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《測圓海鏡》﹝諸差5﹞之髙差、黃廣及黃長等式

2021-02-26  瀟湘館112

測圓海鏡諸差5﹞之髙差黃廣黃長等式

上傳書齋名:瀟湘館112  Xiāo Xiāng Guǎn 112

何世強 Ho Sai Keung

提要:《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰,其書之“圓城圖式”含十四勾股形,連同原有之大勾股形共十五勾股形。本文著重十四勾股形之髙差黃廣弦及黃長弦之相關等式

關鍵詞:極差旁差角差蓌和蓌差

《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰。該書卷一“圓城圖式”主要討論與十五勾股形相關之等式,本文介紹其部分等式並作出証明。

本文所引用之勾股式源自“圓城圖式”之十五勾股形,a1b1c1 乃最大勾股形天地乾之勾、股及弦長。故 a1b1c1 又稱為大勾﹝地乾﹞、大股﹝天乾﹞及大弦﹝天地﹞。

《測圓海鏡》涉及一系列之勾股恆等式,所有恆等式皆與十五勾股形有關。十五勾股形中最大者為天地乾,其三邊勾股弦分別以 a1b1c1 表之,其餘十四勾股形三邊勾股弦則分別以 aibici 表之,其中 1 < i 15。但 aibici 均可以 a1b1c1 表之,此乃《測圓海鏡》之精注意勾股定理成立,即
 ai2 + bi2 = ci2

有關以 a1b1c1 aibici 之式可參閱筆者另文〈測圓海鏡》“圓城圖式”之十二勾股弦算法〉。

以下左為“圓城圖式”右為“圓城圖式十五句股形圖”

注意圓徑為 a1 + b1c1,見上圖之東南西北圓。圓徑乃十五勾股形三邊重要因子之一,其他因子為最大勾股形之勾股較、勾弦較及股弘較。

本文主要談及十五勾股形有三邊相差之等式,其中部分等式曾在“五和五較”等式中出現,可參閱筆者相關之文章。

注意等式 (c1b1)(c1a1) = (a1 + b1c1)2

本文取自《測圓海鏡‧卷一‧諸差》。筆者有以下文涉及〈諸差〉

測圓海鏡大差差小差差等式﹝諸差1

測圓海鏡髙差旁差極雙差等式﹝諸差2

測圓海鏡極差等式﹝諸差3

測圓海鏡之角及虛差等式諸差4

本文乃以上四文之延續。

以下為有關髙差”及相關之等式:

以髙差減明和即虛弦以平差加和亦同上以髙差減髙股即半徑以平差加平勾亦同上以髙差減大差差即明差以平差減小差差即差也以髙差減大差即髙弦以平差加小差即平弦也二之平差內去虛差餘即小差差去二虛差即兩個

髙股即半徑上股方差平勾即半徑上勾方差故髙勾平股共為全徑也黃廣股即全徑上股方差黃長勾即全徑上勾方差故黃廣勾黃長股共數為兩個全徑也

以下為各條目之証明:

以髙差減明和即虛弦

髙差”即髙勾髙股差 = b6a6在勾股形天日旦 6 日山朱 7

髙勾髙股差= (a1 + b1c1) – (a1 + b1c1)

= (a1 + b1c1)( – 1)

= (a1 + b1c1)(b1a1)

明和”即明弦勾股和 = b14 + a14

明弦勾股和= (c1a1)(b1 c1 + a1) +(c1a1)(b1 c1 + a1)

= (c1a1)(b1 c1 + a1)[+]

=(c1a1)(b1 c1 + a1)(a1 + b1)

以髙差減明和,即:

(a1 + b1c1)(b1a1) +(c1a1)(b1 c1 + a1)(a1 + b1)

= (a1 + b1c1)[ – (b1a1) +(c1a1)(a1 + b1)]

= (a1 + b1c1)[ – b12 + a1b1 + (c1a1 + c1b1a12a1b1)]

= (a1 + b1c1)(– b12+ a1b1 + c1a1 + c1b1a12a1b1)

