【原】《測圓海鏡》﹝諸差7﹞之明雙差、 雙差等式說

《測圓海鏡》﹝諸差7﹞之明雙差、雙差等式說

上傳書齋名：瀟湘館112  Xiāo Xiāng Guǎn 112

何世強 Ho Sai Keung

提要：《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰，其書之“圓城圖式”含十四勾股形，連同原有之大勾股形共十五勾股形。本文著重明雙差、雙差之相關等式及其証明。

關鍵詞：明雙差、雙差、明差、虛黃、極雙差

《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰，書成於 1248 年，時為南宋淳祐八年。該書卷一“圓城圖式”主要討論與十五勾股形相關之等式，本文介紹其部分等式並作出証明。

本文所引用之勾股式源自“圓城圖式”之十五勾股形，a₁、b₁、c₁ 乃最大勾股形天地乾之勾、股及弦長。故 a₁、b₁、c₁ 又稱為大勾﹝地乾﹞、大股﹝天乾﹞及大弦﹝天地﹞。

《測圓海鏡》涉及一系列之勾股恆等式，所有恆等式皆與十五勾股形有關。十五勾股形中最大者為天地乾，其三邊勾股弦分別以 a₁、b₁、c₁ 表之，其餘十四勾股形三邊勾股弦則分別以 a_i、b_i、c_i 表之，其中 1 < i ≦ 15。但 a_i、b_i、c_i 均可以 a₁、b₁、c₁ 表之，此乃《測圓海鏡》之精髓。注意勾股定理成立，即  a_i² + b_i² = c_i²。

有關以 a₁、b₁、c₁ 表 a_i、b_i、c_i 之式可參閱筆者另文〈《測圓海鏡》“圓城圖式”之十二勾股弦算法〉。

以下左為“圓城圖式”右為“圓城圖式十五句股形圖”。

注意圓徑為 a₁ + b₁ – c₁，見上圖之東南西北圓。圓徑乃十五勾股形三邊重要因子之一，其他因子為最大勾股形之勾股較、勾弦較及股弘較。

本文主要談及十五勾股形有關三邊相差之等式，其中部分等式曾在“五和五較”等式中出現，可參閱筆者相關之文章。

注意等式 (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) = (a₁ + b₁ – c₁)²﹝雙差積圓徑平方半等式﹞。

本文取自《測圓海鏡‧卷一‧諸差》。筆者有以下之文涉及〈諸差〉：

《測圓海鏡》之大差差、小差差等式﹝諸差1﹞

《測圓海鏡》之髙差、旁差、極雙差等式﹝諸差2﹞

《測圓海鏡》之極差等式﹝諸差3﹞

《測圓海鏡》之角差及虛差等式說﹝諸差 4﹞

《測圓海鏡》﹝諸差5﹞之髙差、黃廣及黃長等式

《測圓海鏡》﹝諸差6﹞之邊弦、底弦等式說

本文乃以上六文之延續。

以下為有關“明雙差”及“雙差”相關之等式：

明雙差亦為明二大差。其較則明差也。雙差亦為明二小差。其較則差也。明雙差內減明差即虛黃。雙差上加差亦同上。以明雙差加明和即兩明弦。以雙差加和則兩弦也。以明雙差減明和而半之即明黃又為虛大差。以雙差減於和而半之即黃，又為虛小差也。以虛大差減明和即為明弦。以虛小差減和即弦也。明雙差雙差相較則次差也。明雙差雙差相併，加於明二和共則為兩個極雙差。若以減於明二和共則為兩個虛雙差也。明雙差上加虛雙差即明二股共。雙差上加虛雙即明二勾共也。

以下為各條目之証明：

明雙差亦為明二大差。

“明雙差”指明弦勾弦較與明弦股弦較之和。明弦在勾股形日月南 14。

明弦勾弦較 = c₁₄ – a₁₄ =(b₁ – c₁ + a₁) (c₁ – a₁)²。

明弦股弦較 = c₁₄ – b₁₄ =(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(c₁ – b₁) 。

所以明雙差，即：

(b₁ – c₁ + a₁) (c₁ – a₁)² + (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(c₁ – b₁)

