(1)有交点，连半径,证垂直;(2)无交点，作垂直,证半径.证切线时辅助线的添加方法例1例2有切线时常用辅助线
添加方法(1)见切点，连半径，得垂直.切线的其它重要结论(1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;（2
）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.知识要点3.如图，在☉O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点
的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．4
5°2.如图所示，A是☉O上一点，且AO=5,PO=13,AP=12,则PA与☉O的位置关系是
.APO第2题PO第3题DABC相切C证明：连接OP.∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，∴∠OBP=∠C.∴OP∥AC.∵PE⊥
AC，∴PE⊥OP.∴PE为☉O的切线.4.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的☉O交边BC于
P，PE⊥AC于E.求证:PE是☉O的切线.OABCEP（1）直线与圆有公共点点时，连接半径，证垂直；
（2）直线与圆“无”公共点时，作垂直，证半径。1.经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.2.圆的切线垂直于过切点的
半径.证明一条直线是圆的切线时:收获与反思如图，AB是⊙O的直径，直线l经过点A，l与AB的夹角为∠α，当l绕点A旋
转时：⑴随着∠α的变化，点O到l的距离为d如何变化？直线l与⊙O的位置关系如何变化？⑵当∠α等于多少度时，点O到l的距离d
等于半径r？此时，直线与⊙O有怎样的位置关系？为什么？情境创设过圆上的一点A如何画圆的切线呢？直线l有什么特征？经过半
径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.l自主探究切线判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.O
A为☉O的半径BC⊥OA于ABC为☉O的切线.ＯABC切线的判定定理应用格式下列各直线是不是圆的切线？如
果不是，请说明为什么？O.AO.ABAO(1)(2)(3)(1)不是，因为没有垂直.(2),(3)不是，因
为没有经过半径的外端点A.在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.
注意判一判判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;2.数量关
系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；3.判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
lAlOlrd要点归纳1.判断下列命题是否正确.⑴经过半径外端的直线是圆的切线.（
）⑵垂直于半径的直线是圆的切线.（）⑶过直径的外端并且垂直于这条直
径的直线是圆的切线.
（）⑷和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.（）⑸过
直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线.（）××√√√【练习】例1△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的
直径，∠CAD=∠ABC，判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由.点拨纠正假设AB与CD不垂直,过点O作OM⊥CD,垂足为
M,则OMDB●OA所以AB与CD垂直.M自主探究如图,直线CD与⊙O相切于点A,直径AB与直线CD有怎样的位置关系?说说你
的理由.圆的切线垂直于经过切点的半径.例2PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C是⊙O上一点，
若∠P=40°,求∠C的度数.已知直线和圆相切时：常连接切点与圆心——过切点的半径。点拨纠正 1、如图，以点O
为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB切小圆于点P，PA与PB相等吗？为什么？才艺展示典例精析例1如图,直线AB是☉O上的点
A,且AB=OA，∠OBA=45°,AO=BA．求证：直线AB是☉O的切线.解析：直线AB经过半径的一端，因此只要证OA垂
直于AB即可.AOB证明：∵AB=OA，∠OAB＝45°，∴∠AOB＝∠OBA＝45°，∴∠OAB=90°.即
OA⊥AB.又∵点A在圆上，∴直线AB是☉O的切线.（切线的判定定理）如图,AB是☉O的直径,∠ABT=45°,AT=B
A．求证:AT是☉O的切线.ATBO证明：∵AT=AB，∴∠ABT＝∠ATB，又∵∠ABT＝45°，∴∠ATB=45
°.解析：AT经过直径的一端，因此只要证AT垂直于AB即可.∴AT是☉O的切线．∴∠TAB＝180°-∠ABT-∠A
TB=90°.即AT⊥AB.做一做例3点O是∠DPC的角平分线上的一点，⊙O与PD相切于A.说明：PC与⊙O相切.E
证明一条直线是圆的切线时:直线与圆“无”公共点时，过圆心作直线的垂线，证明垂线段的长等于半径.作垂直，证半径点拨纠正
例2已知：直线AB经过☉O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是☉O的切线.OBAC分析：由于AB过
☉O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可.证明：连接OC(如图).∵OA＝OB,CA＝CB,
∴OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.∴AB⊥OC.∵OC是☉O的半径,∴
AB是☉O的切线.典例精析例3如图,△ABC中，AB＝AC，O是BC中点，☉O与AB相切于E.求证：AC是☉
O的切线．BOCEA分析：根据切线的判定定理，要证明AC是☉O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OF是☉O的半
径就可以了，而OE是☉O的半径，因此只需要证明OF=OE.F证明：连接OE，OA,过O作OF⊥AC.∵☉O与AB
相切于E，∴OE⊥AB.又∵△ABC中，AB＝AC，O是BC中点．∴AO平分∠BAC，F
BOCEA∴OE＝OF.∵OE是☉O半径，OF＝OE，OF⊥AC.∴AC是☉O的切线．又OE⊥AB，OF⊥AC.2.如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，DE与AC有怎样的位置关系？为什么？才艺展示变：若DE⊥AC于E，则DE是⊙O的切线吗？（其他条件不变） |
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