解析几何中若干经典结论及其应用结论部分设AB是圆锥曲线的弦，（点，B不重合），且AB
过点P（t，0）．
（1）若曲线椭圆B过定点Q；
（2）若曲线，则直线B过定点Q；
（3）若曲线，则直线B过定点Q．
结论2过圆锥曲线任作两条互相垂直的弦MP，MQ，若曲线为非
等轴双曲线，则直线PQ必过定点；若曲线为等轴双曲线，则直线PQ斜率为定值．
（1）若M在椭圆；
（2）若M在双曲线上，
当时，PQ过定点；当时，PQ的斜率为；
（3）若M在抛物线上，则PQ过定点．
结论3A，B是抛物线上异于顶点的两动点，点为抛物线上
一定点，过M作两条弦MA，MB．
（1）若（非零常数），则直线AB过定点；
（2）若（非零常数），则直线AB过定点；
（3）若直线MA，MB的倾斜角分别为，且为定值，当
变化时，直线AB过定点．
一般结论：A，B是圆锥曲线上两动点，点为其上一定点，MA，MB的倾斜角分
别为，则以下条件均可得出直线AB过定点：
①（非零常数）；②（非零常数）；
③为定值；④为常数．
结论4已知点P为圆锥曲线上一点，若曲线在点P处的切线交准线于点A，则以线段PA为直径的圆恒过与该准线对应的焦点．已知的左顶点为A，过右焦点F的直线交曲线于点B，C，直线AB，
AC分别交右准线于点M，N，则以MN为直径的圆必过F．
注：在抛物线中，将抛物线的一个顶点看作在无穷远处，有类似结论成立．
结论6已知，过椭圆内x轴上一点（m，0）任作两条相互垂直的
弦AB，CD，设M，N分别为AB，CD的中点，则直线MN必过定点．
二、定值类结论
2．1与有关的结论椭圆；
（2）已知M，N是双曲线上关于原点对称的两动点，P是
双曲线上异于M，N的一点，若直线PM，PN均存在斜率，则．
结论9（1）已知M，N是椭圆；
（2）已知M，N是双曲线上的两动点，P是线段MN的中
点，O为坐标原点，若直线OP，MN均存在斜率，则．
结论10已知是椭圆；②；③；
④；⑤；
⑥若P为椭圆上一点，且，则．
结论11已知圆锥曲线上一定点P（x0，y0），过P
作倾斜角互补的两条直线PM，PN分别与交于异于P的两点M，N，则直线MN
的倾斜角为定值．
注：①若曲线为椭圆，即；
②若曲线为双曲线，则，即；
③若曲线为抛物线，则．
该命题的逆命题也成立．
证明：当点P在曲线的对称轴上时，
直线MN的倾斜角为0°或90°，结论显然成立；
当点P不在曲线的对称轴上时，直线PM，PN，MN的斜率均存在且都不为零，
此时条件可设为，设，
则．
由两边同时除以，
得①，
同理②，
①(②，得③，
①(②，得④，
又，
所以．
代入③④，得，
两式相除，得（定值）．
所以当时，；
当时，；
当时，．
2．2与a2有关的结论的左右顶点为，点
不在曲线E上，QA，QB分别交E于C，D，直线CD交x轴于
点P，则有．
注：曲线E可以表示焦点在x轴或y轴上的椭圆，也可表示双曲线，结论一致．
结论13（1）已知A，B为椭圆；
（2）已知A，B为双曲线上两动点且关于x轴对称，P为x
轴上一定点，连结PA交双曲线于点M，则BM恒过定点Q，且有；
（3）已知A，B为抛物线上两动点且关于x轴对称，P（a，0）为
一定点，连结PA交抛物线于点M，则BM恒过定点Q，且有．
结论14（1）设A，B椭圆A点引直线（直线不与坐标轴垂直）与椭圆相交于P，Q两点，
且，则点A，B；
（）设A，B实轴上分别位于双曲线一支内（含
焦点的区域），外部的两点，若过A点引直线（直线不与坐标轴垂直）与双曲
线的这一支相交于P，Q两点，且，则点A，B.
