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“三用”视域下的数学建模教学 ——以《2017版课标》的“包装彩绳”教学为例 浙江省台州市教育局教研室 318000 李昌官 【摘 要】 “三会”是高中数学课程的目标，“三用”是实现目标的途径与方式．以《2017版课标》的“包装彩绳”教学为例，探索如何在“三用”统领下按数学建模的基本步骤展开数学建模教学，提升学生的数学建模素养。 【关键词】 “三会”；“三用”；数学建模；“包装彩绳”教学 注：此文发表在《中学数学杂志》2020年第1期。 1 “三会”“三用”与数学建模 “三会”是指《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《2017版课标》）提出的“会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界”[1]2．它为数学教育指明了目标与方向．“三用”是指“用数学眼光观察世界，用数学思维思考世界，用数学语言表达世界”．“三会”是预期的目标，它只能通过“三用”来达成，因此“三用”是实现“三会”的途径与方式．数学教学应有意识地、深入地通过“三用”培养“三会”． “数学建模活动是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程．”[1]34数学建模的显性活动是“在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题”[1]34，但支撑显性活动、确保显性活动顺利进行的是隐性的“三用”．因此应该用“三用”统领数学建模教学，并使之成为提升学生“三会”和数学学科核心素养的有效载体． 2 学习内容分析 2.1 学习内容的性质与功能 《2017版课标》指出：“数学建模活动是基于数学思维运用模型解决实际问题的一类综合实践活动，是高中数学课程的重要内容．”[1]34“包装彩绳”问题是指《2017版课标》“教学与评价案例”中的案例27，它属于“数学建模活动与数学探究活动”范畴，其实质是发展学生数学建模素养、提升学生数学应用能力和自主探究能力的载体． 2.2 学习内容的内涵与特点 “包装彩绳”问题具有如下特点：（1）情境的真实性．题目的条件中既没有字母，也没有具体的数量，甚至长方体点心盒的长、宽、高都没有给出；问题的目标指向和解决问题的理由与依据——怎样的包装更节省彩绳，你同意这种说法吗？请给出你的理由——也是高度生活化，具有真实性，因此该问题是真实情境中的真实问题，生活气息比较浓．（2）问题的模糊性．由于是生活中的真实问题，并且问题的条件以图示的形式给出，因此不仅问题的条件是模糊的，而且问题的许多细节也是模糊的，如，彩绳是否具有弹性以及要不要考虑弹性，图1（1）的花样捆扎（这里把图1（1）的捆扎方式称为“花样捆扎”）是否要考虑彩绳与盒子之间的摩擦力等，都需要学生自己去理解和把握．另外，问题的目标指向、解决的依据与程度也是模糊的．（3）问题解决思维的开放性．由于问题是真实的，问题的条件、目标指向、解决思路与方法都是模糊的，因此整个问题具有较强的探究性，问题解决的思路与方法甚至结论都具有开放性．（4）问题解决手脑的互补性．一方面，把长方体盒子展开成平面图形离不开思维的指引；另一方面，动手操作既有助于获取问题的初步结论，也有助于突破问题解决的思维难点． 2.3 问题解决的策略与方法 从数学视角看，“包装彩绳”问题的实质是空间折线长度最短问题；解决问题的核心思想是降维、转化．从教学视角看，它蕴含着两个小问题：一是证明花样捆扎比十字捆扎更省绳；二是探索怎样的花样捆扎最省绳．