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一文帮你弄懂定角定弦模型 广东深圳 杨 俊 问题：在△ABC中,∠A=60°,BC=2. ① 求△ABC周长的最值； ② 求△ABC面积的最值。 这个模型就是我们所谓的定角定弦模型,也就是在一个三角形中一个角和它的对边保持不变,在BC边固定的同时,虽然∠A的大小不变,但顶点A的位置可以发生变化,那么顶点A的位置如何变化可以保持∠A的大小不变呢？由初中平面几何知识可知:同弧所对的圆周角不变,故顶点A可以在△ABC的外接圆的BC这段弦所对的优弧上运动（不包括B,C两点）。 掌握了这个知识点,第二问就立刻可以得到解决,很明显,当高线AD过圆心时有最大的高,即h≤R+d其中d为圆心到弦BC的距离。 当然,我们也可以使用高中知识来解决这个面积的最大值问题。 由余弦定理可得 那周长的最大值如何求得呢？从图像上一下不容易确定取到最大值的位置,那么我们通过计算来求得该最值。 由正弦定理可得 可知,当△ABC为等边三角形时有最大周长6.由于B>0°,故周长最小值为4,即点A无限接近点B或者点C时有周长的最小值4,但注意这个最小值是取不到的。 总结:对于定角定弦模型,当等腰三角形时有最大的周长和面积。 那么,不掌握这个背景,直接使用不等式的知识能否解决问题呢？可以的。 故周长的最大值为6，当且仅当b=c即等腰的时候取等号。 那这个b+c的最大值有没有初等解法可以解决呢？可以的。 我们延长BA至点D,使AD=AC,连接DC,易得∠D=30°,很明显，当∠DCB=90°即BD为直径时有b+c最大值，此时b+c=4,即b+c的最大值为4. 那么,这里的全部内容你都搞清楚了吗？如果真的搞懂了,那么遇到下面这道题。 在△ABC中,b2+c2-bc=4. ①求△ABC周长的最值； ②求△ABC面积的最值。 你能识别出这本质就是∠A=60°,BC=2的定角定弦模型吗？ 【来源】公众号：邹生书数学。 （5）本公众号对优秀作者和名师一般会附上“作者简介”，以让广大读者更好地了解作者的研究成果和方向，以便进一步学习作者的相关数学思想或解题方法。
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