【原】4.2行星上最高的山有多高

各位同学大家好 这一讲的内容是

行星上的山能够有多高，我们已经进入到宏观的尺度，我们知道随着粒子数的增多，我们实际上知道了很多的一个概念，叫做星球。

比方说有星球大战等等星球，那么在这里，很自然会问大家一个问题，天体它为何是球形的？

比方说我们看到的恒星，它为何都是一些球状的或者是类球状的物体，当然你不能告诉我说恒星它是一个气体星球，它是一个气筒给它打出来。

这绝非可能，我们再回到尺度和质量的双对数图当中来看，在这幅图当中，我们给出了两条等质量密度的线，红色的对应的是核质量密度线，浅蓝色对应的是原子的质量密度线

把我们注意力重点，关注在原子的质量密度线上，我们会发现对太阳系内，几乎所有的天体，甚至所有的物质，它的平均密度，都落在3克每立方厘米附近，或者说它的平均密度跟氢原子的平均密度非常非常接近，它内部的原因是什么呢？

当然我们还可以来看一看，随着粒子数目的增加，它的这样一个，所形成的这样一个物体，它的形态也会发生一些变化。

比方说当粒子数目非常少的时候，比方说我们这里看到了水晶，虽然它是一个晶体，但是它的形态可以有各种各样的形态。

那么当它质量大一点，比方说我们看到了有一颗小行星，如艳后星，它的形状，跟一根骨头的形状很类似，但如果当粒子数更多，以主带小行星当中，最大的一颗谷神星作为例子来看，显然它就变成了一个球形。

所以我们应该有个概念，随着粒子数目的增多，天体它会逐渐逐渐变为球形，所以我们按照上面的表格，我们知道从尘埃的颗粒，变成岩石，变成金属，变成小行星，甚至变成行星，这当中变化的最显著的一个东西，就是粒子的数目在增加。

当然我们前面也讲到了，所有的这些物体它的质量密度，差不多都是3克每立方厘米，与氢原子的质量密度接近。

所以我们在这里可以做一个近似，我们认为这些物体它的粒子间间距，均取作Bohr的轨道半径。

这样一来，那么这个物体它的质量呢，就可以写成，N总的粒子数乘以质子的质量，物体的半径就可以写成粒子数的1/3次方，乘以Bohr轨道半径。

有了这两个关系之后，我们就可以把这样一个天体，它的引力能它的简并能，以及它的库仑能对于这三组能量。

引力能对粒子数目的依赖，是N的5/3次方有关，而后两种是跟总的粒子数的N次方有关，所以说对于这一些尘埃，固体，岩石，这一些粒子数目不多的粒子而言，它的引力能相对很微弱，所以万有引力几乎无关紧要，我们可以不用考虑，所以这些物体它形态可以不规则，可以是非球形的。

但是如果随着粒子数逐渐逐渐增多，引力能越来越重要，它有一个显著的效果，这实际上是我们看到的一些小行星，有Ida小行星 有Gaspra，还有糸川等等。

这些小行星它的形态都不规则，我们还可以看到有一些卫星，比方说木卫二 欧罗巴，像这些形态规则，不规则，它最主要的原因，就是引力在这里起作用

行星上的最高的山可以有多高？

它是否可以再高一点，比方说我们地球上所看到最高的山，是喜马拉雅山的珠穆朗玛峰，它可以达到8000多米

对于这个问题，结合我们前面所讲的物态，我们在前面的内容当中介绍到，通过升温可以使得固体液化

比方说加热，叫做融点能，这个能量，等于它的库仑能的1/170，如果当融点能够达到，它的库仑能的1/170的时候。

当然这样一个过程，可以通过施压而实现它，这样一来我们可以想象，比方说一座山，长在一个球形天体的表面，这个山的高度为h，显然这个山的高度不能够过高，如果当这座山过高的话，那么这个山的底部，它的压强就会非常非常大，也就是单位体积，它所作用的能量非常大。

