公众号“邹生书数学”创建于2018年8月28日。 开号宗旨:为热爱学习和研究的高中数学教师和教研员搭建学习交流平台,提升教学能力,促进专业发展。本公众号致力传播数学文化,发表教研成果,交流教学经验,探讨数学问题,展示解题方法,分享教学资源,为服务高中教学作贡献。 邹生书,男,1962年12月出生,本科学历,理学士学位,中学数学高级教师,黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月,在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等,二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。 专题复习 立体几何中的截面问题 湖北省安陆市涢东学校 胡云端 一、基本知识点 1.截面定义:在立体几何中,截面是指用一个平面去截一个几何体(包括圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥、长方体、正方体等等),得到的平面图形叫截面。其次,我们要清楚立体图形的截面方式,总共有三种,分别为横截、竖截、斜截。 2、正六面体的基本斜截面:
正六面体斜截面是不会出现以下几种图形:直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。 3、圆柱体的基本截面: 技能要求: 技能1.结合线、面平行的判定定理与性质定理求截面问题; 技能2.结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题; 技能3.猜想法求最值问题:要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征,“动中找静”:如正三角形、正六边形、正三棱锥等; 技能4.建立函数模型求最值问题:①设元②建立二次函数模型③求最值。 二、例题选讲: 例1.一个正方体内接于一个球,过这个球的球心作一平面,则截面图形不可能是( ) 分析:考虑过球心的平面在转动过中,平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方形,故选D。 例2.有一容积为1 立方单位的正方体容器ABCD-A1B1C1D1,在棱AB、BB1及对角线B1C的中点各有一小孔E、F、G,若此容器可以任意放置,则该容器可装水的最大容积是( ) 例3【云南省昆明市2019-2020学年高三下学期1月月考数学】 某同学在参加《通用技术》实践课时,制作了一个工艺品,如图所示,该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4√3的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合),若其中一个截面圆的周长为4π,则该球的半径是( ) 故选:C. 例5【2020届重庆南开中学高三第五次教学质量检测考试数学文科试题】 【分析】首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱,所以与12条棱所成角相等,只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可,从而判断出面的位置,截正方体所得的截面为一个正六边形,且边长是面的对角线的一半,应用面积公式求得结果. 例9【新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市2019-2020学年高三第一次诊断性测试数学文试题】 例11(2013安徽高考理)如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号). 故⑤正确. 【答案】①②③⑤ 例12(2020南昌二模)已知正四棱锥P﹣ABCD中,△PAC是边长为3的等边三角形,点M是△PAC的重心,过点M作与平面PAC垂直的平面α,平面α与截面PAC交线段的长度为2,则平面α与正四棱锥P﹣ABCD表面交线所围成的封闭图形的面积可能为 (请将可能的结果序号横线上) ①2; ②2√3; ③3; ④3√3. 【分析】设AC∩BD=O,由P﹣ABCD为正四棱锥,知BO⊥平面PAC,过M作MT∥BO,分别交PB、PD于点T、L,则MT⊥平面PAC,只需所作的平面α是包含TL且与截面PAC交线段的长度为2即可,数形结合,作出截面即可得到答案. 【解答】设AC∩BD=O,∵P﹣ABCD是正四棱锥,∴平面PAC⊥平面ABCD,又BO⊥AC,平面PAC∩平面ABCD=AC,BO⊂平面ABCD,∴BO⊥平面PAC,过M作MT∥BO,分别交棱PB、PD于点T,L,则MT⊥平面PAC,由题意只需所作的平面α是包含TL且与截面PAC交线段的长度为2即可,又△PAC是边长为3的等边三角形,点M是△PAC的重心,过M作MQ∥AC,分别交棱PA、PC于点E,Q, 如图2,过T作TH∥GF,过L作LQ∥GF,由题意得GLQHT为满足题意的平面α,GLQF和GTHF是两个全等的直角梯形,T,H分别为GE、EF的中点, 【作者简介】胡云端,男,理学学士,高中数学奥赛二级教练员。先后任教于湖北省某县一中、广东省重点高中、市直学校。 |
|