2．3焦半径公式
结论1椭圆θ，
点A在x轴上方，则，．
（2）已知双曲线中，弦AB过左焦点F，且倾斜角为θ，
点A在x轴上方，则，．
（3）已知抛物线中，弦AB过焦点F，且倾斜角为θ，点A在x轴
上方，则，．
注：在（1）（2）中易得，若左焦点改为右焦点，其他条件不变，
则，．
结论设直线过椭圆的一个焦点，且与椭圆相交于P，Q两点，，则（）.
（2）设直线的一个焦点，P，Q两点，，则.
（3）设直线的焦点，P，Q两点，则.
注：以上结论利用结论15极易获证．
结论在圆锥曲线中，设过焦点F且不垂直于坐标轴的弦为AB，其垂直平分线和焦点所在坐标轴交于点R，则与垂直有关的结论
已知O为原点，P，Q为椭圆上两点且OP⊥OQ，则，O到PQ的距离为．
已知O为原点，P，Q为上两点且OP⊥OQ，则，O到PQ的距离为．已知O为原点，P，Q为上两点且OP⊥OQ，.
结论20（1）若AB，CD是过椭圆；
（2）若AB，CD是过双曲线焦点的弦，且AB⊥CD，
则；
（3）若AB，CD是过抛物线焦点的弦，且AB⊥CD，则
．
注：其中e为圆锥曲线的离心率，p为焦点到相应准线的距离．
三、定轨类结论
结论21已知是椭圆与以下命题①②等价：
①线段MN中点的轨迹方程为；
②若动点P满足，则P点的轨迹方程为．
注：命题①②与结论10中六个命题均等价．
结论22设定点不在圆锥曲线上，过Q作直线
交曲线于M，N两点，P为动直线MN上异于Q的另一点，且满足，则
P点的轨迹是直线或其局部．
证明：设，
则，
不妨设Q在圆锥曲线外部，令，则
所以
．
此时P点的轨迹是直线在曲
线内的部分．同理易证得，当点Q在曲线内部时，P点轨迹为直线本身．
结论23过椭圆（蒙日圆）．
注：在双曲线中，点P的轨迹方程为．
结论24过抛物线外一点P向抛物线作两条切线PA，PB，若PA⊥PB，则
点P的轨迹为抛物线的准线．
结论25（1）已知长轴为A1A2的椭圆上有一动点P（不与A1，A2重合），
直线PA1，PA2分别与右准线l交于点M，N，右焦点为F，则；
（2）已知长轴为A1A2的双曲线上有一动点P（不与A1，A2
重合），直线PA1，PA2分别与右准线l交于点M，N，右焦点为F，则；
（3）已知抛物线上有一动点P（不与顶点O重合），直线PO与准
线l交于点M，P向准线作垂线，垂足为N，右焦点为F，则．
四、极点与极线
极点与极线是圆锥曲线内在的几何特征，在解析几何中必然有所反映，有所体现．
极点与极线定义，则称点和
直线是圆锥曲线的一对极点和极线．
事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换(另一变量也是如此)
即可得到点极线方程．
极点与极线作法26（1）当P在圆锥曲线上时，则极线是曲线在P点处的切线；
（2）当P在外时，则极线是曲线从点P所引两条切线的切点所确定的直线
（即切点弦所在直线）；
（3）当P在内时，则极线是曲线过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹．
证明：（1）由极点极线的定义，对于曲线的方程，
两边求导得，解得，
于是曲线在P点处的切线斜率为，
故切线的方程为，
化简得（），
又点P在曲线上，故有，
从中解出，然后代入（）式，可得曲线在点P处的切线为
．
（2）设过点P所作的两条切线的切点分别为，
则由（1）知，在点M，N处的切线方程分别为
和，
又点P在切线上，所以有，
和，
观察这两个式子，易知点都在
上，
又两点确定一条直线，故切点弦MN所在的直线方程为
．
（3）设曲线过的弦的两端点分别为，
则由（1）知，曲线在这两点处的切线方程分别为
和，
设两切线的交点为，则有
，
，
易发现均在直线上，
又两点确定一条直线，所以直线ST的方程为，
又直线ST过点，所以，