此问题解决的策略与方法有： 一是抽象化、理想化．即既不考虑问题中与数学无关的属性，如，制作彩绳与盒子的具体材料、彩绳的粗细等，又对相关对象作抽象化、理想化处理，如，把盒子抽象为长方体，把彩绳抽象为折线，彩绳是没有弹性的，捆扎时盒子的形状不会变形，把十字捆扎视作交叉的两条彩绳互相垂直，彩绳垂直或平行于盒子的棱，等．另外，不考虑彩绳与盒子间的摩擦力，把“扎紧”理解为彩绳的平面展开图是线段，也是理想化的表现．通过抽象化、理想化，把现实问题转化为数学问题． 二是数量化、符号化．即通过用字母表示长方体盒子的长、宽、高、顶点和折线的连接点，用数学语言表达问题．这种数量化、符号化既是计算和逻辑推理的需要，也是有序地把长方体的面展开成一个平面图形、把彩绳展开为平面上折线的需要．更进一步，必要的数量化与符号化既是提出与表达数学问题的需要，也是有效地论证和解决数学问题的需要． 三是降维、转化．此问题的实质是空间折线长度最短的问题，解决此问题的策略与方法的实质是降维、转化．即把三维问题（长方体中的折线长度问题）转化为二维问题（平面内折线长度问题），再把二维问题转化为一维问题（两点之间的线段问题）． 四是直观想象、动手操作．直观想象、动手操作是思辨论证的基础．此问题中，初步结论和解决方法都可以通过直观想象、动手操作来获得，论证的思维难点可通过直观想象、动手操作来突破． 2.4 问题解决的水平与层次 “包装彩绳”问题的解决有如下三个水平与层次： 水平一：通过捆扎操作、测量比较得出结论； 水平二：将长方体盒子的面展开，把问题转化为平面上折线长度问题，进而转化为两点间的距离问题，最后得出一般性的结论； 水平三：思路清晰、表达准确、论证合理，清楚所建立的数学模型的有效性与适用范围，这里的数学模型主要是指长方体的面与彩绳的平面展开图，以及两点之间线段最段。 2.5 学习内容的教学价值 “包装彩绳”问题是一个学生熟悉的生活问题．它的解决蕴含着数学建模活动的全过程，因此它是学生学习和掌握数学建模基本步骤与方法、提升学生建模素养的有效载体．由于整个问题的解决，需要通过数学抽象和直观想象把现实问题转化为数学问题；需要通过动手操作和直观想象，寻找解决问题的路径、方法，突破思维障碍与难点；需要通过逻辑推理和数学运算，论证猜想和操作得到了初步结论；在得到初步结论后，需要根据实际情况对已经建立的数学模型进行反思与修正．因此“包装彩绳”问题也是培育学生数学抽象、逻辑推理、直观想象素养和批判质疑精神、动手实践能力的有效载体，具有较高的教学价值． 3 学生认知分析 学生熟悉“包装彩绳”问题的生活背景，也具有一定的捆扎经验．他们有把空间上折线长度问题通过翻折转化平面内折线长度问题的经验，有利用两点间线段最短求平面折线最小值的经验．由于数学教学长期存在“去头去尾烧中段”现象，并且忽视数学建模和数学探究教学，同时由于学生习惯于独立学习而不习惯于合作学习、习惯于纸笔演算而不习惯于动手实践，因此他们在本节课学习中会遇到如下难点． 难点一：如何理解包装彩绳问题．由于情境的真实性与模糊性，也由于学生习惯于解决常规的数学问题，因此他们对问题情境、条件、目标的理解可能会有一些困难．对此，应指导学生用数学的眼光观察，舍弃情境中与数学无关的属性；指导学生把现实问题理想化，如，把彩绳视为没有弹性的，把“拉紧”视为折线长度最短，等． 难点二：如何把现实问题抽象转化为数学问题．对此，应指导学生怎样用数学眼光观察世界，并强化抽象的过程，明确把现实中的“什么东西”抽象为数学中的“什么东西”，包括问题的目标与求解的依据． 难点三：如何寻找解决问题的思路与方法．