 我把《看见时间（一）》中的背景再描述一下：有两个惯性参考系，其中一个相对另一个以速度 v 沿着 x 方向做匀速直线运动，初始时刻两个参考系原点重合，起始时刻均为 0。小明坐在第一个参考系原点不动，怀里揣着一块怀表；小红坐在第二个参考系原点，口袋里放着一个时钟，随着第二个参考系以速度 v 向右远行。我们称第一个参考系为本地系，第二个参考系为时钟系。 为方便计算，基于这两个参考系的时空图的纵坐标和横坐标分别使用年和光年为单位，并将速度表达为多少倍光速，因此光速可以表示为1，任何运动速度可以简化表示为-1到1之间的一个数值。 上一篇文章说到：“时钟运动速度越快，时间慢得越厉害”。在下面这个基于本地系的时空图中，我们调整时钟运动速度，可以看到时钟显示随之变化。 这个图是把时钟时间通过数字标注的形式展现的，有没有图形化方法呢？答案是“有”，我们只需要增加一维坐标就可以了。 这次我们使用 Geogebra 的 3D 图形计算器。 先用图形计算器建立一个三维坐标，这个三维坐标不是由 x、y、z 三个空间维度组成，而是在上一篇文章提到的距离 x 、时间 t 两维平面时空图的基础上，增加一个垂直于原平面的时间维度 t' ，形成 x、t、t' 三维坐标。 在这个三维坐标上，输入函数 t²-x²=t'² ，将出现下图双圆锥面： 我们来看看，对于 v=0、 v=0.6c 和 v=0.8c 三种情况，怎么在这个图中表示时钟时间呢？ 画三个与网格平面垂直的平面： x=0 x=0.6t x=0.8t 它们分别对应以上三个速度 。 俯视图 俯视图中，三条线分别是这三个平面与网格平面和圆锥面的交线，绿线对应 v=0，红线对应 v=0.6c，浅蓝色线对应 v=0.8c。 侧视图 侧视图中能够看见每个平面与圆锥面都有一条相交直线，交点坐标见下面示意图： 示意图 示意图中，由圆锥面表达式可知图中绿线顶端与红线顶端同位于一个半径为 t 的圆上，绿线长度为 t，红线长度为 t'，红线与圆心的距离为 vt，因此有 t²-(vt)²=t'²，即： 是不是有些眼熟？当 t=1 年时： 如果 v=0， 则 t'=1 年 如果 v=0.6c，则 t'=0.8 年 如果 v=0.8c，则 t'=0.6 年 这正是时钟在对应运动速度下显示的时间！ 这个旋转动图看得更清楚：水平面上的蓝点和红点分别是小明、小红当前事件坐标，其正上方与圆锥面的交点纵轴坐标值就是小明的怀表和小红的时钟显示的时间。图中 v=0.6c，随着 t 由 0 逐渐增大，怀表和时钟显示的时间也在增大，增速保持 1/0.8 的关系。 因此，通过以上方法，我们把两个相对做匀速直线运动的惯性参考系中时间与运动速度的关系通过 3D图形展现了出来。 任何时候，我们只需要观察竖直平面与圆锥面交线在纵坐标轴方向上的斜率，就知道时间的快慢关系。对于任意一个时间 t，只需计算交线对应点的高度即可知时钟显示的时间。 好了，我想我已经把狭义相对论中最简单情况下的时间关系通过图讲完了。 但实际遇到的问题远比上面说的要复杂：小红相对小明不会一直保持速度不变，她是地球人，再怎么着也得先从地球出发，将来还得回到地球，这个过程中必然要经历加速减速。对于这些情况我们该怎么分析呢？ 有人说：“狭义相对论只适用于分析惯性参考系，也就是静止或做匀速直线运动的情况，对于加减速运动则必须用广义相对论来分析”。 怎么说呢？历史上的确曾经以是否涉及非惯性系作为狭义相对论与广义相对论解释范围的分水岭——只涉及惯性系的归入狭义相对论，否则归入广义相对论。但后来人们认识到，不应该这样来划分，而应以是否涉及时空的弯曲来划分，涉及时空弯曲的归广义相对论，而只涉及速度变化的问题用狭义相对论是可以解释清楚的。 下面我们就用双生子佯谬为例来分析。 设小红、小明是孪生姐弟，小明留在地面，小红乘飞船做太空旅行。小红乘坐的飞船以每年 0.4c 的加速度从地球上起飞，飞向距离地球 8 光年的星球；飞船速度达到 0.8c 后保持匀速直线飞行；距离星球 0.8 光年时开始以每年 -0.4c 的加速度进行减速，速度降为 0 时正好落在星球上；然后又开始反向加速，重复来时的逆过程回到地球。请问，两人见面时谁更年轻？ 答案是小红更年轻。 这个问题之所以被称为佯谬，是因为它的答案虽然是对的，但让人感觉像是错的。 为什么这么说呢？ 因为人们一般都会质疑：飞船相对地球在运动，按照“钟慢尺缩”，地球上的人看见飞船上的时钟变慢，所以小红会比小明年轻；但反过来，站在飞船上看，地球也在相对飞船运动，飞船上的人看见地球上的时钟也变慢了，为什么相聚后不是地球上的小明更年轻呢？下面我们结合前面提到的 3D圆锥面来分析分析。 在本地系时空图中，小红的轨迹见下图红线： 由于小红的轨迹不再是一条从原点出发的斜向直线，因此无法只使用一个圆锥面来分析。但我们注意到：按照洛伦兹变换公式，决定两个参考系时间快慢比率的只有相对速度 v，因此，可以画两个圆锥面，一个圆锥面的顶点位于小明的坐标点，跟着小明走，另一个的顶点则位于小红的坐标点，跟着小红走，两个圆锥面的中心线均平行于本地系时空图的 t 轴。 圆锥面指示了怀表和时钟的快慢。因为小明的时空轨迹与 t 轴重合，所以他的怀表计时永远与本地时间一致。 小红的时钟与本地时间的快慢比例取决于小红的速度，也就是她的时空轨迹在当前坐标点的切线方向，切线所在竖直平面与圆锥面的交线的斜率就是时钟与本地时间的快慢比率。这样，我们就拥有了一个图形版的时钟快慢指示器。 我们把小明的怀表和小红的时钟显示时间表示到三维坐标的纵坐标轴上，就可以直观地看出时间是如何变化的。见下图：