因而点在直线上，
所以两切线的交点的轨迹方程是．
结论27若圆锥曲线中有一些极线共点于点P，则这些极线相应的极点共线于点P相应的
极线，反之亦然．
即极点与极线具有对偶性如图4（1）（2）所示．
结论28设AB，CD是圆锥曲线过焦点F的两动弦，弦端点连线AC，BD交于点M，则动点M的轨迹是圆锥曲线的相应准线．AD，BC交点AB，CDAC，BD设AB设AB是椭圆的弦，（点，B不重合），
且AB过点P（t，0），求证：直线B过定点Q．
分析：欲证明直线B过定点，可设出直线B的方程：，接下来的目标
为根据条件寻找k，m的关系式．条件AB过点P（t，0），可转化为，从而有
，消去y1，y2得，以下进入设
而不求的套路．
证明：设，则设直线B：，
将其代入消去y并整理，得，
则，
因为直线AB过点P（t，0），所以，
所以，
消去y1，y2得，
即，化简得，所以，
所以直线B：，所以直线B过定点Q．
点评：本结论也可通过设，得从而直线AB的方程
为：，所以点P的坐标为（，0），同理求出Q点坐
标，以下通过消去x1，x2，容易证出PQ的横坐标乘积为a2，获证．
例2过抛物线上的一个定点任作两条互相垂直的弦MP，MQ，
求证：直线PQ必过定点．
分析：先设出，将弦MP，MQ互相垂直转化
为，将其表示成的关系，代入直线PQ的方程化简即可获证．
证明：设，
因为，
所以，
即，
所以（），
直线PQ的方程是，
由（）式，，又，
代入上式化简得，，
显然直线PQ必过定点．
注：也可设直线PQ的方程是，代入抛物线方程消去x，由韦达定理，可求
出代入（）式，化简可得，从而获证．
例3已知，
由AD∥FE∥BC，得，
从而．
必要性：由AD∥FE，FN=NE，连结BD，
则，
所以，所以FE∥BC．
例4已知椭圆θ，点A在x轴上
方，求证：，．
证明：如图，
所以
又，所以，
所以，
所以，用替换，得．
说明：该结论用圆锥曲线的极坐标方程稍作变形即可证明．
例5?已知是椭圆，求证：线段MN中点的轨迹方程为．
证明：设，则由题意可得
，且，
因为，所以，所以，
所以，
所以线段MN中点P的轨迹方程为．
练习1在椭圆中，设过焦点F且不垂直于坐标轴的弦为AB，其垂直平分线和焦点所在坐标轴交于点R，．
证明：如图，不妨设直线AB的倾斜角为锐角（不为锐角时可类似证明），
则
（结论15）
，
所以，又，
所以．
练习2已知椭圆，过椭圆内x轴上一点（m，0）任作两条相互垂直的
弦AB，CD，设M，N分别为AB，CD的中点，求证：直线MN必过定点．
证明：①当直线AB的斜率不存在或为零时，易知直线MN与x轴重合，显然成立；
②当直线AB的斜率存在且不为零时，设直线AB的方程为：y=k(x(m)，
则直线CD的方程为：，设，
将y=k(x(m)代入，得
，
则，
所以，
所以，同理，
若⊥x轴，即时，直线MN过定点；
若不与垂直时，
直线MN的斜率，
所以直线MN的方程为，显然过定点．
练习3设A，B椭圆A点引直线（直线不与坐标轴垂直）与椭圆相交于P，Q两点，
且．求证：点A，B．
证明：设，A（m，0）代入椭圆方程得：，则若，则，所以，
所以，
所以，即，
所以，从而．
练习4已知是椭圆，动点P满足，则P点的轨迹方程为
．
证明：由题意可得，设，则
因为，所以，所以，
所以
，
所以P．
第二讲解析几何结论在高考与模考中的应用
一、有关定点类结论的应用
例0题）已知椭圆C：四点P1（11），P2（01），P3，P4中恰有三点在椭圆C上
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点
解：（1）（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A的坐标（t，），B的坐标（t，）.