对此，应引导学生联想相关经验，认识到应把表示彩绳的线段展开成平面图形，把空间上折线长度问题转化为平面内折线长度问题，再把平面内折线长度最短问题转化为两点之间距离问题． 难点四：如何把表示彩绳的线段展开成平面折线．由于涉及的线段有8条，并且长方体的上、下2个面要各展开2次，因此即使知道应把表示彩绳的线段展开成平面图形，具体操作仍会遇到较大的困难．对此，一应紧紧抓住展开的线索（即彩绳）与两个面的公共边，确保长方体的面沿着彩绳有序展开；二应通过把长方体的面和相应的线段标上字母，明确每个长方体的面和每条线段展开后所对应的图形；三是加强直观想象、空间想象． 难点五：模型检验．由于学生对数学模型缺乏足够的认识，再加上他们反思、质疑意识普遍比较淡薄，因此他们往往会忽视模型检验环节．对此，应引导学生从可能的各种实际情形出发，对已经建立的数学模型进行反思和检验． 4 学习目标及其解析 《2017版课标》规定的数学建模的课程目标为：“通过高中数学课程的学习，学生能有意识地用数学语言表达现实世界，感悟数学与现实之间的关联；学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验；认识数学模型在科学、社会、工程技术诸多领域的作用，提升应用能力，增强创新意识和科学精神”[1]6． 结合学习内容的性质、定位，以及学生的实际，确定本节课的学习目标如下： （1）学生能用数学眼光观察“包装彩绳”问题，对它进行抽象化、理想化、数量化、符号化处理，从中抽象出数学问题，并用数学语言表达；会用数学思维分析问题，寻找和建构解决“包装彩绳”问题的基本数学模型；会用数学语言（含图形语言与符号语言）表达自己的思维过程，推导出数学结论；能对已经建立的数学模型进行检验与完善． （2）学生经历数学建模活动的基本过程与基本步骤，能借鉴这些基本过程与基本步骤解决相关的类似问题，积累数学建模活动的经验． （3）学生能通过动手操作获得问题的初步结论，形成解决问题的思路、方法与技术路线图；能享受动手操作乐趣，增强数学应用意识和创新意识． （4）学生能感受和体会“包装彩绳”问题解决背后的“三用”，提高对“三用”的认识． 教学重点：“包装彩绳”问题的解决； 学习难点：如何建立与表达数学模型． 5 教学指导思想与教学支持条件分析 5.1 教学指导思想 充分把握“包装彩绳”问题作为培养学生数学建模素养载体的属性，避免简单的“就题论题”“就事论事”．更明确地说，是以“三会”为总的目标和方向，以“三用”实现目标的基本途径与方式，以数学建模活动展开的基本步骤为思维主线，以教师指导下的学生自主探究、合作探究为基本学习方式；强化学生动手操作，有效突破难点，同时促进学生更全面地发展． 5.2 教学支持条件分析 为了有效地帮助学生突破认知难点，拟为学生提供如下教学支持条件： 一是可展开的长方体盒子，供学生动手操作； 二是两条相同长短的绳子，供学生捆扎盒子，并比较花样捆扎与十字捆扎用绳的多少； 三是矩形纸片，供学生用来包装长方体盒子，探索用纸量最小问题； 四是多媒体和实物投影，用于探讨把长方体盒子展开成平面图形的过程与方法，展示学生的学习成果与存在问题． 6 教学过程设计 6.1 用数学眼光观察，提出问题 情景1 罗素曾说：“当人们发现一对雏鸡和两天之间有某种共同的东西（数字2）时，数学就诞生了．”浙江大学蔡天新教授说：“在我们看来，数学的诞生或许要稍晚一些，是在人们从‘2只鸡蛋加3只鸡蛋等于5只鸡蛋，2枚箭矢加3枚箭矢等于5枚箭矢，等等’中抽象出‘2+3＝5’之时．”[2]由此，我们可以看出：数学是通过舍弃物质的非数学属性，从数与形两方面对现实世界进行抽象得到的；我们应善于用数学眼光观察世界． 