以点P(n,n2+2n+1)(n≥1)为顶点的抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A、B(点A在点B的左边). (1)当n=1时,试求b和c的值;当n>1时,求b与n,c与n之间的关系式.(2)若点P到AB的距离等于线段AB长的10倍,求此抛物线y=﹣x2+bx+c的解析式.(3)设抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴交于点D,O为原点,矩形OEFD的顶点E、F分别在x轴和该抛物线上,当矩形OEFD的面积为42时,求点P的坐标.则y=﹣(x﹣1)2+4=﹣x2+2x+3=﹣x2+bx+c,当n>1时,则y=﹣(x﹣n)2+n2+2n+1=﹣x2+2nx+2n+1=﹣x2+bx+c,(2)∵y=﹣(x﹣n)2+n2+2n+1=﹣x2+2nx+2n+1,∴当y=0时,即﹣x2+2nx+2n+1=0.解得x1=﹣1,x2=2n+1.∴A(﹣1,0)、B(2n+1,0),即AB=2n+1﹣(﹣1)=2n+2.故,此时抛物线的解析式为y=﹣x2+38x+39.即OD=2n+1.又DF∥x轴,且D、F关于直线x=n对称,解得n=3或n=-7/2(不合,舍去),即n=3.(1)当n=1时,可求出P的坐标,由此可设抛物线的解析式为y=﹣(x﹣1)2+4,化为一般式左右对照即可求出b和c的值;当n>1时思路雷同;(2)根据抛物线的解析式可求出A和B的坐标,又点P到x轴的距离为n2+2n+1,所以有n2+2n+1=10(2n+2),解方程求出n的值,进而可求出抛物线解析式;(3)根据已知条件可求出OD,DF的长,再根据矩形的面积公式可得:OD·DF=2n(2n+1)=42,求出n的值,即可求出P的坐标.本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、矩形的性质等知识点,综合性强,用到了数形结合的数学思想方法,其中第(3)中求出OD,OF的长解题是解题关键.▷▷▷▷▷点我领取学习资料◁◁◁◁◁ 您也可以登陆学习平台↓ 第一中考(www.diyizhongkao.com) ↓点击原文,获取更多学习资料
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