邹生书——圆锥曲线倾斜角互补的割线化切性质与相关问题处理技巧

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公众号“邹生书数学”创建于2018年8月28日。    

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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圆锥曲线倾斜角互补的割线化切性质

与相关问题处理技巧

湖北省阳新县高级中学      邹生书

圆锥曲线有一个非常有趣的性质：

若x轴是圆锥曲线的对称轴，过圆锥曲线上一定点P作圆锥曲线的两条倾斜角互补的两条直线分别交曲线于A,B两点，则直线AB的斜率为定值，其值与曲线在点P处的切线斜率互为相反数，与点P关于x轴的对称点P^’处的切线斜率相等。

此性质我们称之为：圆锥曲线倾斜角互补割线化切性质。本文先分别对抛物线、椭圆和双曲线给出该性质的证明，然后给出相关试题并进行解析，意在交流处理方法倾斜角互补问题的处理方法和解题技巧。

一、圆锥曲线倾斜角互补割线化切性质的证明

  将上述椭圆性质类比到双曲线同样有类似性质，结论如下：

评注：性质3证明如性质3基本一样，只需将性质2中b²换成- b²即可。

二、圆锥曲线倾斜角互补问题的处理方法技巧举例

例1（2011八省联考第7题）

这是湖北省八校2015届高三第二次联考数学理科第21题，其中第（II）综合性强，将角平分线、向量共线、直线斜率、弦长最值和存在性探索融为一体，问题设置新颖不落俗套，解题入口宽，方法灵活多样，有利于不同思维层次的考生选择不同的解法展示各自的实力。现将解法探讨呈现如下，供大家参考。