《測圓海鏡》﹝諸差5﹞之髙差、黃廣及黃長等式 上傳書齋名:瀟湘館112 Xiāo Xiāng Guǎn 112 何世強 Ho Sai Keung 提要:《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰,其書之“圓城圖式”含十四勾股形,連同原有之大勾股形共十五勾股形。本文著重十四勾股形之髙差、黃廣弦及黃長弦之相關等式。 關鍵詞:極差、旁差、角差、蓌和、蓌差 《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰。該書卷一“圓城圖式”主要討論與十五勾股形相關之等式,本文介紹其部分等式並作出証明。 本文所引用之勾股式源自“圓城圖式”之十五勾股形,a1、b1、c1 乃最大勾股形天地乾之勾、股及弦長。故 a1、b1、c1 又稱為大勾﹝地乾﹞、大股﹝天乾﹞及大弦﹝天地﹞。 《測圓海鏡》涉及一系列之勾股恆等式,所有恆等式皆與十五勾股形有關。十五勾股形中最大者為天地乾,其三邊勾股弦分別以 a1、b1、c1 表之,其餘十四勾股形三邊勾股弦則分別以 ai、bi、ci 表之,其中 1 < i ≦ 15。但 ai、bi、ci 均可以 a1、b1、c1 表之,此乃《測圓海鏡》之精髓。注意勾股定理成立,即 有關以 a1、b1、c1 表 ai、bi、ci 之式可參閱筆者另文〈《測圓海鏡》“圓城圖式”之十二勾股弦算法〉。 以下左為“圓城圖式”右為“圓城圖式十五句股形圖”。 注意圓徑為 a1 + b1 – c1,見上圖之東南西北圓。圓徑乃十五勾股形三邊重要因子之一,其他因子為最大勾股形之勾股較、勾弦較及股弘較。 本文主要談及十五勾股形有關三邊相差之等式,其中部分等式曾在“五和五較”等式中出現,可參閱筆者相關之文章。 注意等式 (c1 – b1)(c1 – a1) = (a1 + b1 – c1)2。 本文取自《測圓海鏡‧卷一‧諸差》。筆者有以下文涉及〈諸差〉: 《測圓海鏡》之大差差、小差差等式﹝諸差1﹞ 《測圓海鏡》之髙差、旁差、極雙差等式﹝諸差2﹞ 《測圓海鏡》之極差等式﹝諸差3﹞ 《測圓海鏡》之角差及虛差等式說﹝諸差4﹞ 本文乃以上四文之延續。 以下為有關“髙差”及相關之等式: 以髙差減明和即虛弦。以平差加和亦同上。以髙差減髙股即半徑。以平差加平勾亦同上。以髙差減大差差即明差。以平差減小差差即差也。以髙差減大差即髙弦。以平差加小差即平弦也。二之平差內去虛差餘即小差差。去二虛差即兩個差。 髙股即半徑上股方差。平勾即半徑上勾方差,故髙勾平股共為全徑也。黃廣股即全徑上股方差。黃長勾即全徑上勾方差。故黃廣勾、黃長股共數為兩個全徑也。 以下為各條目之証明: 以髙差減明和即虛弦。 “髙差”即髙勾髙股差 = b6 – a6﹝在勾股形天日旦 6 或日山朱 7﹞。 髙勾髙股差= (a1 + b1 – c1) – (a1 + b1 – c1) = (a1 + b1 – c1)( – 1) = (a1 + b1 – c1)(b1 – a1)。 “明和”即明弦勾股和 = b14 + a14。 明弦勾股和= (c1 – a1)(b1 – c1 + a1) +(c1 – a1)(b1 – c1 + a1) = (c1 – a1)(b1 – c1 + a1)[+] =(c1 – a1)(b1 – c1 + a1)(a1 + b1) 。 以髙差減明和,即: –(a1 + b1 – c1)(b1 – a1) +(c1 – a1)(b1 – c1 + a1)(a1 + b1) = (a1 + b1 – c1)[ – (b1 – a1) +(c1 – a1)(a1 + b1)] = (a1 + b1 – c1)[ – b12 + a1b1 + (c1a1 + c1b1 – a12 – a1b1)] = (a1 + b1 – c1)(– b12+ a1b1 + c1a1 + c1b1 – a12 – a1b1) = (a1 + b1 – c1)( – b12+ c1a1 + c1b1 – a12) = (a1 + b1 – c1)( –c12 +c1a1 + c1b1) = (a1 + b1 – c1)(a1 + b1 – c1) = (a1 + b1 – c1)2 = (c1 – b1)(c1 – a1) #。 注意等式 (c1 – b1)(c1 – a1) = (a1 + b1 – c1)2。 已知月山太虛弦﹝簡稱太虛弦﹞:c13 =(c1 – b1)(c1 – a1) #。 比較兩式,可知以髙差減明和 = 虛弦。 以平差加和亦同上。 “平差”指平弦上勾股較。 