=(b₁ – c₁ + a₁) (c₁ – a₁)[(c₁ – a₁) + (c₁ – b₁)]

=(b₁ – c₁ + a₁) (c₁ – a₁) (2c₁ – a₁ – b₁) #。

明大差即明弦勾弦較 =(b₁ – c₁ + a₁) (c₁ – a₁)²。

大差即弦上勾弦較 = c₁₅ – a₁₅。

c₁₅ – a₁₅ = (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) – (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ + a₁ – c₁)

= 明弦股弦較。

明大差+ 大差

= (b₁ – c₁ + a₁) (c₁ – a₁)² + (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ + a₁ – c₁)

= (b₁ – c₁ + a₁)(c₁ – a₁)[(c₁ – a₁) + (c₁ – b₁)]

=(b₁ – c₁ + a₁) (c₁ – a₁) (2c₁ – a₁ – b₁) #。

所以明弦勾弦較+ 明弦股弦較 = 明大差 + 大差。

其較則明差也。

“其較”指明弦勾弦較與明弦股弦較之差，即：

(b₁ – c₁ + a₁) (c₁ – a₁)² – (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(c₁ – b₁)

=(b₁ – c₁ + a₁) (c₁ – a₁)[(c₁ – a₁) – (c₁ – b₁)]

=(b₁ – c₁ + a₁) (c₁ – a₁)(b₁ – a₁) #。

“明差”指明弦勾股較。

明弦勾股較=b₁₄ – a₁₄= (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) –(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

= (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[–]

=(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(b₁ – a₁) #。

比較兩式可知相同，所以明雙差與明二大差之差 = 明差。

雙差亦為明二小差。

“雙差”指弦上勾弦較加弦上股弦較。

弦上勾弦較 = c₁₅ – a₁₅

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) – (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)[ – 1]

= (c₁ – b₁)(b₁ + a₁ – c₁)[c₁ – a₁]

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ + a₁ – c₁) 。

弦上股弦較 = c₁₅ – b₁₅ 。

c₁₅ – b₁₅= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) –(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)[– 1]

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(c₁ – b₁)

= (c₁ – b₁)²(a₁ – c₁ + b₁) 。

弦上雙差

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ + a₁ – c₁) + (c₁ – b₁)²(a₁ – c₁ + b₁)

= (c₁ – b₁)(b₁ + a₁ – c₁)[(c₁ – a₁) + (c₁ – b₁)]

=(c₁ – b₁)(b₁ + a₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁) #。

明小差即明弦股弦較 = c₁₄ – b₁₄ 。

c₁₄ – b₁₄= (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) – (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

= (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[– 1]

=(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(c₁ – b₁) 。

“小差”指弦上股弦較 = c₁₅ – b₁₅ 。

c₁₅ – b₁₅= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) –(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)[– 1]

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(c₁ – b₁)

= (c₁ – b₁)²(a₁ – c₁ + b₁) 。

明小差 + 小差，即：

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(c₁ – b₁) + (c₁ – b₁)²(a₁ – c₁ + b₁)

= (b₁ – c₁ + a₁)(c₁ – b₁)[(c₁ – a₁) + (c₁ – b₁)]

= (b₁ – c₁ + a₁)(c₁ – b₁)(2c₁ – a₁ – b₁) #。

比較兩式可知相同，所以雙差 = 明二小差。

其較則差也。

“其較”指雙差之較 = 勾弦較 – 股弦較

= (c₁₅ – a₁₅) – (c₁₅ – b₁₅)

= c₁₅ – a₁₅ – c₁₅ + b₁₅

= b₁₅ – a₁₅。

以上即差，即弦上勾股較。

弦上勾股較 = b₁₅ – a₁₅

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) – (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(–)

=(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ – a₁) #。

明雙差內減明差即虛黃。

明雙差= 明弦股弦較 + 明弦勾弦較 = (c₁₄ – b₁₄) + (c₁₄ – a₁₄)；

明差= b₁₄ – a₁₄；

明雙差內減明差即(c₁₄ – b₁₄) + (c₁₄ – a₁₄)– (b₁₄ – a₁₄)

