₁)( a₁ + b₁ – c₁) [–]。

旁差 = 二差較 = 明差 – 差

= (c₁ – a₁)(a₁ + b₁ – c₁)[–] – (c₁ – b₁)( a₁ + b₁ – c₁) [–]

= ( a₁ +b₁ – c₁)[–][(c₁ – a₁) – (c₁ – b₁)]

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)

=(a₁ + b₁ – c₁) 。

以上之式是為“傍差” 。

極差內加旁差，即：

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) + (a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)[c₁ + (b₁ – a₁)]

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)[b₁ – a₁+ c₁]

= (b₁ – a₁)[b₁ – (c₁ – a₁)][b₁ + (c₁– a₁)]

= (b₁ – a₁)[b₁² – (c₁ – a₁)²]

= (b₁ – a₁)[b₁² – c₁² – a₁² + 2c₁a₁]

= (b₁ – a₁)[b₁² – a₁² –b₁² – a₁² + 2c₁a₁]

= (b₁ – a₁)(2c₁a₁ – 2a₁²)

= (b₁ – a₁)(c₁ – a₁) #。

“大差差”指大差上勾股較，勾股較即勾股差﹝在勾股形天月坤 10﹞。

大差上勾股差 = b₁₀ – a₁₀ = (c₁ – a₁) –(c₁ – a₁)

= (c₁ – a₁)(1 – )

= (c₁ – a₁)(b₁ – a₁) #。

比較兩式可知相同，所以極差內加旁差 = 大差差。

內減旁差為小差差也。

指極差內減旁差，即極差 –旁差，即：

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) – (a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)[c₁ – (b₁ – a₁)]

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)[– b₁ + a₁ + c₁]

= (b₁ – a₁)[a₁ – (c₁ – b₁)][a₁ + (c₁– b₁)]

= (b₁ – a₁)[a₁ – (c₁ – b₁)][a₁ + (c₁– b₁)]

= (b₁ – a₁)[a₁² – (c₁ – b₁)²]

= (b₁ – a₁)[a₁² – c₁² – b₁² + 2c₁b₁]

= (b₁ – a₁)[a₁² – a₁² –b₁² – b₁² + 2c₁b₁]

= (b₁ – a₁)[ – 2b₁² + 2c₁b₁]

= (b₁ – a₁)(c₁ – b₁) #。

“小差差”指小差﹝在勾股形山地艮 11﹞上勾股較。

小差上勾股較 = – (c₁ – b₁) + (c₁ – b₁)

= (c₁ – b₁)(– 1)

= (c₁ – b₁)(b₁ – a₁) #。

比較答案兩式可知相等，所以極差內減旁差 = 小差差。

內加虛差即角差。

“虛差”指太虛勾股較﹝在勾股形月山泛 13﹞。

太虛勾股較 = b₁₃ – a₁₃ = (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) –(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)]

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)[–]

=(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ – a₁)。

極差內加虛差，即：

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) +(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ – a₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) + (a₁ + b₁ – c₁)²(b₁ – a₁)

=(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)[c₁ + a₁ + b₁ – c₁]

=(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)[a₁ + b₁]

= (a₁ + b₁ – c₁) #。

據《測圓海鏡》所云，髙股平勾差名為“角差”。

髙股：b₆ = = (a₁ + b₁ – c₁)， 平勾：a₈ = = (a₁ + b₁ – c₁)。

髙股平勾差 = b₆ – a₈ = (a₁ + b₁ – c₁) –(a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)[–]

= (a₁ + b₁ – c₁) #。

以上是為“角差”或稱為“逺差”。

比較答案兩式，可知極差內加虛差 = 角差。

內減虛差即次差也。

本條指極差內減虛差﹝極差與虛差見前條﹞，即：

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) – (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ – a₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) – (a₁ + b₁ – c₁)²(b₁ – a₁)

=(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)[c₁ – a₁ – b₁ + c₁]

=(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)[2c₁ – a₁ – b₁] #。

據《測圓海鏡》所云，明二差共名次差，又名近差，又名戾﹝音列﹞和。

明差指明勾與明股之差。

明差 = b₁₄ – a₁₄ = (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) – (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

= (c₁ – a₁)( a₁ + b₁ – c₁)[–]。

差指勾與股之差。

差 = b₁₅ – a₁₅ = (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) – (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=(c₁ – b₁)( a₁ + b₁ – c₁)[–]。

二差共 = 明差 + 差

= (c₁ – a₁)( a₁ + b₁ – c₁)[–] + (c₁ – b₁)( a₁ + b₁ – c₁) [–]

= ( a₁ +b₁ – c₁)[–](c₁ – a₁ + c₁ – b₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁) #。

上式是為次差，故明二差共得次差。

倍極差為大差差小差差共。

“極差”指皇極勾股較。

皇極勾股較= b₁₂ – a₁₂ = (a₁ + b₁ – c₁) – (a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)。