平弦上勾股較 = b8– a8 = (a1 + b1 – c1) –(a1 + b1 – c1) = (a1 + b1 – c1)(1 –) =(a1 + b1 – c1)(b1 – a1)。 “和”即弦上勾股和 = b15 +a15 ﹝在勾股形山川東 15﹞,即: b15 + a15 = (c1 – b1)(a1 – c1 + b1) +(c1 – b1)(a1 – c1 + b1) = (c1 – b1)(a1 – c1 + b1)(+) = (c1 – b1)(a1 – c1 + b1)(b1 + a1) 。 平差加和,即: (a1 + b1 – c1)(b1 – a1) + (c1 – b1)(a1 – c1 + b1)(b1 + a1) = (a1 + b1 – c1)[(b1 – a1) + (c1 – b1)(b1 + a1)] = (a1 + b1 – c1)(a1b1 – a12 + c1b1 + c1a1 – b12 – a1b1) = (a1 + b1 – c1)(– a12+ c1b1 + c1a1 – b12) = (a1 + b1 – c1)(– c12+ c1b1 + c1a1) = (a1 + b1 – c1)(a1 + b1 – c1) = (a1 + b1 – c1)2 = (c1 – b1)(c1 – a1) #。 所以虛弦 = 平差加和。 以髙差減髙股即半徑。 “髙差”指髙弦上勾股較﹝在勾股形月川青 8 或川地夕 9﹞。 髙弦上勾股較= b6 – a6 = (a1 + b1 – c1)(b1 – a1) 。 已知天旦股﹝又稱上髙股/髙股﹞:b6 = = ( a1 +b1 – c1) 。 旦日勾 ﹝又稱上髙勾/髙勾﹞:a6 = (a1 + b1 – c1) #。 以髙差減髙股 = b6 – (b6 – a6) = a6= (a1 + b1 – c1) #。 a1 + b1 – c1 是為圓徑,(a1 + b1 – c1) 是為圓半徑。所以以髙差減髙股 = 圓半徑。 以平差加平勾亦同上。 “平差”指平弦上勾股較。 平弦上勾股較 = b8– a8 = (a1 + b1 – c1) –(a1 + b1 – c1) = (a1 + b1 – c1)(1 –) =(a1 + b1 – c1)(b1 – a1)。 月青勾﹝又稱上平勾﹞:a8 = = (a1 + b1 – c1) 。 青川股﹝又稱上平股﹞:b8 = (a1 + b1 – c1) #。 平差加平勾 = (b8 – a8) + a8 = b8 – a8 + a8= b8 = (a1 + b1 – c1) #。 所以以平差加平勾 = 圓半徑。 以髙差減大差差即明差。 “髙差”即髙勾髙股差 = b6 – a6﹝在勾股形天日旦 6 或日山朱 7﹞。 髙勾髙股差= (a1 + b1 – c1) – (a1 + b1 – c1) = (a1 + b1 – c1)( – 1) = (a1 + b1 – c1)(b1 – a1)。 “大差差”指大差上勾股較,勾股較即勾股差﹝在勾股形天月坤 10﹞。 大差上勾股差 = b10 – a10 = (c1 – a1) –(c1 – a1) = (c1 – a1)(1 – ) = (c1 – a1)(b1 – a1) 。 以髙差減大差差,即: (c1 – a1)(b1 – a1) –(a1 + b1 – c1)(b1 – a1) = (b1 – a1)[(c1 – a1) –(a1 + b1 – c1)] = (b1 – a1)[2a1(c1 – a1) – b1(a1 + b1 – c1)] = (b1 – a1)(2a1c1 – 2a12 – b1a1 – b12 + b1c1) = (b1 – a1)(2a1c1 – a12 –b1a1 – c12 + b1c1) = (b1 – a1)[b1(c1 – a1) – (c1 – a1)2 ] = (b1 – a1)(c1 – a1)(b1 – c1 + a1) #。 “明差”即明弦勾股較。 明弦勾股較=b14 – a14= (c1 – a1)(b1 – c1 + a1) –(c1 – a1)(b1 – c1 + a1) = (c1 – a1)(b1 – c1 + a1)[–] =(c1 – a1)(b1 – c1 + a1)(b1 – a1) #。 比較答案兩式可知相等,所以以髙差減大差差 = 明差。 以平差減小差差即差也。 已知“平差”指平弦上勾股較。 平弦上勾股較 = b8– a8 = (a1 + b1 – c1)(b1 – a1)。 “小差差”指小差﹝在勾股形山地艮 11﹞上之勾股較。 