图A 小红回到地球时比小明年轻了将近7岁半
侧视图 可以看出，除了出发、抵达星球、回到地球这三个绿圈中的时刻外，其它过程中小红的时钟走得都比小明的怀表慢，所以相见时，当然是小红年轻了。 那怎么回答“为什么小红看见小明的怀表走得比她的时钟慢，相见时却依然是小红更年轻”这个质疑呢？ 我基于时钟系时空图来解释。 讲之前还是要重复一下我在上一篇文章中关于“同时”这个概念的说明：狭义相对论里提到的“看到”、“发现”的同时事件是指等时线上的事件，是不考虑光信号传播时间的（如果对这个有疑问，请看我上一篇文章《看见时间（一）》）。 图A中水平面上的蓝色虚线和红色虚线分别是本地系中小明的等时线和时钟系中小红的等时线，奥秘就藏在红色等时线里。 在上一篇文章中我们说了：在小红看来，她所看见的小明不是正在看小红的蓝色等时线上的小明，而是红色等时线上更年轻的小明。但在小红的飞船减速直至返航的过程中，情况却发生了剧烈变化。图A可以看出，红色等时线的角度发生了大幅偏转，等时线与小明时空轨迹的交点迅速向前推进，超越了蓝色等时线上的小明，因此小红看到小明的岁数迅速增加；偏转完成后，小红看见的小明是正在看她的小明之后的小明。
关于红色等时线的偏转角度，我在上一篇文章中进行了分析 这张图中可以看出，飞船调头的这4年中，小红的时钟由6.559年走到10.077年，增加了3.518年，而红色等时线上的小明经历的时间跨度却是从4.24到19.76的15.52年！ 我们切换到时钟系视角，图A变成下图样子：
图B 在飞船调头前后，小明的怀表都走得比小红的时钟慢，但调头过程中有一个坡度的陡增 在这张图中，小明经历的 15.52 年要在绿色 t 坐标轴的 3.518 年中走完，因此出现了坡度陡增的那段浅蓝色轨迹。造成陡增的原因仅仅是时钟系中的小红观察到的是不同时间的小明而已。 去掉纵坐标轴，时空图变成下图平面模式：
飞船调头时小红发现小明迅速远离，导致小明的时空轨迹中有个诡异的鼓包，这是飞船减速导致的“尺缩”效应减小与地球持续远离的综合作用，并不是两人的相对速度猛增，这些都是基于狭义相对论的正常现象。 细心的朋友可能会问：为什么小红的等时线角度会发生这么大的偏转，而小明的等时线却不会呢？ 这是因为只有小红经历了速度的变化。乘车时我们都体验过加速时车座的推背感和减速时安全带的拽拉感，小红当然也体验到了飞船加减速时的力，而小明从始至终没有感觉到地球速度的变化。当然这么回答你，你一定觉得有些随意，显得很不“物理”，很不专业。这个问题其实是关于“空间是绝对的还是相对的”问题，在物理学历史上曾经是一个争论不休的话题，我先暂时这么简单回答，有时间在以后的文章中再详细讲它。 因此画时空图时，如果涉及多个参考系、多个运动事件，建议选择其中的惯性参考系作为时空图的基础，只有在这样的时空图上才能更直观地观察各个事件的时空轨迹。否则，将不得不考虑等时线偏转带来的影响，导致问题大大地复杂化。 我在前面画的所有的图，展现的都只是发生在一维空间 x 上的事件，当然二维空间（x, y）中的事件也可以通过时空图来展现，只是这时没有富余的维度来表示 t' 而已。至于三维空间（x, y, z）中的事件，它的时空图就只能存在于我们脑海中了，无法通过三维图形来展示。 强烈建议你也尝试画一画时空图，画图的过程一定会带给你奇妙的体验，让你对狭义相对论有更深刻的理解。你会发现以前那么多的疑惑很神奇地以一种想象不到的方式得到了解答，并且解答得如此合情合理。画图时帮你在脑海中建立起来的时空图景，一定会为你探索更加复杂有趣的物理世界提供巨大的帮助。 《看见时间》系列讲到这里就告一段落了，实际上不只是这两篇文章，包括我之前写的几篇文章，我自信是一套对狭义相对论比较全面的讲解，相信对初学者会有很好的帮助。 知乎上有一个问题：“学习了相对论会怎么样”？有个回答得到了很多点赞：“头发会变少”，下面马上有人跟上一句：“学习狭义相对论不会，学习广义相对论才会”，所以我的这几篇文章你可以放心阅读。 我的下一个目标是广义相对论。今天先自拍一张照片，等学完再对比一下，看看头发到底少没少，哈哈。 |
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