倍極差= 2 ×(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) =(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) #。

“大差差”指大差上勾股較 = (c₁ – a₁)(b₁ – a₁) 。

“小差差”指小差上勾股較 = (c₁ – b₁)(b₁ – a₁)。以上兩式見前條。

大差差小差差共，即：

(c₁ – a₁)(b₁ – a₁) + (c₁ – b₁)(b₁ – a₁)

= (b₁ – a₁)[(c₁ – b₁) +(c₁ – a₁)]

= (b₁ – a₁)[b₁(c₁ – b₁) + a₁(c₁ – a₁)]

= (b₁ – a₁)[b₁c₁ – b₁²+ a₁c₁ – a₁²]

= (b₁ – a₁)[b₁c₁ + a₁c₁ – c₁²]

= (b₁ – a₁)c₁(a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) #。

比較答案兩式可知相等，所以倍極差 =大差差 + 小差差。

則倍旁差為之較。

“傍差”= (a₁ + b₁ – c₁) ﹝見前﹞。

倍旁差 = 2 × (a₁ + b₁ – c₁) = (a₁ + b₁ – c₁) #。

大差差小差差較，即：

(c₁ – a₁)(b₁ – a₁) – (c₁ – b₁)(b₁ – a₁)

= (b₁ – a₁)[ –(c₁ – b₁) +(c₁ – a₁)]

= (b₁ – a₁)[– b₁(c₁ – b₁) + a₁(c₁ – a₁)]

= (b₁ – a₁)[– b₁c₁ + b₁²+ a₁c₁ – a₁²]

= (b₁ – a₁)[(b₁ – a₁)(b₁ + a₁) – c₁(b₁ – a₁)]

= (b₁ – a₁)²[b₁ + a₁ – c₁]

= (a₁ + b₁ – c₁) #。

比較答案兩式可知相等，所以倍旁差 =大差差小差差較。

倍極弦為大差弦小差弦共。

已知皇極弦﹝日川﹞：c₁₂ = (a₁ + b₁ – c₁) 。

倍極弦= 2 × (a₁ + b₁ – c₁) = (a₁ + b₁ – c₁) #。

已知大差弦﹝在勾股形天月坤 10﹞=c₁₀ = (c₁ – a₁) 。

小差弦﹝在勾股形山地艮 11﹞= c₁₁ = (c₁ – b₁) 。

大差弦小差弦共= c₁₀ + c₁₁ = (c₁ – a₁) + (c₁ – b₁)

= c₁[(c₁ – a₁) +(c₁ – b₁)]

= [a₁(c₁ – a₁) + b₁(c₁ – b₁)]

= [a₁c₁ – a₁²+ b₁c₁ – b₁²]

= [a₁c₁ + b₁c₁ – c₁²]

= (a₁ + b₁ – c₁) #。

比較答案兩式可知相等，所以倍極弦 = 大差弦 + 小差弦。

倍極差為之較。

“極差”指皇極勾股較。

皇極勾股較= b₁₂ – a₁₂ = (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)。

倍“極差”= 2 ×(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) = (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) #。

大差弦小差弦較 = c₁₀– c₁₁ = (c₁ – a₁) – (c₁ – b₁)

= c₁[(c₁ – a₁) –(c₁ – b₁)]

= [a₁(c₁ – a₁) – b₁(c₁ – b₁)]

= [a₁c₁ – a₁² – b₁c₁ + b₁²]

= [(b₁ + a₁)(b₁ – a₁) – c₁(b₁ – a₁)]

= (b₁ – a₁)(a₁ + b₁ – c₁) #。

比較兩式可知相同，所以倍“極差”= 大差弦小差弦較。

以極差為明差平差共。

極差即皇極勾股較 = (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) #。

“明差”指明弦勾股較﹝在勾股形日月南 14﹞。

明弦勾股較=b₁₄ – a₁₄= (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) –(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

= (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[–]

=(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(b₁ – a₁) 。

“平差”指平弦上勾股較﹝在勾股形月川青 8 或川地夕 9﹞。

平弦上勾股較 = b₈– a₈ = (a₁ + b₁ – c₁) –(a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(1 –)

=(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) 。

明差平差共，即：

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(b₁ – a₁) + (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)[(c₁ – a₁) + 1]

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)[(c₁ – a₁) +a₁]

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) #。

比較答案兩式可知相等，所以極差 = 明差 + 平差。

則以蓌差為之較。

明差平差較，即：

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(b₁ – a₁) – (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)[(c₁ – a₁) – 1]

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)[(c₁ – a₁) – a₁]

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)(c₁ – 2a₁) #。

　　據《測圓海鏡》所云，虛差不及傍差名“蓌差”，此即“蓌差”之定義。

已知虛勾 = a₁₃ =(c₁ – a₁)(c₁ – b₁)，虛股 = b₁₃ =(c₁ – a₁)(c₁ – b₁)。

虛差 = b₁₃ – a₁₃

= (c₁ – a₁)(c₁ – b₁) – (c₁ – a₁)(c₁– b₁)