它就会产生一个效果，它会使得其底部液化或者说会碎裂掉。

所以我们可以做一个简化的模型，当然这个简化的模型极度简化，我们仍然认为，天体表面的这个引力是个均匀的引力场。

所以山的底部它所受到的压强的大小是多少呢？

那么就是{\rho}gh，这样一个压强，是单位体积所赋予的能量的这个能量大小是多少呢

我们就可以写为，这个能量是等于h乘以A，再乘以质子质量 再乘以g，么A代表的这样一个行星，它所构成的主要成分的，分子量的大小，如果作用在粒子上的能量，小于它的融点能的时候，山就可以维持结构。

如果大于融点能的时候，山的底部就会液化，或者会碎裂，所以它一定会有一个最高的山对于行星表面的引力加速度呢，严格来说它应该随着r，是个变化的值，我们做一个极度的简化来处理，我们就把它小g，取成质量除以天体半径R的平方，我们把这个式子用总的粒子数代进去，以及粒子之间间距代进去，所以我们可以给它改写。

在这种情况下，粒子间间距取多少呢？

我们取y乘以a0，代表分子之间的间距的大小，对于像地球这样一个固体，固态的，类地的行星，它绝大部分，都是由二氧化硅和铁所组成。

所以我们可以把A取作60，这个y可以取作4，那么有了这两个公式，注入的能量，要小于融点的能量，所以我们很容易就可以导出，给定的这样一个行星有N个粒子，或者说总质量为M这样一个行星，它的表面所允许的最高的山的高度，对于这个最高的山的高度，跟质量之间的关系，我们可以看出来，它是跟这个天体的质量，负的1/3次方有关。

我们可以想象，如果一个天体它的质量越大，表面引起就来得越强天体，所允许的最高的山，所以说这实际上是它的一个特征。

所以我们可以想象，对一些非常非常小质量的天体，它或许会看到一些深沟险壑，我们把这样一个公式，我们把它具体用到我们地球上，我们可以把地球的质量给它代进去

我们可以给出地球上，所允许的最高的山，可以达到多高呢，可以达到43公里的大小，当然这个高度，远远地高过珠穆朗玛峰的高度，当然要注意，我们这是一个极度简化的模型，不管怎么说，它应该还是比较合理的。

至少我们给出地球所允许的山，没有比珠穆朗玛峰还来得低，我们对于这样一个，行星上最高的山的这样一个问题。

我们还可以做一个引申，我们说小行星它的形态不规则，而对于行星它的形态规则，它会变为球形，所以说我们需要把这样一个，什么样的一个形态是个球形，我们需要把它做一个量化的指标。

我们在这里，做一个非常非常粗浅的简略的量化，我们认为一个天体它怎样是球形呢？

很简单，我们给定一个半径为R的，这样一个星球和球体，如果这样一个天体它上面的山的高度，这样一个天体的半径相当，那么就认为它可能就不是球了。

如果它允许这样一个高度，比它的半径要大很多，那么它就是一个非球形了，如果它允许最高的山的高度，比这样一个球半径来得小，那么它就是个球形的。

那么把这一相结合我们就可以给出，使得天体变为球形和非球形的分界，这个分界也就是行星的这样一个分界，或者说行星的质量下限，我们代入具体的物理参数，就可以给出来，它差不多是我们地球质量的1/1000。

所以我们看到的谷神星，它确确实实就是一个行星，一个球形的这样一个天体。

对于岩石行星似乎还存在一个上限，差不多是14个地球质量的大小，对于这个上限它的原因是什么？

大家可以去思考

当然我们还可以进一步，分析这样一个问题，随着粒子数目更进一步地增多，可能还可以给出行星的质量上限。

比方说我们给出一个判断，如果当这样一个行星，它内部组成物质的简并能，跟行星的引力能相当的时候，我们来确定行星的这样一个上限。

那么我们就可以给出行星的质量上限，会落在1/1000个太阳的质量的位置，那么这样一个质量，跟我们木星的质量就非常非常的接近，我们再次回到了这样一个，质量和尺度的这幅图当中。

我们把我们的注意力放到，原子的等密度的曲线上，随着这样一个粒子数目的增多，它的半径增大，随着这个引力的作用，逐渐逐渐地增强，它会使得这样一个物体逐渐会拉为球形，随着粒子数进一步地增大，引力会显著改变天体内部的结构，所以说我们会逐渐步入到，恒星的层次。