= c₁₄ – b₁₄ + c₁₄– a₁₄ – b₁₄ + a₁₄

= 2(c₁₄ – b₁₄)

= 2 ×(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(c₁ – b₁) ﹝見前條﹞

=(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(c₁ – b₁) 。

“虛黃”即太虛弦三事較 = 弦和較 = b₁₃ + a₁₃ – c₁₃。

–       c₁₃ + b₁₃ + a₁₃

= – (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) +(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) + (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

=(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(– c₁ + b₁ + a₁)

=(a₁ + b₁ – c₁)²(– c₁ + b₁ + a₁) ﹝雙差積圓徑平方半等式﹞。

所以明雙差內減明差 = 虛黃。

雙差上加差亦同上。

雙差上加差 = 勾弦較 + 股弦較 + 勾股較

= (c₁₅ – a₁₅) + (c₁₅ – b₁₅) + (b₁₅ – a₁₅)

= c₁₅ – a₁₅ +c₁₅ – b₁₅ + b₁₅ – a₁₅

= 2(c₁₅ – a₁₅)

= 2 ×(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ + a₁ – c₁)﹝見前條﹞

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ + a₁ – c₁)。

此式同上。

以明雙差加明和即兩明弦。

已知明弦﹝在勾股形日月南 14﹞勾弦較=c₁₄ – a₁₄。

c₁₄ – a₁₄ = (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) –(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[– 1]

=(b₁ – c₁ + a₁)(c₁ – a₁)(c₁ – a₁)

=(b₁ – c₁ + a₁) (c₁ – a₁)²。

明弦股弦較 = c₁₄ – b₁₄

= (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) – (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

= (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[– 1]

=(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(c₁ – b₁) 。

所以明雙差

=(b₁ – c₁ + a₁) (c₁ – a₁)² + (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(c₁ – b₁)

=(b₁ – c₁ + a₁) (c₁ – a₁)[(c₁ – a₁) + (c₁ – b₁)]

=(b₁ – c₁ + a₁) (c₁ – a₁)(2c₁ – a₁ – b₁)。

已知“明和”即明弦勾股和。

明弦勾股和=b₁₄ + a₁₄ = (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) +(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

= (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[+]

=(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(a₁ + b₁) 。

明雙差加明和

=(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(a₁ + b₁) + (b₁ – c₁ + a₁)(c₁ – a₁)(2c₁ – a₁ – b₁)

= (b₁ – c₁ + a₁)(c₁ – a₁)[(a₁ + b₁) + (2c₁ – a₁ – b₁)]

= (b₁ – c₁ + a₁)(c₁ – a₁) × 2c₁

=(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

已知明弦 = c₁₄ =(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

兩明弦 = (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

所以以明雙差加明和 = 兩明弦。

另法：

明雙差+ 明和 = 明弦勾弦較 + 明弦股弦較 + 明弦勾股和

= (c₁₄ – a₁₄) + (c₁₄ –b₁₄) + (a₁₄ + b₁₄)

= c₁₄ – a₁₄ +c₁₄ – b₁₄+ a₁₄ + b₁₄

= 2c₁₄。

以上即為兩明弦。

以雙差加和則兩弦也。

雙差 + 和 = 弦勾弦較 +弦股弦較 + 弦勾股和

= (c₁₅ – a₁₅) + (c₁₅ – b₁₅) + (a₁₅ + b₁₅)

= c₁₅ – a₁₅ +c₁₅ – b₁₅+ a₁₅ + b₁₅

= 2c₁₅。

以上即為兩弦。其實以上之形式任何勾股形皆適用。

以明雙差減明和而半之即明黃，又為虛大差。

以明雙差減明和而半之

= (明和 – 明雙差) = [明和 – (明弦勾弦較+ 明弦股弦較)]

= {(a₁₄+ b₁₄)– [(c₁₄ – a₁₄) + (c₁₄ – b₁₄)]}

= [a₁₄ + b₁₄ – (c₁₄ – a₁₄) – (c₁₄ – b₁₄)]