= (a1 + b1c1)( – b12+ c1a1 + c1b1a12)

= (a1 + b1c1)( –c12 +c1a1 + c1b1)

= (a1 + b1c1)(a1 + b1c1)

= (a1 + b1c1)2

= (c1b1)(c1a1) #

注意等式 (c1b1)(c1a1) = (a1 + b1c1)2

已知月山太虛弦﹝簡太虛﹞:c13 =(c1b1)(c1a1) #

比較兩式,可知以髙差減明和 = 虛弦

以平差加和亦同上

平差”指平弦上勾股較。

平弦上勾股 = b8a8 = (a1 + b1c1) –(a1 + b1c1)

= (a1 + b1c1)(1 –)

=(a1 + b1c1)(b1a1)

*和”即*弦上勾股和 = b15 +a15 在勾股形山川東 15,即:

b15 + a15 = (c1b1)(a1c1 + b1) +(c1b1)(a1c1 + b1)

= (c1b1)(a1c1 + b1)(+)

= (c1b1)(a1c1 + b1)(b1 + a1)

平差加,即:

(a1 + b1c1)(b1a1) + (c1b1)(a1c1 + b1)(b1 + a1)

= (a1 + b1c1)[(b1a1) + (c1b1)(b1 + a1)]

= (a1 + b1c1)(a1b1a12 + c1b1 + c1a1b12a1b1)

= (a1 + b1c1)(– a12+ c1b1 + c1a1b12)

= (a1 + b1c1)(– c12+ c1b1 + c1a1)

= (a1 + b1c1)(a1 + b1c1)

= (a1 + b1c1)2

= (c1b1)(c1a1) #

所以虛弦 = 平差加

以髙差減髙股即半徑

髙差”指髙弦上勾股較在勾股形月川青 8 川地夕 9

髙弦上勾股較= b6a6 = (a1 + b1c1)(b1a1)

已知天旦股﹝又上髙/股﹞:b6 = = ( a1 +b1c1)

旦日 ﹝又上髙/勾﹞:a6 = (a1 + b1c1) #

以髙差減髙股 = b6 – (b6a6) = a6= (a1 + b1c1) #

a1 + b1c1 是為圓徑,(a1 + b1c1) 是為圓半徑。所以以髙差減髙股 = 半徑

以平差加平勾亦同上

平差”指平弦上勾股較。

平弦上勾股 = b8a8 = (a1 + b1c1) –(a1 + b1c1)

= (a1 + b1c1)(1 –)

=(a1 + b1c1)(b1a1)

月青﹝又上平勾﹞:a8 = = (a1 + b1c1)

青川股﹝又上平股﹞:b8 = (a1 + b1c1) #

平差加平勾 = (b8a8) + a8 = b8a8 + a8= b8 = (a1 + b1c1) #

所以以平差加平勾 = 半徑

以髙差減大差差即明差

髙差”即髙勾髙股差 = b6a6在勾股形天日旦 6 日山朱 7

髙勾髙股差= (a1 + b1c1) – (a1 + b1c1)

= (a1 + b1c1)( – 1)

= (a1 + b1c1)(b1a1)

大差差”指大差上勾股較,勾股較即勾股在勾股形天月坤 10

大差上勾股 = b10a10 = (c1 a1) –(c1 a1)

= (c1 a1)(1 – )

= (c1 a1)(b1a1)

以髙差減大差差,即:

(c1 a1)(b1a1) –(a1 + b1c1)(b1a1)

= (b1a1)[(c1 a1) –(a1 + b1c1)]

= (b1a1)[2a1(c1 a1) – b1(a1 + b1c1)]

= (b1a1)(2a1c1 – 2a12b1a1b12 + b1c1)

= (b1a1)(2a1c1 a12b1a1c12 + b1c1)

= (b1a1)[b1(c1 a1) – (c1 a1)2 ]

= (b1a1)(c1 a1)(b1c1 + a1) #

明差”即明弦勾股較

明弦勾股較=b14a14= (c1a1)(b1 c1 + a1) –(c1a1)(b1 c1 + a1)

