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在中考数学众多试题当中，函数与几何有关的试题是我们必须要重点关注的对象，它不仅能很好考查考生基础知识和方法技巧的掌握程度，更能考查考生分析问题和解决问题的能力，属于综合应用题。 函数与几何有关的试题作为中考数学的必考重难点，在中考里占据着重要的位置，毫不夸张的说全国各地中考压轴题都属于此类题型。在解函数与几何有关试题的时候，大家一定要明白一点，此类综合问题不像求解单纯几何问题或单纯函数问题那么简单，需综合考虑函数知识与几何知识之间的内在联系。 如在一些问题里需考虑几何元素之间的函数关系问题，解这类问题应根据几何图形的性质，建立函数与自变量表示的几何元素之间的等量关系等。或者是先根据函数解析式求出有关点的坐标(如图像与坐标轴交点，两图像交点等)，其次依据点的坐标求出有关线段的长度，最后利用有关定理、性质、公式即可使问题获解。 在中考数学里，函数与几何有关的综合问题一直是让考生非常头疼的试题，它既是重难点问题，又是考查学生分析问题和解决问题的能力问题。要想成功解决此类问题，考生除了加强训练，还要培养良好的解题习惯，注重思维方法的训练，理解数形结合思想方法等，定能顺利解决问题。 同时，函数与几何有关的综合问题蕴含着丰富的数学思想方法，如数形结合思想。数形结合是在研究问题时把数和形结合起来考虑，或者把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化。通过直角坐标系这个工具，有机地进行数形转换，如在解函数与几何的综合题，先求出点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础，同时充分发挥形的因素，实现数形互动，通过坐标把证明与计算相结合是解题的关键。
函数与几何有关的综合问题分析，典型例题1： 己知：二次函数y=ax²+bx+6（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A、点B的横坐标是一元二次方程x²﹣4x﹣12=0的两个根． （1）请直接写出点A、点B的坐标． （2）请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标． （3）如图1，在二次函数对称轴上是否存在点P，使△APC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （4）如图2，连接AC、BC，点Q是线段0B上一个动点（点Q不与点0、B重合）．过点Q作QD∥AC交BC于点D，设Q点坐标（m，0），当△CDQ面积S最大时，求m的值．
考点分析： 二次函数综合题；综合题。 题干分析： （1）解一元二次方程x²﹣4x﹣12=0可求A、B两点坐标； （2）将A、B两点坐标代入二次函数y=ax²+bx+6，可求二次函数解析式，配方为顶点式，可求对称轴及顶点坐标； （3）作点C关于抛物线对称轴的对称点C′，连接AC′，交抛物线对称轴于P点，连接CP，P点即为所求； （4） 由DQ∥AC得△BDQ∽△BCA，利用相似比表示△BDQ的面积，利用三角形面积公式表示△ACQ的面积，根据S△CDQ=S△ABC﹣S△BDQ﹣S△ACQ，运用二次函数的性质求面积最大时，m的值． 解题反思： 本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据已知条件求抛物线解析式，根据抛物线的对称性，相似三角形的知识解题。
在解决此类问题的时候，我们可以利用函数图像，结合几何图形的性质，通过坐标这个特殊量把“形”和“数”进行完美结合，体现了数形结合的思想方法。在解决问题的过程中，大家观察图形主要是观察图形的形状、大小、位置关系等，寻找图形中蕴含的数量关系，从而求得坐标，运用推理或计算得出结论，借助图形的几何直观来阐明函数变量之间的某种关系能使问题简单。 同时函数与几何有关的综合问题会把函数、方程、不等式等知识联系起来，求解的关键是要深挖图形的几何意义，以形为手段，数为目的，依靠形的直观具体，借助坐标来表明数式之间的关系。 函数与几何有关的综合问题分析，典型例题2： 如图，已知抛物线经过定点A（1，0），它的顶点P是y轴正半轴上的一个动点，P点关于x轴的对称点为P′，过P′作x轴的平行线交抛物线于B．D两点（B点在y轴右侧），直线BA交y轴于C点．按从特殊到一般的规律探究线段CA与CB的比值： （1）当P点坐标为（0，1）时，写出抛物线的解析式并求线段CA与CB的比值； （2）若P点坐标为（0，m）时（m为任意正实数），线段CA与CB的比值是否与（1）所求的比值相同？请说明理由．
考点分析： 二次函数综合题． 题干分析： （1）根据抛物线经过A（1，0），设抛物线的解析式为y=ax²+1，首先得出二次函数解析式，进而得出P'点的坐标，从而得出B点坐标，再利用△CP′B∽△COA，得出线段CA与CB的比值； （2）根据设抛物线的解析式为y=ax²+m（a≠0），得出y=﹣mx²+m，首先表示出B点的坐标，进而利用△CP′B∽△COA，得出线段CA与CB的比值． 解题反思： 此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的性质，得出根据P′B=√2，再利用△CP′B∽△COA，得出是解决问题的关键．
数与形是数学学习中两个最基本的两个量，它们之间可以相互转化，将问题化难为易，化抽象为具体。函数与几何有关的综合题恰好体现了数形结合之间的关系，解题关键就是准确深刻理解函数与几何图形结合，即点的坐标，由坐标体现为长度、角度，或是由长度转化为坐标，也即说数形结合转换离不开坐标。 在函数关系式下求解析式问题，或是在几何图形下求几何问题，这类型问题的解决方法是图形坐标化，通过坐标这个切入点，架起数到形的桥梁，由数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题是以函数为背景探求几何性质，利用函数的性质，解决几个主要点的坐标问题，使几何知识和函数知识有机而自然地结合起来。 善于利用平面直角坐标系，就可以实现从数到形，也可从形到数，即观察图形的形状，分析数与式的结构，适时通过坐标将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量关系，大大减轻了数形转换的难度。 函数与几何有关的压轴题，一直是近年来中考数学命题的热点 这类试题知识点众多，解法灵活，形式多样，综合性强，难度大，要求大家具有很强的分析推理能力。 纵观近几年各地中考试卷中的函数与几何压轴题，从知识结构来看可分为两大类型，即几何含函数型和函数含几何型，这类题目是以几何图形为载体，求几何图形中某些几何量之间的函数关系式．其解题方法是利用几何图形的有关性质，列出几何元素之间的等量关系，并将这种关系转化成函数关系，最后利用函数的性质解答问题。 |
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