〖设计说明〗（1）借助大师、大家的论述，简要说明数学的起源，同时激发学生兴趣；（2）引导学生用抽象的观点与方法认识数学与现实的关系；（3）为下面学习和问题解决做好铺垫。 情境2 春节期间，佳怡准备去探望奶奶，到商店买了一盒点心．售货员为她做了一个捆扎（如图1（1）），并在角上配了一个花结．售货员说，这样的捆扎不仅漂亮，而且比一般的十字捆扎（如图1（2））包装更节省彩绳．你同意这种说法吗？请给出你的理由．[1]154-155 请猜测售货员是怎样得到这个结论的？并检验售货员的结论。 〖设计说明〗（1）猜测售货员是通过动手操作得出结论；（2）学生动手操作验证结论；（3）动手操作是必要的，但这是最低层次，是为后续数学活动做准备的． 动手操作是发现、猜想结论的有效方法，但这种方法具有局限性。为了从更一般意义上、更严谨地解决这个问题，需要将实际问题转化为数学问题。你能将这个问题转化为数学问题，并用数学语言表达吗？ 〖设计说明〗（1）强化抽象的过程与方法：盒子——长方体；彩绳——折线；更节省彩绳——图1（1）中折线（指粗体表示的线段）长小于图1（2）中的折线长；给出你的理由——给出数学证明．（2）突破数学化的难点：图1中既没有字母，也没有数量，而要把实际问题转化为数学问题，就需要数量化、符号化．（3）在进一步讨论的基础上，给出如下数学问题： 6.2 用数学思维思考，建立模型 从数学角度看，以上问题的实质是什么？我们应用怎样的思路与方法解决？ 〖设计说明〗通过讨论，明确：（1）以上问题的实质是空间折线长度问题；（2）解决问题的基本思路是把三维的空间折线长度问题转化为二维的平面折线长度问题，进而转化为一维的两点间线段长度问题，这个思路的实质是降维与转化；（3）解决问题的具体方法是把长方体的面展开成平面图形；（4）如果用代数的方法解决，由于点E，F，G，H，I，J，K，M都是动点，因此将会出现许多变量，解决起来会非常困难． 请大家每4人一组，在独立思考的基础上，讨论、探讨怎样把长方体的面展开成为平面图形？展开过程的思路与方法又是什么？最后又怎样解决问题？ 〖设计说明〗（1）先让学生在实际展开中暴露困难，然后说自己的困难之所在．（2）针对学生不知该如何具体展开，指出：展开的目的是为了使彩绳成为平面上一条折线，由于展开后必有两个面相连，因此应“找公共边、沿线逐步展开”；针对有2个面要展开2次，提醒学生充分利用空间想象，注意展开的逻辑顺序．（3）各组展示、说明自己的思考过程与展开图，教师作点评、校正． 6.3 用数学语言表达，求解模型 前面已经建构了解决实际问题的数学模型——长方体各面与彩绳的平面展开图，请对前面由实际操作得到结论给出数学解释． 〖设计说明〗（1）如图3，EF+FG+GH+HI+IJ+JK+KM+ME< （EB+BF）+（FP+PG）+（GC1+ C1H）+（HQ+QI）+（ID+DJ）+（JR+RK）+（KA1+ A1M）+（MS+SE）=2a+2b+4c；（2）展示学生的各种求解方式及其证明过程，教师作相应的点评、矫正；（3）通过讨论和教师动手操作演示，明确在理想的状态下，“扎紧”意味着整条彩绳的平面展开图是一条线段,即EF+FG+GH+HI+IJ+JK+KM+ME取最小值． 6.4 用批判精神反思，检验结果 上述数学模型一定合理吗？所得的结论一定成立吗？ 〖设计说明〗（1）提醒学生：数学建模应充分考虑实际情况的复杂性与多样性，应该有一个反思与检验的环节．（2）前面得到的结论是在一定的情境和条件下成立。当点E在边AB上运动时，这个结论是否仍然成立？图4表明，这个结论不一定成立。（3）当高大于长或宽的时候（如图5），上述结论又是否成立？图6表明，这个结论也不一定成立．