则，得，不符合题设从而可设l：（）将代入，得，
由题设可知设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=而由题设，故即解得
当且仅当时，，欲使l：，即，
所以l过定点（2，）的上顶点为B，动直线l不经过短轴端点且与椭圆C相交
于M，N两点，则直线BM与BN的斜率之和为定值的充要条件是l过定点
．同学们课后可以尝试证明．
二、有关定值类结论的应用
例xOy中，已知椭圆的离心率为，AB为椭
圆的一条弦（不过坐标原点），直线恰过弦AB的中点且与椭圆交于P，
Q两点，过P作x轴的垂线，垂足为R．若直线AB和直线QR倾斜角互补，且
△PQR的面积为，求椭圆的方程．
分析：注意到题中出现的三条直线AB，QR，PQ
两两斜率均有关系，△PQR的面积即点Q的横纵
坐标之积，本题将不难求解．
解：设弦AB的中点为，，．
由且，两式相减得，，
即，
因为，，所以，即．
因为椭圆的离心率为，即，所以，即为定值．
设（，），则，，所以直线QR的斜率为．
因为直线AB和直线QR倾斜角互补，所以直线QR的斜率为，所以．
由，且，所以．
因为△PQR的面积为，而，所以，，即．
从而，又，解得，．所以椭圆的方程为．
例（201年江苏）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左右焦点分别为，．设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点P．
（）若，求直线的斜率；
（）求证：是定值．
，AF2，BF1，均为椭圆的焦半径，利用结论15，16
及三角形相似知识容易求解．
解：直线与直线的θ，则
，（结论15）．
（），．
所以直线的斜率．
（）证明：则（结论16）．
因为AF1∥BF2，所以，所以，
所以，同理，
所以（定值）．
三、有关定轨类结论的应用
例的左焦点为，点在椭圆上，点P
是椭圆外一点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点P作两条互相垂直的直线，，且，与椭圆均只有一个公共点，分别
为A，B两点.记O到，的距离分别为，求的取值范围.
分析：由条件过点P作两条互相垂直的直线，，
且，与椭圆均只有一个公共点，结合结论23知
点P的轨迹为圆．
解：（1）椭圆方程为（过程略）；
（2）设P(m，n)(m≠2)，则切线方程为．
联立方程组，
消去y得，
化简为，
因为直线为椭圆的切线，所以，
化简得即，
所以又PA⊥PB，所以，即，
即(m≠2)，当时，点适合式，
所以P点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，
又过O分别作PA、PB的垂线，垂足分别记为M，N，
因为PA⊥PB，所以四边形MONP为矩形，所以，其中3≤≤4．
所以，
又，即，所以解得．
四、极点与极线结论的应用
例在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左右顶点为AB，右焦点为F设过点T（）的直线TATB与椭圆分别交于点，其中m>0．设求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）直线MN与x轴交于T（，m）上，所以，所以，
所以直线MN必过轴上一定（1，0）(a，因为，所以，
又x1=ky1(a，所以；同理，得．
由得，
所以，，
将两式相除，得，所以，所以．
因此，直线MN必过轴上一定（1，0）（2011江苏）如图，在平面直角坐标系中，过坐标原点的直线交椭圆于PA两点，其中P在第一象限，过P作轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为对任意>0，求证：PA⊥PB，PA，PB的斜率关系．
证明：设点
且，
设直线PB，AB的斜率分别为k1，k2．
因为点C在直线AB上，
所以，
所以
，
所以，所以PA⊥PB．
练习2（2016南通二模）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆（）
的离心率为．A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足．（1）若点P的坐标为，求椭圆的方程；（2）设过点P的一条直线交椭圆于B，C两点，且，直线OA，OB的斜率之，求实数m的值．
分析：（2）中注意到直线OA，OB的斜率之积为，恰为，满足结论10中命题①，
从而有结论10中命题⑥成立即若能由条件变形出，则有．而可化为，
又，两式消去得，从而，获解．
解：（1）椭圆的方程为．
（2）设，
因为，所以．
因为，所以，
即于是
代入椭圆方程，得，
即，③因为A，B在椭圆上，所以．④
因为直线OA，OB的斜率之积为，即，结合②知．⑤
，解得．
练习(2011四川卷)过点C(0，1)的椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为.椭圆与x轴交于
两点A(a，0)，B(－a，0)．过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P.
直线AC与直线BD交于点Q.
（1）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；
（2）当点P异于点B时，求证：为定值．
分析：显然点Q在点P（x0，0）对应的极线
上，所以点Q的坐标可设为，从而易得
．解：，CD＝
（2）证明：当直线l与x轴垂直时与题意不符．
设直线l的方程为y＝kx＋1.代入椭圆方程化简得(4k2＋1)x2＋8kx＝0.
解得x1＝0，x2＝，代入直线l的方程得y1＝1，y2＝，
所以D点坐标为.