= (a₁₄ + b₁₄ – c₁₄ + a₁₄– c₁₄ + b₁₄)

= a₁₄ + b₁₄– c₁₄。

以上即為明黃，或稱之為明黃方，又名明弦三事較，又名明弦弦和較。

明弦三事較 = 弦和較 =b₁₄ + a₁₄ – c₁₄。

b₁₄ + a₁₄ – c₁₄

= –(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) + (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) +
(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

=(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[ –++]

=(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)( – c₁ + b₁ + a₁)

=(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)²

= (c₁ – a₁)(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)² #。

“虛大差”即太虛勾弦較。

太虛勾弦較=c₁₃ – a₁₃= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) –(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

=(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)[– 1]

=(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(c₁ – a₁)

=(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)² #。

所以以明雙差減明和而半之 = 明黃 = 虛大差。

以雙差減於和而半之即黃，又為虛小差也。

以雙差減和而半之，即：

(和 – 雙差) = [和 – (弦勾弦較 +弦股弦較)]

= {(a₁₅+ b₁₅)– [(c₁₅ – a₁₅) + (c₁₅ – b₁₅)]}

= [a₁₅ + b₁₅ – (c₁₅ – a₁₅) – (c₁₅ – b₁₅)]

= (a₁₅ + b₁₅ – c₁₅ + a₁₅– c₁₅ + b₁₅)

= a₁₅ + b₁₅– c₁₅。

以上即為黃。黃即弦三事較

弦上三事較即弦上弦和較 = (b₁₅ + a₁₅) – c₁₅ = b₁₅ + a₁₅ – c₁₅。

b₁₅ + a₁₅ – c₁₅

= –(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) +(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)
 +(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)[ –+ +]

=(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)( – c₁ + b₁ + a₁)

=(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)²

= (c₁ – a₁)(c₁ – b₁)(c₁ – b₁) ﹝雙差積圓徑平方半等式﹞

=(c₁ – b₁)²(c₁ – a₁) #。

虛小差即太虛股弦較

太虛股弦較= c₁₃ – b₁₃ = (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) – (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)[– 1]

= (c₁ – a₁)(c₁ – b₁)(c₁ – b₁)

= (c₁ – a₁)(c₁ – b₁)² #。

比較兩式，可知弦上三事較 = 太虛上股弦較。

以虛大差減明和即為明弦。

已知虛大差即太虛勾弦較，明和即明弦勾股和。

明弦勾股和=b₁₄ + a₁₄ = (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) +(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

= (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[+]

=(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(a₁ + b₁) 。

太虛勾弦較=c₁₃ – a₁₃= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) –(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

=(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)[– 1]

=(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(c₁ – a₁)

=(b₁ – c₁ + a₁)²(c₁ – a₁)。

虛大差減明和，即：

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(a₁ + b₁) –(b₁ – c₁ + a₁)²(c₁ – a₁)

= (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[(a₁ + b₁) – (b₁ – c₁ + a₁)]

= (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(a₁ + b₁ – b₁ + c₁ – a₁)

= (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) × c₁

= (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) #。

日月為明弦﹝簡稱明弦﹞：c₁₄ = (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) #。

所以以虛大差減明和 = 明弦。

以虛小差減和即弦也。

“虛小差”指太虛股弦較。

太虛股弦較= c₁₃ – b₁₃ = (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) – (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)[– 1]

= (c₁ – a₁)(c₁ – b₁)(c₁ – b₁)

= (c₁ – a₁)(c₁ – b₁)²

= (a₁ – c₁ + b₁)²(c₁ – b₁) ﹝雙差積圓徑平方半等式﹞。

“和”指弦上勾股和 = b₁₅ +a₁₅ 。

b₁₅ + a₁₅ = (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) +(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(+)

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ + a₁) 。

以虛小差減和，即：

(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ + a₁) –(a₁ – c₁ + b₁)²(c₁ – b₁)

=(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)[(b₁ + a₁) – (a₁ – c₁ + b₁)]

=(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ + a₁ – a₁ + c₁ – b₁)