= (c₁ – a₁)(c₁– b₁)[–]。

虛差不及傍差，即傍差 – 虛差，即：

 (a₁ + b₁ – c₁) – (c₁ – a₁)(c₁ – b₁)[–]

= (a₁ + b₁ – c₁) –( a₁ + b₁ – c₁)²

= (a₁ + b₁ – c₁)[c₁² – 2a₁b₁ – (b₁ – a₁)[(b₁ + a₁) – c₁]]

= (a₁ + b₁ – c₁){(b₁ – a₁)² –(b₁ – a₁)[(b₁ + a₁) – c₁]}

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁){b₁ – a₁– [(b₁ + a₁) – c₁]}

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁){b₁ – a₁– b₁ – a₁ + c₁}

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)(c₁ – 2a₁) #。

以上之式是為“蓌差”。

比較兩式可知相同，所以明差平差較 = 蓌差。

以極差為髙差、差共。

極差即皇極勾股較 = (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) #﹝見前條﹞。

“髙差”指髙弦上勾股較﹝在勾股形天日旦 6 或日山朱7﹞。

髙弦上勾股較= b₆ – a₆ = (a₁ + b₁ – c₁) – (a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(– 1)

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) 。

“差”指弦上勾股較﹝在勾股形山川東 15﹞。

弦上勾股較 = b₁₅ – a₁₅

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) – (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(–)

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ – a₁) 。

髙差差共，即：

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) + (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ – a₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)[1 + (c₁ – b₁)]

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)[b₁ + (c₁ – b₁)]

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) #。

比較兩式可知相同，所以極差 =髙差 + 差。

則以蓌和為之較。

本條之“較”指髙差差較，即：

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) – (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ – a₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)[1 – (c₁ – b₁)]

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)[b₁ – (c₁ – b₁)]

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)(b₁ – c₁ + b₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)(2b₁ – c₁) #。

據《測圓海鏡》，蓌和即傍差 + 虛差，即：

  (a₁ + b₁ – c₁) + (c₁ – a₁)(c₁ – b₁)[–]

= (a₁ + b₁ – c₁) +( a₁ +b₁ – c₁)²

= (a₁ + b₁ – c₁)[c₁² – 2a₁b₁ + (b₁ – a₁)[(b₁ + a₁) – c₁]]

= (a₁ + b₁ – c₁){(b₁ – a₁)² + (b₁ – a₁)[(b₁ + a₁) – c₁]}

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁){b₁ – a₁ + [(b₁ + a₁) – c₁]}

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁){b₁ – a₁ + b₁ + a₁ – c₁}

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)(2b₁ – c₁) #。

以上是為“蓌和”之式。

所以髙差差較 = “蓌和”。

副置蓌和上加蓌差而半之即旁差也。

此處之“副置”疑指另外其他之算法。

蓌和上加蓌差，即：

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)(2b₁ – c₁) + (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)(c₁ – 2a₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)[(2b₁ – c₁) + (c₁ – 2a₁)]

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)(2b₁ – 2a₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)²。

“半之”即除以 2 = (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)² # 。

又已知“傍差”= (a₁ + b₁ – c₁) #﹝見前條﹞。

比較兩式可知相同，所以蓌和上加蓌差而半之即旁差。

減蓌差而半之則虛差也。

蓌和上減蓌差，即：

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)(2b₁ – c₁) – (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)(c₁ – 2a₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)[(2b₁ – c₁) – (c₁ – 2a₁)]

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)(2b₁ + 2a₁ – 2c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)(a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)²(b₁ – a₁)。

“半之”即除以 2 = (a₁ + b₁ – c₁)²(b₁ – a₁)，

但 (a₁ + b₁ – c₁)²(b₁ – a₁) =(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ – a₁) #。

注意等式 (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) = (a₁ + b₁ – c₁)²。

“虛差”指太虛勾股較﹝在勾股形月山泛 13﹞。

太虛勾股較 = b₁₃ – a₁₃ = (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ – a₁) #。

比較兩式可知相同，蓌和上減蓌差而半之 = 虛差。

極差內減二之平差得蓌差。

極差﹝在勾股形日川心 12﹞即皇極勾股較 = (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)。

“平差”指平弦﹝在勾股形月川青 8 或川地夕 9﹞上勾股較。

平弦上勾股較 = b₈– a₈ = (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) 。

二之平差即2 × (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) = (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) 。

極差內減二之平差得：

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁) –(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)

=(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)[– 1]

=(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)(c₁ – 2a₁) #。

從上題可知“蓌差”= (a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)(c₁ – 2a₁) #。

比較兩式，可知極差內減二之平差得蓌差。

以下為《測圓海鏡細草》原文：