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作者：海武士 Ø 研究的现象 某个因素的连续变化（往往还是光滑，理解为无限次可微）的变化可能导致系统性台的突然变化。 Ø 突变现象的研究工具 分叉理论——处理参数变化时某些定性性态的改变； 突变理论——系统处理并成功地解决大量实际问题。 Ø 突变理论的数学基础 常微分方程的解有三个要素（Poincare，19世纪）：结构稳定性、动态稳定性和临界性。 “粗”系统（Ahupohob和Nohtprtnh,1937）的提出确定了结构稳定性的概念。 Morse引理（1930）对突变理论的数学基础是一个重要贡献。 论文“曲面到平面的映射”（Whitney，1955）中指出：空间曲面到平面的投影只可能有两种奇异性，即折叠和尖点。这是突变理论分类表中最低阶的两种突变（Thom突变理论创始人）。 50年代——引入横截性概念研究结构稳定性，并证明梯度系统的结构稳定系统是稠的。（Thom） 60年代——对梯度系统即一类特殊的映射 的奇点进行分类，并称之为“初等突变”，导致突变理论的建立。（Thom） 70年代——突变理论的奠基性著作出版（Thom，1972）。但没有对分类定理进行严格的数学证明。 以后——证明分类定理（Mather，Malgrange）；应用和普及（Zeeman）。 突变理论不是一个独立的数学分支。 Ø 分叉理论与突变理论 分叉理论的最一般形式：关于非线性方程平衡解的理论。平衡解：常解（即平衡点）、时间周期解和概周期解。分叉理论的研究对象：非线性微分方程支配的演化问题的平衡解的分叉；及第四种平衡解或定常运动形式——混沌。目前已经研究比较透彻的关系（如图1）。 图1 四种定常运动形式之间的转化 突变理论研究多个参数变化时平衡点附近分叉情况的全面图像，特别是其中可能出现的突然变化；属于静态分叉，即平衡点之间相互转化问题。突变理论在某种意义上包含了静态分叉，而广义的分叉理论又在某种意义上包含了突变理论。 Ø 突变理论的研究对象 一般的，可以用定义在 中的K个微分—积分方程来描述一个时间演化的系统，其中带有参数（见表1）。 第一次简化，不考虑积分项，将得到一个非线性偏微分方程组。 第二次简化，不考虑对位置的导数，即不考虑位置的影响，得到一个非线性常微分方程组。 上述这些情况都难以给出一般性的结论。 第四次简化，得到一个动力学系统。已有较多研究。 第五次简化，得到一个自治动力学系统。当参数很少时（ ）,已经可以得到一些有用的结果。 第六次简化，导致一个梯度系统，已有相当多的结果。 第七次简化，考虑的是梯度系统的平衡点，即突变理论的研究对象：研究由 解出的诸平衡点 如何随控制参数 的改变而改变。这种理论被称为初等突变理论。 对非梯度系统中平衡点和其他现象进行的研究有不少发展，如广义分叉理论、奇异性理论、动力学系统理论和混沌理论。 |
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