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等腰直角三角形，是初中数学中重要的特殊三角形，性质非常丰富！常见常用的性质大都以“等腰三角形”、“直角三角形”、“对称”、“旋转拼接”、“勾股比1:1：√2”、“45°好角辅助线”、“半个正方形”等角度拓展延伸。 今天在解题探究学习中，碰到一道以等腰直角三角形为背景的几何题，有些难度，非常漂亮。经过“见招拆招”+“破解分解”竟然可以“获得”一连串等腰直角三角形的“固定性质”，并且具有“思维连贯性”+“思路延展性”，结合常用条件，可以“伴生”解决好多等腰直角三角形的几何题！ 题目：如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB中点，点E在AC上，点F在BC上，∠EDF=90°，边AF，若∠CAF=2∠BDF， AE=3，则DF=_________ 下面就如何“真实而自然”利用“基本图形”去“拆解破解”这道题！
2.连接EF，可以得到“8字型相似”：两个45°角相等+对顶角相等。右图可得图上有三个α相等。 3.将直角三角形△FEC沿着CF向外“翻折”，可得：①第四个α角相等（如图）；②CF=CE，且和AE“共线”（垂直邻补角） 4.如上面第3点，∠GAF=∠EFG,并∠G=∠G,显然这又是“偏A型相似”，如图：染色两个三角形相似。而三角形△FEG是等腰三角形，所以三角形△AGF也是等腰三角形！漂亮！“竟然”有如此漂亮的美丽结论在后面等着！ 5.“谋定后动”后面可以“定量计算”了！如图，设EC=CF=x,则等腰△AGF中AF=AG=AE+EF=3+2x，而“旋转全等”（△CDF≌△ADE）得CF=AE=3,又AC=AE+EC=3+x;显然在直角三角形△ACF中，勾股定理可以计算出：x=1. 6.如上，x=1求出来后，就可以“发起最后的冲锋了”！在直角三角形△CEF中，EF=√（1+3^2）=√10，而直角三角形△DEF是等腰直角三角形！DF=EF/√2=√5，口算解决！
本题解法一路“翻山越岭”，解题过程一路“忍难拼搏”，“一曲肝肠断”，殊为不易！ 上述解题过程6大步骤，“起承转合”做到“润滑自然”要费点“几何功力”+“大胆尝试”。 更多是基于对“常见图形，基本结论”的“敏感性”+“合理想象”+“辅助线补全构建”+“对接促成”让题目所有条件都能“有机关联”起来。 当然本题，还可以从∠CAF=2∠BDF的“半倍角”入手去“巧妙构造”，那是另一番解题境界，限于篇幅，在此不表。 |
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