（4）动手操作表明，当长方体的高大于长或宽时，采用花样捆扎，彩绳拉紧时因会滑出而无法捆扎． 6.5 尝试解决新问题，促进迁移 实际问题 为了对某长方体盒子进行防雨防潮处理，现用一种能防雨防潮的矩形薄膜对其进行包装，要求做到盒子表面全覆盖，问怎样包装能使所用的矩形薄膜面积最小（重叠或浪费的也计入）？ 〖设计说明〗（1）把实际问题转化为数学问题：如图7，设一个长方体的长、宽、高分别为a，b，c，且a≥b≥c，若一个矩形能覆盖这个长方体的表面展开图，则这个矩形的最小面积为多少？（2）问题的实质——使矩形面积最小问题，即重叠或浪费部分最小。（3）方法的实质——先把空间问题转化为平面问题，再通过比较不同的展开方式与覆盖方式，求矩形面积的最小值。（4）应让学生更多地进行操作与实验，因为“数学研究需要不断的观察和比较，它的主要武器之一是归纳，它经常求助于实际的试验与证实，同时它还对想象力与创造力进行最好的训练”[3]。（5）如图7，使长方体底面的边与矩形薄膜的边平行或垂直，把长方体的各面展开成平面图形。为了使浪费的面积最小，以长为a，宽为b这个面积最大的长方体的面为基础展开（如图8）．（6）检验反思，是否存在另外的展开方式，使矩形面积最小（如图9）？（7）学生活动：先独立思考，再动手操作，然后小组合作讨论，最后以小组为单位进行全班展示与交流．（8）由于时间紧，该问题课内无法完成，留给学生课外继续探究． （2）揭示数学建模背后隐性的思维过程与思维方法，形成图11，强调检验是数学建模必不可少的环节。 （3）数学建模的核心与关键是建立合理的数学模型，或者说，是借助数学模型解决实际问题；思维难点是建立合理的数学模型。 （4）数学建模是数学的意义与价值之所在，也是数学的力量之所在。 （5）动手操作、实验探究既是发现初步结论的重要手段，也是发现解决问题思路与方法的重要手段，切不可忽视其意义与价值． 7 目标达成检测 （1）如图12，现有一座圆锥形的小山，需要从山脚的甲村庄到其背面的山腰中点的乙村庄修建一条公路．如果山脚到山顶的距离为40km，山脚到其背面的山脚两底端的距离为60km，如何修建路程最短？ （2）古希腊地理学家埃拉托色尼（Eratosthenes,前275-前193）用下面的方法估算地球周长．他从书中得知，位于尼罗河第一瀑布的塞伊尼（现在的阿斯旺，在北回归线上）夏至那天正午立竿无影；同样在夏至那天，他所在城市、埃及北部的亚历山大城，立杆可测得日影角大约为7°（如图13）．埃拉托色尼猜想造成这个差异因为地球是圆的，并且因为太阳距离地球很远（现代科学观察得知，太阳光到达地球表面需要，光速300000 km/s），太阳光平行照射在地球上．根据平面几何知识，平行线内错角相等，因此日影角与两地对应的地心角相等．他又派人测得两地距离大约为 km，最后他估算地球周长约为40000km．[1]160你能猜测他的推理过程与方法吗？ （3）为了对某长方体盒子进行防雨防潮处理，现用一种能防雨防潮的矩形薄膜对其进行包装，要求做到盒子表面全覆盖，问怎样包装能使所用的矩形薄膜面积最小（重叠或浪费的也计入）？ 参考文献： [1]中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（2017年版）[S]．北京：人民教育出版社，2018. [2]蔡天新．数学简史[M]．北京：中信出版集团，2017：4-5． [3]弗赖登塔尔．作为教育任务的数学[M]．陈昌平，唐瑞芬，等，译．上海：上海教育出版社，1995：121.   |
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