=(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) × c₁

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) #。

已知山川弦﹝簡稱弦﹞：c₁₅ =(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) #。

所以以虛小差減和 = 弦也。

明雙差雙差相較則次差也。

已知明雙差 = (b₁ – c₁ + a₁)(c₁ – a₁)(2c₁ – a₁ – b₁)。

弦上勾弦較 = c₁₅ – a₁₅

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) – (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)[ – 1]

= (c₁ – b₁)(b₁ + a₁ – c₁)[c₁ – a₁]

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ + a₁ – c₁) 。

弦上股弦較 = c₁₅ – b₁₅ 。

c₁₅ – b₁₅= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) –(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)[– 1]

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(c₁ – b₁)

= (c₁ – b₁)²(a₁ – c₁ + b₁) 。

弦上雙差，即：

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(b₁ + a₁ – c₁) + (c₁ – b₁)²(a₁ – c₁ + b₁)

= (c₁ – b₁)(b₁ + a₁ – c₁)[(c₁ – a₁) + (c₁ – b₁)]

=(c₁ – b₁)(b₁ + a₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)。

明雙差雙差較，即：

(b₁ – c₁ + a₁) (c₁ – a₁) (2c₁ – a₁ – b₁) –
(c₁ – b₁)(b₁ + a₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)

=(b₁ + a₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)[(c₁ – a₁) – (c₁ – b₁)]

=(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)[c₁ – a₁ – c₁ + b₁]

=(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)(b₁ – a₁) #。

明二差共名次差。

明差指明勾與明股之差，明勾與明股之式見前。

明差 = b₁₄ – a₁₄ = (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) – (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

= (c₁ – a₁)( a₁ + b₁ – c₁)[–]。

差指勾與股之差，勾與股之式亦見前。

差 = b₁₅ – a₁₅ = (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) – (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

=(c₁ – b₁)( a₁ + b₁ – c₁) [–]。

二差共 = 明差 + 差

= (c₁ – a₁)( a₁ + b₁ – c₁)[–] + (c₁ – b₁)( a₁ + b₁ – c₁) [–]

= ( a₁ +b₁ – c₁)[–](c₁ – a₁ + c₁ – b₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁) #。

上式是為次差。故明雙差雙差相較= 次差。

明雙差雙差又相併，加於明二和共，則為兩個極雙差。

明雙差雙差共

=(b₁ – c₁ + a₁) (c₁ – a₁) (2c₁ – a₁ – b₁) +
(c₁ – b₁)(b₁ + a₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)

=(b₁ + a₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)[(c₁ – a₁) + (c₁ – b₁)]

=(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)[c₁ – a₁ – b₁ + c₁]

=(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)²。

已知明弦勾股和是為明和 = b₁₄ + a₁₄ 。

b₁₄ + a₁₄ = (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) +(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)

= (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)[+]

=(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(a₁ + b₁) 。

弦上勾股和是為和 = b₁₅ + a₁₅ 。

b₁₅ + a₁₅ = (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁) +(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(+)

= (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ + a₁) 。

明二和共，即：

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)(a₁ + b₁) + (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)(b₁ + a₁)

= (b₁ – c₁ + a₁)(a₁ + b₁)[ (c₁ – a₁) + (c₁ – b₁)]

= (b₁ – c₁ + a₁)(a₁ + b₁)(2c₁ – a₁ – b₁) 。

明雙差雙差相並，加於明二和共，即：

(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)²+ (b₁ – c₁ + a₁)(a₁ + b₁)(2c₁ – a₁ – b₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)(2c₁ – a₁ – b₁ + a₁ + b₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁) × 2c₁

= (a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁) #。

以下為極勾弦差及股弦差：

c₁₂ – a₁₂ =(a₁ + b₁ – c₁) –(a₁ + b₁ – c₁) = (a₁ + b₁ – c₁)[– 1]，

c₁₂ – b₁₂ =(a₁ + b₁ – c₁) –(a₁ + b₁ – c₁) = (a₁ + b₁ – c₁)[– 1]，

極雙差 = 即以上兩式之和，即：

(a₁ + b₁ – c₁)[– 1] + (a₁ + b₁ – c₁)[– 1]