= (c1a1)(b1 c1 + a1)[]

=(c1a1)(b1 c1 + a1)(b1a1) #

比較答案兩式可知相等,所以以髙差減大差差 = 明差

以平差減小差差即差也

已知“平差”指平弦上勾股較。

平弦上勾股 = b8a8 = (a1 + b1c1)(b1a1)

小差差”指小在勾股形山地艮 11勾股較。

小差上勾股= – (c1b1) + (c1b1)

= (c1b1)(– 1)

= (c1b1)(b1a1)

以平差減小差差,即:

(c1b1)(b1a1) –(a1 + b1c1)(b1a1)

= (b1a1)[(c1b1) –(a1 + b1c1)]

= (b1a1)[2b1(c1 b1) – a1(a1 + b1c1)]

= (b1a1)(2b1c1 – 2b12a12a1b1 + a1c1)

= (b1a1)(2b1c1 b12c12a1b1 + a1c1)

= (b1a1)[– (c1 b1)2 + a1(c1b1)]

= (b1a1)(c1 b1)(a1c1 + b1) #

”指*弦上勾股較。

*弦上勾股= b15a15

= (c1b1)(a1c1 + b1) – (c1b1)(a1c1 + b1)

= (c1b1)(a1c1 + b1)()

= (c1b1)(a1c1 + b1)(b1a1) #

比較兩式可知以平差減小差差 =

以髙差減大差即髙弦

髙差髙勾髙股差 = b6a6= (a1 + b1c1) – (a1 + b1c1)

= (a1 + b1c1)( – 1)

= (a1 + b1c1)(b1a1)

大差指最大勾股形之勾弦差,即 c1a1

以髙差減大差,即:

(c1a1) –(a1 + b1c1)(b1a1)

= [2a1(c1a1) – (a1 + b1c1)(b1a1)]

= [2a1c1 – 2a12 – (b12a12c1b1 + c1a1)]

= (2a1c1 – 2a12b12+ a12 + c1b1c1a1)

= (a1c1a12b12 + c1b1)

= (a1c1c12 + c1b1)

= (a1 + b1c1) #

已知天日或日山c6 = (a1 + b1c1) #

比較兩式,可知以髙差減大差 = 髙弦

以平差加小差即平弦也

平差”指平弦上勾股較。

平弦上勾股 = b8a8 = (a1 + b1c1) –(a1 + b1c1)

= (a1 + b1c1)(1 –)

=(a1 + b1c1)(b1a1)

指最大勾股形之股弦差,即 c1b1

c1b1 + (a1 + b1c1)(b1a1)

= [2b1(c1b1) + (b1a1)(a1 + b1c1)]

= [2b1c1 – 2b12 + b12a12 c1b1 + c1a1]

= [b1c1b12a12 + c1a1]

= [b1c1c12 + c1a1]

= (a1 + b1c1) #

已知弦:c8 = (a1 + b1c1) #

比較兩式,可知以平差加小差 = 平弦

二之平差內去虛差餘即小差差

已知平差=(a1 + b1c1)(b1a1)

二之平差= 2 ×(a1 + b1c1)(b1a1) =(a1 + b1c1)(b1a1)

”指太虛勾股在勾股形月山泛 13

太虛勾股 = b13a13 = (c1b1)(c1a1) –(c1b1)(c1a1)]

= (c1b1)(c1a1)[]

=(c1b1)(c1a1)(b1a1)

= (a1 + b1c1)2

二之平差內去虛差,即:

(a1 + b1c1)(b1a1) –(a1 + b1c1)2

= (a1 + b1c1)(b1a1)[1 –(a1 + b1c1)]

= (a1 + b1c1)(b1a1)[2a1 – (a1 + b1c1)]

= (a1 + b1c1)(b1a1)(a1b1 + c1)

= (b1a1)[a1 – (c1b1)][a1 + (c1b1)]

= (b1a1)[a12 – (c1b1)2]

= (b1a1)[a12c12b12 + 2c1b1]

= (b1a1)[a12a12b12b12+ 2c1b1]

