牛吃草问题是小学数学阶段重点、难点之一 牛吃草含义:“牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题,也叫“牛顿 问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。 基本公式, (1)草的生长速度=对应的牛头数×吃的较多天数-相应的牛头数×吃的较少天数÷(吃的较多天数-吃的较少天数); (2)原有草量=牛头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数;` 这四个公式是解决牛顿问题的基础。由于牛在吃草的过程中,草是不断生长的,所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。 例1: 一块草地,10头牛20天可以把草吃完,15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完? 解: 分析草是均匀生长的,所以,草总量=原有草量+草每天生长量×天数。求“多少头牛5天可以把草吃完”,就是说5天内的草总量要5天吃完的话,得有多少头牛? 设每头牛每天吃草量为按以下步骤解答: (1)求草每天的生长量 因为,一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草, 即(1×10×20); 另一方面,20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量, 所以1×10×20=原有草量+20天内生长量 同理1×15×10=原有草量+10天内生长量 由此可知(20——10)天内草的生长量为 1×10×20——1×15×10=50 因此,草每天的生长量为50÷(20——10)=5 (2)求原有草量 原有草量=10天内总草量——10内生长量=1×15×10——5×10 =100 (3)求5天内草总量 5天内草总量=原有草量+5天内生长量=100+5×5=125 (4)求多少头牛5天吃完草 因为每头牛每天吃草量为1,所以每头牛5天吃草量为5。 因此5天吃完草需要牛的头数125÷5=25(头) 答:需要5头牛5天可以把草吃完。 例2 : 一只船有一个漏洞,水以均匀速度进入船内,发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水,3小时可以淘完;如果只有5人淘水,要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完? 解:这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是,最后一问给出了人数(相当于“牛数”),求时间。设每人每小时淘水量为1,按以下步骤计算: (1)求每小时进水量 因为,3小时内的总水量=1×12×3=原有水量+3小时进水量 10小时内的总水量=1×5×10=原有水量+10小时进水量 所以(10——3)小时内的进水量为1×5×10——1×12×3=14 因此,每小时的进水量为14÷(10——3)=2 (2)求淘水前原有水量 原有水量=1×12×3——3小时进水量=36——2×3=30 (3)求17人几小时淘完 17人每小时淘水量为17,因为每小时漏进水为2,所以实际上船中每小时减少的水量为(17——2),所以17人淘完水的时间是 30÷(17——2)=2(小时) 答:17人2小时可以淘完水。 例3: 牧场上有一片青草,每天都生长得一样快。这片青草供给10头牛吃,可以吃22天,或者供给16头牛吃,可以吃10天,如果供给25头牛吃,可以吃几天? 分析:解“牛吃草问题”,牛每天吃草,草每天在不断均匀生长。解题环节主要有四步: 1、求出每天长草量; 例4: 一片草,每天匀速生长,可供8只羊吃20天、14只羊吃10天。现有羊若干,吃了4天后有增加了6只羊,这样又吃了2天,草便吃完了,问:羊有多少只? 解:设每只羊每天吃1份, 根据“8只羊吃20天,或供14只羊吃10天” 可以求出草每天生长的份数列式为: (8×20-14×10)÷(20-10)=2(份); 再根据:“8只羊吃20天 可以求出草地原有的草量: (8-2)×20=120(份); 设现有x只羊,(12+4)×2+120=152份, (152-4x)÷(x+6)=12, 设每只羊每天吃草1份, 则草每天生长: (8×20-14×10)÷(20-10), =(160-140)÷10, =20÷10, =2(份); 原有的草量:(8-2)×20=120(份); 设现有x只羊,由题意可得: (12+4)×2+120=152(份) (152-4x)÷(x+6)=12, 152-4x=12x+72 152-4x+4x-72=12x+72-72+4x 16x=80 16x÷16=80÷16 x=5 答:原有羊5只 例5:天气渐渐变冷,牧场上的草不仅不增长反而以固定的速度减少。已知牧场上有一片草地,草地上的草可供给20头牛吃5天,15头牛吃6天,照这样计算可供给多少头牛吃10天? 解:分析:设一头牛一天吃的草为1份。原有草量是固定的。在牛吃草的过程中,由于天气变冷,草每天都均匀的减少。草每天减少的量是固定的。 那么原有草量-5天草的减少的量=20头牛吃5天的草量=20×5=100份。 原有草量-6天草的减少量=15头牛吃6天的草量=15×6=90份。 那么(100-90)÷(6天草的减少量-5天草的减少的量)就是草每天的减少量。 每天草的减少量:(100-90)÷(6-5)=10份。 原有草量:20×5+10×5=150(份)或者15×6+10×6=150(份) 牧场10天实际消耗的原有草量:10×10=100(份) 10天可供多少头牛吃:(150-100)÷10=5(头) 答:可供给5头牛吃10天 |
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