小差上勾股較 = – (c1 – b1) + (c1 – b1) = (c1 – b1)(– 1) = (c1 – b1)(b1 – a1)。 以平差減小差差,即: (c1 – b1)(b1 – a1) –(a1 + b1 – c1)(b1 – a1) = (b1 – a1)[(c1 – b1) –(a1 + b1 – c1)] = (b1 – a1)[2b1(c1 – b1) – a1(a1 + b1 – c1)] = (b1 – a1)(2b1c1 – 2b12 – a12 – a1b1 + a1c1) = (b1 – a1)(2b1c1 – b12– c12 – a1b1 + a1c1) = (b1 – a1)[– (c1 – b1)2 + a1(c1 – b1)] = (b1 – a1)(c1 – b1)(a1 – c1 + b1) #。 “差”指弦上勾股較。 弦上勾股較 = b15 – a15 = (c1 – b1)(a1 – c1 + b1) – (c1 – b1)(a1 – c1 + b1) = (c1 – b1)(a1 – c1 + b1)(–) = (c1 – b1)(a1 – c1 + b1)(b1 – a1) #。 比較兩式可知以平差減小差差 = 差。 以髙差減大差即髙弦。 “髙差”即髙勾髙股差 = b6 – a6= (a1 + b1 – c1) – (a1 + b1 – c1) = (a1 + b1 – c1)( – 1) = (a1 + b1 – c1)(b1 – a1)。 大差指最大勾股形之勾弦差,即 c1 – a1。 以髙差減大差,即: (c1 – a1) –(a1 + b1 – c1)(b1 – a1) = [2a1(c1 – a1) – (a1 + b1 – c1)(b1 – a1)] = [2a1c1 – 2a12 – (b12 – a12 – c1b1 + c1a1)] = (2a1c1 – 2a12 – b12+ a12 + c1b1 – c1a1) = (a1c1 – a12 – b12 + c1b1) = (a1c1 – c12 + c1b1) = (a1 + b1 – c1) #。 已知髙弦﹝即天日或日山﹞:c6 = (a1 + b1 – c1) #。 比較兩式,可知以髙差減大差 = 髙弦。 以平差加小差即平弦也。 “平差”指平弦上勾股較。 平弦上勾股較 = b8– a8 = (a1 + b1 – c1) –(a1 + b1 – c1) = (a1 + b1 – c1)(1 –) =(a1 + b1 – c1)(b1 – a1)。 小差指最大勾股形之股弦差,即 c1 – b1。 c1 – b1 + (a1 + b1 – c1)(b1 – a1) = [2b1(c1 – b1) + (b1 – a1)(a1 + b1 – c1)] = [2b1c1 – 2b12 + b12 –a12 – c1b1 + c1a1] = [b1c1 – b12 – a12 + c1a1] = [b1c1 – c12 + c1a1] = (a1 + b1 – c1) #。 已知平弦:c8 = (a1 + b1 – c1) #。 比較兩式,可知以平差加小差 = 平弦。 二之平差內去虛差餘即小差差。 已知“平差”=(a1 + b1 – c1)(b1 – a1)。 二之平差= 2 ×(a1 + b1 – c1)(b1 – a1) =(a1 + b1 – c1)(b1 – a1)。 “虛差”指太虛勾股較﹝在勾股形月山泛 13﹞。 太虛勾股較 = b13 – a13 = (c1 – b1)(c1 – a1) –(c1 – b1)(c1 – a1)] = (c1 – b1)(c1 – a1)[–] =(c1 – b1)(c1 – a1)(b1 – a1) = (a1 + b1 – c1)2。 二之平差內去虛差,即: (a1 + b1 – c1)(b1 – a1) –(a1 + b1 – c1)2 = (a1 + b1 – c1)(b1 – a1)[1 –(a1 + b1 – c1)] = (a1 + b1 – c1)(b1 – a1)[2a1 – (a1 + b1 – c1)] = (a1 + b1 – c1)(b1 – a1)(a1 – b1 + c1) = (b1 – a1)[a1 – (c1 – b1)][a1 + (c1 – b1)] = (b1 – a1)[a12 – (c1 – b1)2] = (b1 – a1)[a12 –c12 – b12 + 2c1b1] = (b1 – a1)[a12 –a12 – b12 – b12+ 2c1b1] = (b1 – a1)(– 2b12 + 2c1b1) = (b1 – a1)(c1 – b1) × 2b1 = (c1 – b1)(b1 – a1) #。 “小差差”指小差﹝在勾股形山地艮 11﹞上之勾股較。 小差上勾股較 = (c1 – b1)(b1 – a1) #﹝見前條﹞。 比較兩式,可知二之平差內去虛差 = 小差差。 去二虛差即兩個差。 二之平差 = (a1 + b1 – c1)(b1 – a1)。 “虛差”指太虛勾股較﹝在勾股形月山泛 13﹞= (a1 + b1 – c1)2。 “二虛差”= (a1 + b1 – c1)2。 二之平差內去二虛差,即: (a1 + b1 – c1)(b1 – a1) –(a1 + b1 – c1)2 = (a1 + b1 – c1)(b1 – a1)[1 –(a1 + b1 – c1)] = (a1 + b1 – c1)(b1 – a1)[a1 – (a1 + b1 – c1)] = (a1 + b1 – c1)(b1 – a1)(c1 – b1) #。 “差”指弦上勾股較。 弦上勾股較 = b15 – a15 = (c1 – b1)(a1 – c1 + b1) – (c1 – b1)(a1 – c1 + b1) = (c1 – b1)(a1 – c1 + b1)(–) = (c1 – b1)(a1 – c1 + b1)(b1 – a1) 。 兩個差 = 2 ×(c1 – b1)(a1 – c1 + b1)(b1 – a1) = (a1 + b1 – c1)(b1 – a1)(c1 – b1) #。 比較答案兩式可知相等,二之平差去二虛差 = 兩個差。 髙股即半徑上股方差。 髙股在勾股形天日旦 6 或日山朱 7,兩勾股形全等,第 7 點為“朱”。 已知髙股﹝天旦﹞:b6 = = ( a1 +b1 – c1) 。 髙勾﹝日旦﹞:a6 = (a1 + b1 – c1)。 髙弦﹝天日﹞:c6 = ( a1 +b1 – c1) 。 已知圓半徑 = (a1 + b1 – c1)。即圓半徑= 髙勾。 因為 c62 – b62 =a62 ,即 b62= c62 – a62, c62 – a62 是為“半徑上股方差”。 平勾即半徑上勾方差,故髙勾平股共為全徑也。 平勾在勾股形月川青 8 或川地夕 9,兩勾股形全等,第 8 點為“青”。 以下為月川青勾股形之三事﹝三事,三邊之長也﹞: 平股﹝月青﹞:b8 = (a1 + b1 – c1)。 平勾﹝川青﹞:a8 = = ( a1 +b1 – c1) 。 平弦﹝月川﹞:c8 = (a1 + b1 – c1) 。 圓半徑 = (a1 + b1 – c1)。即半徑 = 平股。 因為 a82 = c82 –b82,c82 – b82 是為“半徑上勾方差”。 又已知髙勾:a7 = (a1 + b1 – c1)。 平股:b8 = (a1 + b1 – c1)。 髙勾平股共 = (a1 + b1 – c1) + (a1 + b1 – c1) = a1 + b1 – c1。 a1 + b1 – c1 是為圓之直徑。 故髙勾+ 平股 = 全圓徑。 黃廣股即全徑上股方差。 黃廣股在勾股形天山金 4,以下為天山金之三邊長: 金山勾 ﹝又稱黃廣勾﹞:a4 = (a1 + b1 – c1) × 2 = a1 + b1 – c1。 天金股﹝又稱黃廣股﹞:b4 = = (a1 + b1 – c1) 。 天山黃廣弦﹝簡稱黃廣弦﹞:c4 = √(a42+ b42) = (a1 + b1 – c1) 。 黃廣勾之長為 a1 + b1 – c1,即 a4,此即為圓之直徑。 因為 b42 = c42 –a42 ,c42 – a42 是為“全徑上股方差”。 黃長勾即全徑上勾方差。 黃長勾在勾股形月地泉 5﹝見前圖﹞,以下為月地泉之三邊長: 黃長勾﹝地泉﹞:a5 = = (a1 + b1 – c1) 。 黃長股﹝月泉﹞:b5 = (a1 + b1 – c1) × 2 = a1 + b1 – c1。 黃長弦﹝月地﹞:c5 = (a1 + b1 – c1) 。 黃長股之長為 a1 + b1 – c1,此即為圓之直徑。 因為 a52 = c52 –b52,c52 – b52 是為“全徑上勾方差”。 故黃廣勾、黃長股共數為兩個全徑也。 黃廣勾、黃長股共 = (a1 + b1 – c1) + (a1 + b1 – c1) = 2(a1 + b1 – c1)。 上式是為兩個全圓直徑。 以下為《測圓海鏡細草》原文: |
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