= (b1a1)(– 2b12 + 2c1b1)

= (b1a1)(c1b1) × 2b1

= (c1b1)(b1a1) #

小差差”指小在勾股形山地艮 11勾股較。

小差上勾股= (c1b1)(b1a1) #﹝見前條﹞。

比較兩式,可知二之平差內去虛差 = 小差差

去二虛差即兩個

二之平差 = (a1 + b1c1)(b1a1)

”指太虛勾股在勾股形月山泛 13= (a1 + b1c1)2

“二= (a1 + b1c1)2

二之平差內去虛差,即:

(a1 + b1c1)(b1a1) –(a1 + b1c1)2

= (a1 + b1c1)(b1a1)[1 –(a1 + b1c1)]

= (a1 + b1c1)(b1a1)[a1 – (a1 + b1c1)]

= (a1 + b1c1)(b1a1)(c1b1) #

”指*弦上勾股較。

*弦上勾股= b15a15

= (c1b1)(a1c1 + b1) – (c1b1)(a1c1 + b1)

= (c1b1)(a1c1 + b1)()

= (c1b1)(a1c1 + b1)(b1a1)

兩個= 2 ×(c1b1)(a1c1 + b1)(b1a1)

= (a1 + b1c1)(b1a1)(c1b1) #

比較答案兩式可知相等,二之平差去二虛差 = 兩個

髙股即半徑上股方差

在勾股形天日旦 6 日山朱 7,兩勾股形全等,第 7 點為“朱”。

已知股﹝天旦﹞:b6 = = ( a1 +b1c1)

勾﹝日旦﹞:a6 = (a1 + b1c1)

弦﹝天日﹞:c6 = ( a1 +b1c1)

已知圓半徑 = (a1 + b1c1)半徑= 勾。

因為 c62b62 =a62 ,即 b62= c62a62

c62a62 是為“半徑上股方差”

平勾即半徑上勾方差故髙勾平股共為全徑也

在勾股形月川青 8 川地夕 9,兩勾股形全等,第 8 點為“青”。

以下為月川青勾股形之三事﹝三事,三邊之長也﹞:

股﹝月﹞:b8 = (a1 + b1c1)

勾﹝川青﹞:a8 =  = ( a1 +b1c1)

弦﹝月﹞:c8 = (a1 + b1c1)

半徑 = (a1 + b1c1)半徑 = 股。

因為 a82 = c82b82c82b82 是為“半徑上勾方差”

已知勾:a7 = (a1 + b1c1)

股:b8 = (a1 + b1c1)

髙勾平股共 = (a1 + b1c1) + (a1 + b1c1) = a1 + b1c1

a1 + b1c1 是為圓之直徑

故髙勾+ 平股 =

黃廣股即全徑上股方差

黃廣股在勾股形天山金 4,以下為天山金之三邊長:

金山 ﹝又勾﹞:a4 = (a1 + b1c1) × 2 = a1 + b1c1

天金股﹝又股﹞:b4 = = (a1 + b1c1)

天山弦﹝簡弦﹞:c4 = √(a42+ b42) = (a1 + b1c1)

勾之長為 a1 + b1c1,即 a4,此即為圓之直徑。

因為 b42 = c42a42 c42a42 是為“徑上股方差”

黃長勾即全徑上勾方差

黃長勾在勾股形月地泉 5﹝見前圖﹞,以下為月地泉之三邊長:

黃長勾﹝﹞:a5 = = (a1 + b1c1)

黃長股﹝﹞:b5 = (a1 + b1c1) × 2 = a1 + b1c1

黃長弦﹝月地﹞:c5 = (a1 + b1c1)

黃長股之長為 a1 + b1c1,此即為圓之直徑。

因為 a52 = c52b52c52b52 是為“徑上方差”

故黃廣勾黃長股共數為兩個全徑也

黃廣勾黃長股共 = (a1 + b1c1) + (a1 + b1c1) = 2(a1 + b1c1)

上式是為兩個全圓直

以下為測圓海鏡細草原文:

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