又直线AC的方程为＋y＝1，
直线BD的方程为y＝(x＋2)，联立解得
因此Q点坐标为(－4k,2k＋1)．又P点坐标为.[来源:Zxxk.Com]所以＝·(－4k,2k＋1)＝4.故为定值．[来源:学+科+网]练习xOy中，已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，过点M
（(1，0）作直线l交椭圆于C，D两点，若直线AD，BC的斜率分别为k1，k2．
求证：为定值．
分析：注意到由结论8知，直线AD，BD的斜率之积
为常数，直线，BD的斜率之积为常数
证明：，，
直线CD的方程为：，代入椭圆方程，
整理得，，所以，
所以
，
又，
所以（定值）．
第三讲解析几何结论在自招与竞赛中的应用
例xOy中，若为椭圆的一元二次方程，弦MP，MQ
的斜率就是该方程的两根，由题意两根之积为(1．
证明：将坐标原点平移到点，新旧坐标关系满足则
新坐标系下椭圆的方程为，设直线PQ：，
将椭圆方程展开，得，
即，
因为点在椭圆，
所以，将其齐次化处理，
得，
所以，
两边同时除以，得，
所以弦MP，MQ的斜率之积为，
所以，
代入直线，并整理得，
易求出过定点，
所以在原坐标系中直线PQ过定点．
注：利用齐次化大法比较方便解决有关斜率之积、斜率之和、斜率互为相反数等问题，
如结论2，3，7，18的证明．
例(2006年数学竞赛)和双曲线
的公共的左，右顶点，P，Q分别为双曲线和椭圆上不同于A，B的两个
动点，其满足．设直线AP，BP，AQ，BQ的
斜率分别为k1，k2，k3，k4．
（1）求证：k1+k2+k3+k4=0；
（2）设F1，F2分别是椭圆和双曲线的右焦点，若PF1∥QF2，求的值．
分析：（1）设P，Q的坐标，通过计算k1+k2和k3+k4，
发现它们是只与P，Q的坐标有关的常数，再根据
O，P，Q三点共线，可得出P，Q的坐标关系，代
入即可获证；（2）注意到k1k2与k3k4均为常数，且
互为相反数，结合（1）中已求，考虑先研究
与的值．
解：（1）设，，则
①，
同理，，
又因为
所以所以O，P，Q三点共线，
所以，所以．
（2）因为P，Q分别在双曲线和椭圆上，
所以②，③，
又所以④，
由②③④，可解出，
又因为PF1∥QF2，所以，
所以，
再由①得，，同理，
又，同理，
所以．
例(2013年数学竞赛)的右焦点F作两条垂直的弦AB，CD．
设AB，CD的中点分别为M，N．
（1）求证：直线MN必过定点，并求出这个定点；
（2）若弦的斜率均存在，求△FMN的面积的最大值．
解：（1）由结论7（课时1练习2已作过证明），
直线MN必过定点，下面再给出利用极坐标方程的证明：
以F为极点，Fx为极轴建立极坐标系，则椭圆的方程为：，
设，其中
，
所以点即记，
点即记，
所以①
设直线MN上任意一点，则直线的极坐标方程为
，
令，得②
由①②得时，，即点在直线MN上，
又因为c=1，所以在直角坐标系中直线MN过定点．
（2）由（1）△PMN的面积为
，
所以当时，△PMN的面积有最大值为．
例上的动点，O为坐标原点，若△AOB的面积为，
AB的中点M的轨迹为E，点P，Q，R为曲线E上三点，且，若
△PQR的面积为，求曲线E的离心率．
分析：结合结论10和结论21知，由△AOB的面积为，可得出AB的中点M的轨
迹为以为方程的椭圆，从而条件变为：已知椭圆的内接△PQR
以原点为重心且面积为，以下利用仿射变换（高考慎用）求解较方便．
解：设
所以，
所以，所以，
又AB的中点M的横，纵坐标分别为：
所以，
所以曲线E的方程为．
由，可得O为△PQR的重心，
令，有，
O仍为△的重心，且，则，
所以a=2b，易求得离心率．
例5轴，线段AB为轴建立直角坐标系，
设椭圆方程为，并设点，
则R点对应的极线，
代入椭圆方程解得点，
直线，同理我们可以得到直线，
将直线BQ的方程与AP的方程联立解得，
可验证其坐标满足直线的方程，所以三点共线.
评析：用极点与极线方法证明不仅显得简洁，而且此结论显然还可推广到其他圆锥曲线上.