= (a₁ + b₁ – c₁)(c₁ – a₁) + (a₁ + b₁ – c₁)(c₁ – b₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(c₁ – a₁ + c₁ – b₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)。

兩個極雙差 ﹝上式乘以2﹞= (a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁) #。

所以明雙差 +雙差 + 明二和共 = 兩個極雙差。

若以減於明二和共則為兩個虛雙差也。

明雙差雙差相併，減於明二和共，即：

(b₁ – c₁ + a₁)(a₁ + b₁)(2c₁ – a₁ – b₁) –(a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)²

= (a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)( a₁ + b₁ – 2c₁ + a₁ + b₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)²(2c₁ – a₁ – b₁) × 2

= (a₁ + b₁ – c₁)²(2c₁ – a₁ – b₁) #。

“虛雙差”即太虛勾弦較與太虛股弦較之和﹝在勾股形月山泛 13﹞。

已知太虛勾弦較 = c₁₃ – a₁₃ = (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) –(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

=(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)[– 1]

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)(c₁ – a₁)

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)²。

太虛股弦較= c₁₃ – b₁₃ = (c₁ – b₁)(c₁ – a₁) – (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

= (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)[– 1]

= (c₁ – a₁)(c₁ – b₁)(c₁ – b₁)

= (c₁ – a₁)(c₁ – b₁)²。

所以虛雙差 = (c₁ – b₁)(c₁ – a₁)² + (c₁ – a₁)(c₁ – b₁)²

= (c₁ – a₁)(c₁ – b₁)[(c₁ – a₁) + (c₁ – b₁)]

= (c₁ – a₁)(c₁ – b₁)(2c₁ – a₁ – b₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)²(2c₁ – a₁ – b₁)。

兩個虛雙差= (a₁ + b₁ – c₁)²(2c₁ – a₁ – b₁) #。

所以明雙差雙差相併減於明二和共 =兩個虛雙差。

明雙差上加虛雙差即明二股共。　

已知明雙差 =(b₁ – c₁ + a₁)(c₁ – a₁)(2c₁ – a₁ – b₁)；

虛雙差 = (a₁ + b₁ – c₁)²(2c₁ – a₁ – b₁)。

明雙差上加虛雙差=

(b₁ – c₁ + a₁) (c₁ – a₁) (2c₁ – a₁ – b₁) +
 (a₁ + b₁ – c₁)²(2c₁ – a₁ – b₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)[(c₁ – a₁) + (a₁ + b₁ – c₁)]

= (a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁) × b₁

= (a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁) #。

已知日南股﹝又稱明股﹞：b₁₄ =(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

山東股﹝又稱股﹞：b₁₅ = (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

明二股共，即：

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) + (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)[(c₁ – a₁) + (c₁ – b₁)]

= (a₁ + b₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁) #。

所以明雙差上加虛雙差 = 明二股共。

雙差上加虛雙差即明二勾共也。

已知雙差 = (c₁ – b₁)(b₁ + a₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)；

虛雙差 = (a₁ + b₁ – c₁)²(2c₁ – a₁ – b₁)。

雙差上加虛雙差，即：

(c₁ – b₁)(b₁ + a₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁) +(a₁ + b₁ – c₁)²(2c₁ – a₁ – b₁)

= (b₁ + a₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁)[(c₁ – b₁) + (a₁ + b₁ – c₁)]

= (b₁ + a₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁) × a₁

= (b₁ + a₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁) #。

已知南月勾﹝又稱明勾﹞：a₁₄ = (c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

東川勾﹝又稱勾﹞：a₁₅ =(c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)。

明二勾共 =a₁₄ + a₁₅ =

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁) + (c₁ – b₁)(a₁ – c₁ + b₁)

= (b₁ – c₁ + a₁)[(c₁ – a₁) + (c₁ – b₁)]

= (b₁ + a₁ – c₁)(2c₁ – a₁ – b₁) #。

所以雙差上加虛雙差 = 明二勾共。

以下為《測圓海鏡細草》原文：