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我们在先前的内容当中已经讲过最小的尺度planck尺度它只有10的负35次方米 我们也讲到最大的尺度可见宇宙的大小，它可以达到10的26次方米 我们可以看到它差了60几个量级所以我们在这里可以问大家一个问题 如何在一个坐标轴上把这两个不同的尺度给它做出来呢？ 是否能够通过普通的线性坐标来做出来？ 显然是不可能的 我们可以通过对数坐标的方式，给出这样一个解答。 对于对数坐标 比方说我们在这里就做了一副对数的坐标 在这个图当中我们很容易可以标出planck尺度和可见宇宙大小 所以对于这样一个对数坐标的优点，我们也非常非常的清楚。 它可以同时跨越几个量级，那么它的刻度是以倍数来递增。 无论数值的大小，我们均可以在这样一个范围当中做出来。 我们刚刚还提到了质量 质量是物理学当中一个基本量，是物体所具有的一种属性，是物质的量的一种量度。 所以我们在这里可以考虑，以这样一个尺度或者说物体的半径作为横坐标，以质量作为纵坐标来做一个双对数图。 在这样一个双对数图做出来之后 我们来可以看看它会有什么样的特点呢？ 显然它会满足对数坐标的优点，它的坐标轴可以跨越量级。 可以同时在图当中再现极大和极小的一些细节上的特征。 另外一个优点是什么呢？ 它可以把一些幂律的关系表现为线性的关系 接下来我们以引力半径作为例子，当然引力半径本身就是一个线性的关系。 R正比M的一次方，我们把它取对数坐标之后会怎样呢？ 那么可以写成lg m等于lg rg，然后再减去一个常数。 所以我们在这样一个双对数图当中看到，可以把它做出来是从左下到右上这样一条斜线。 在这个斜线左上方的区域，对应的实际上是黑洞视界范围以内的这样一个区域 实际上也是我们人类看不到的地方 除此之外我们还可以给出一个量，这个量可以表征引力场它的强和弱。 这个量是如何来给的呢？我们通常会以天体真实的半径比上天体的引力半径来表征，那么在图当中天体真实的半径R比上引力半径RG，如果为一个常数的时候，那么它也就表征为一个引力半径平行的一组线。 所以说，离这样一个黑洞的引力半径越近，那么它的引力场就越强。 离这样一个黑洞的引力半径越远，那么天体的引力场就越弱。 对于这两种不同的情况，一个在强场的情况下会要用爱因斯坦的广义相对论来研究 而对于弱场，我们就可以用牛顿引力理论来研究它。 那么我们在这里来看给出地球的情况 当如果我们所考察所研究的对象离地球的表面很近，范围很小，我们可以用均匀的引力场来表征。 所以说我们在地表附近引力式，我们通常可以写成mgh来表征。 但是如果我们考察这样一个运动的范围比较大，尺度比较大的时候。 我们就需要考察这样一个地球，它的引力场是一个球对称的引力场，那么它的引力势，就是跟r的负1次方有关。 所以我们刚刚说表示引力场的强弱，认为是天体真实的半径和引力半径二者的比值，就是拿天体的引力半径比上它真实的半径的比值。 我们接下来就可以把这个形式进行改写，我们可以把这个式子上式和下式统统乘以这样某一个质量为m的粒子。 我们就可以看到，在这个分子的上面，代表的是一个质量为m的粒子在天体表面的引力势的大小。 而它的分母就表示一个粒子静止质能的大小，所以说一个天体它的引力场强和弱，可以用某一个物体在天体表面它的引力势能的大小，与其静止质能的大小的比值来表征。 我们还可以在这样一个双对数图当中，做出这样一个康普顿波长，那么康普顿波长它是表示约化planck常数除以粒子的质量乘以光速。 所以取了这样的对数之后，那么它在图当中可以表现成为斜率为负1的这一条线我们用红线把它表示出来。 那么它与这样引力半径交点的位置，就是我们在先前课程当中所提到的planck长度和planck质量。 显然在这样一个planck尺度以下，我们可以看到引力半径，它就比最小的德布罗意波长要短了。 所以在这图当中左边的这个区域。我们就需要考虑量子的效应，时空量子的效应。 那这也是我们目前，并不是很清楚的这样一个领域，或者说研究并不是非常成熟的这样的领域。 当然在这幅图当中，我们还可以做出可见宇宙的大小。 显然它实际上是跟纵坐标平行的位置，在这一个阴影的区域，代表的就是我们宇宙视界之外。 也是我们目前看不到的地方，所以我们在这个图当中还可以留意可见宇宙的大小跟引力半径相交的位置。 那么我们会知道，它也代表的是我们可见宇宙当中，所包含的所有的物质的质量。 它对应着可以形成10的11次方个星系，10的22次方颗恒星，所以我们把极大和极小都可以把它画到这样一个双对数图上。 我们给出了可见宇宙的大小 给出了planck尺度的大小 还给出了黑洞的视界的范围 所以说我们人类可以看到的地方，仅仅是图当中橙色所表征的区域。 这样一个区域对应的也就是我们自然界当中。物质所处的区域。 当然我们还可以再对这幅图，来进行进一步地深挖，我们在这幅图当中，可以给出等质量密度的曲线来。 质量密度可以表征为物体的质量除以它的体积，或者可以表征为物体的质量除以它的尺度的立方。 所以取了对数之后，那么在这幅图当中它应该对应的是，一些斜率等于3的一些平行线。 我们在图当中可以标记出质子和原子、氢原子的大小。 比方说质子的大小它的质量1.67乘10`-27次方千克，它的半径10`-15次方米 那么沿着这个点，一个斜率为3的这样一条线，表征的就是原子核的质量密度，那么这个密度可以达到10`14次方克每立方厘米。 同样，我们可以给出氢原子质量的曲线。 因为它对应的密度是1.4克每立方厘米，所以像我们所熟知的物质的世界，主要会表现在原子的质量密度曲线之上。 而对于这个原子核的质量密度曲线上呢？ 它的最下头对应着我们原子、原子核的尺度，而在它非常非常接近于引力半径的地方，它可能还对应着某些天体。 当然我们这一幅图当中，还可以把穿过宇宙的视界和引力半径交点的位置，这个平均密度的曲线可以做出来。 这个平均密度对应的是我们宇宙临界密度的大小，是非常非常的小，只有10`-29次方克每立方厘米。 我们还可以把图当中我们感兴趣的天体物理的区域放大来看，在这幅当中我们可以看到有我们的地球，有我们所熟知的恒星，还有星系以及星系团。 当然我们在这幅图当中还可以看到，在非常非常接近黑洞视界的地方，那么还会存在有中子星，它差不多正好是落在原子核的密度上。 所以说从某种意义上来说，中子星是我们自然界当中硕大无比的原子核。 所以在双对数图当中，我们可以把自然界当中各种各样稳定的结构都展现出来。 |
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