练习1(2013年数学竞赛)，过点A（1，2）作抛物线C的弦
AP，AQ．
（1）若AP⊥AQ，证明直线PQ过一个定点，并求出定点坐标；
（2）假设直线PQ过点T（5，(2），请问是否存在以PQ为底边的等腰△APQ？若存
在，求出△APQ的个数；若不存在，请说明理由．
解：（1）由结论2(2）；（第一课时已证明过该结论）
（2）假设存在以PQ为底边的等腰△APQ，
设，，直线PQ的方程为：直线，
即，代入方程，
得，
所以，
所以PQ的中点坐标为，
由题意，得，
即，
记，则，
所以在R上为单调增函数．
又因为，
所以在（0，1）内恰有一个零点，
所以方程在R上有且只有一个根，
所以满足条件的等腰三角形有且只有一个．
练习2(2011年全国联赛试题)作斜率为的直线l与椭圆C：交于A，B两点，
且在直线l的左上方．
（1）证明：△PAB的内切圆的圆心在一条直线上；
（2）若60°，求△PAB的面积．
分析：（1）注意到，由结论11的逆命题，知直线PA，PB的倾斜角
互补，从而△PAB的内切圆的圆心应在直线上，从而可直接通过证明直线PA，
PB的斜率之和为零获证；（2）由（1）得直线PA，PB的方程均已知，故可求出A，
B的横坐标，再求出PA，PB的长度，再求出△PAB的面积．
（1）证明：设，，直线，将其代入椭圆方程，
化简并整理得，，
所以，
所以
．
又因为点P在l上方，所以的角平分线是平行于y轴的直线，
所以△PAB的内切圆的圆心在直线上．
（2）若时，结合（1）的结论可知．
直线的方程为：，代入中，
消去得．
它的两根分别是和，所以，即．
所以．
同理可求得．
练习3在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别为椭圆的左右顶点，M，N是
椭圆上不同于顶点的两点，且△OMN的面积等于．过点A作交椭圆
C于点P，求证：．
分析：△OMN的面积恰为，由结论10知
直线OM，ON的斜率乘积为，由结论8知直线
AP，BP的斜率乘积也为，再结合条件不难获证．
证明：设直线OM，ON的方程为，，
联立方程组，解得，
同理可得，
所以
，
化简可得，
设，则，
又已知，所以要证，只要证明，
而，所以可得．
练习4(2013年山东数学竞赛)的内接平行四边形的一组对边分别过
椭圆的焦点F1，F2，求该平行四边形面积的最大值．
解：设x轴的正半轴到F1A的角为，
则，（前已证）．
所以，
所以平行四边形的面积，
令，所以在上为增函数，所以面积的最大值为6.
练习5已知圆O：，椭圆，过圆O上一点P作圆O的
切线l，设l交椭圆C于A，B两点，分别过A，B作椭圆的切线交于点Q，求动点
Q的轨迹方程．
分析：注意到直线AB既是点P在圆O中对应的极线，又是
点Q在椭圆C中对应的极线，故对直线AB的方程算两次获解．
，则
圆O在点P处的切线AB的方程为：①
同时，AB为点对应的极线，
所以其方程又为：②
比较①②，得，所以，
所以，
所以动点Q的轨迹方程为．
1
P
E
F
G
H
M
A
N
B
图1
P
M
N
图2
Q(m,n)
T
S
图3
P(x0,y0)
.
P
A
B
P
点P的极线
点P的极线
图4（1）
图4（2）
B
Q
O
x
y
P
A
P
O
x
y
M
Q
A
B
C
D
E
F
N
A
B
N
O
x
y
P
F
M
l
d
A
B
O
x
y
F
M
R
A
B
D
O
x
y
C
M
N
A
B
P
O
x
y
Q
R
A
P
O
x
y
B
F1
F2
P
B
O
A
B
M
O
x
y
T
A
N
A
B
O
x
y
P
C
A
B
P
O
x
y
C
A
B
P
O
x
y
Q
D
C
A
B
O
x
y
D
C
M
P
Q
O
x
y
M
A
B
P
O
x
y
Q
B
A
D
O
x
y
C
N
M
F
O
A
B
C
P
Q
R(-a,y2)
S(a,y1)
x
y
A
B
O
x
y
P
P
O
x
y
M
B
A
N
A
B
C
O
x
y
D
F1
F2
P
O
x
y
Q
B
A
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